Практические работы по дисциплине «Вычислительная математика» (стр. 1 )

Министерство образования и науки Российской Федерации

Государственное образовательное учреждение

Высшего профессионального образования

«Владимирский государственный университет

имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых»

Практические работы

по дисциплине

«Вычислительная математика»

Выполнил:

ст. гр. ЗЭВМу-110

Принял:

проф. каф. ИСИМ

Владимир 2012

Вариант № 19

ПРАКТИЧЕСКАЯ работа № 2

ТЕОРИЯ ПОГРЕШНОСТЕЙ И МАШИННАЯ AРИФМЕТИКА

Цель работы:

При численном решении математических и прикладных задач почти неизбежно появление на том или ином этапе их решения погрешностей следующих трех типов: 1) погрешность задачи; 2) погрешность метода; 3) погрешность округлений (погрешность действий). Все три описанных типа погрешностей в сумме дают полную погрешность результата решения задачи. В данной работе рассматриваются некоторые возможные подходы к учету погрешностей действий.

Задание 2.1

Дан ряд. Найти сумму ряда S аналитически. Вычислить значения частичных сумм ряда S= и найти величину погрешности при значениях = , , , , . Построить гистограмму зависимости верных цифр результата от .

Решение задачи:

S=lim SN=19. ОТВЕТ: S = = 19

N→∞

Введем функцию S(N)= . Тогда абсолютную погрешность можно определить с помощью функции d(N) =.

Результаты вычислительного эксперимента:

Значение частичной Величина абсолютной Количество

суммы ряда погрешности верных цифр

Вывод: как видно из приведенного вычислительного эксперимента, увеличение числа членов ряда в 10 раз по сравнению с предыдущим случаем увеличивает число верных цифр в ответе на 1.

Гистограмма

Документ MathCAD

Значение частной суммы ряда

Величина абсолютной погрешности

Количество верных цифр

ПРАКТИЧЕСКАЯ работа № 4

ПОГРЕШНОСТИ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ

АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ

Цель работы:

Учитывая распространенность систем линейных алгебраических уравнений (ибо часто именно к ним сводится на определенном этапе процесс математического моделирования), в работе рассматривается подход к количественной оценке степени неопределенности этих задач. Знание таких характеристик позволяет обоснованно судить о корректности моделей, грамотно подбирать методы и строить алгоритмы, правильно трактовать полученные результаты.

Задание 4.1

Дана система уравнений Ax=b порядка n. Исследовать зависимость погрешности решения x от погрешностей правой части системы b.

Решение задачи:

1.  Задать матрицу системы А и вектор правой части b. Используя встроенную функцию lsolve(a, b), найти решение x системы Ax=b с помощью метода Гаусса.

2.  С помощью встроенной функции condi(A) вычислить число обусловленности матрицы А.

3.  Принимая решение x за верное вычислить вектор d.

4.  На основе вычисленного вектора d построить гистограмму.

5.  Оценить теоретически погрешность решения.

ПРАКТИЧЕСКАЯ работа № 5

РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ

УРАВНЕНИЙ ПРЯМЫМИ МЕТОДАМИ

Цель работы:

Большая часть всех расчетных математических задач приходится на решение СЛАУ. Это не удивительно, так как математические модели тех или иных явлений или процессов либо сразу строятся как линейные алгебраические, либо сводятся к таковым посредством дискретизации и/или линеаризации. Поэтому трудно переоценить роль, которую играет выбор эффективного (в том или ином смысле) способа решения СЛАУ. Современная вычислительная математика располагает большим арсеналом методов, а математическое обеспечение ЭВМ – многими пакетами прикладных программ для решения СЛАУ. Чтобы ориентироваться среди методов и программ, делать оптимальный выбор, нужно разбираться в основах построения методов и алгоритмов, учитывающих специфику постановок задач, знать их сильные и слабые стороны и границы применимости.

Задача 5.1

Решить систему Ax=b методом Гаусса с выбором главного элемента по столбцу.

Решение задачи:

Задача 5.2