Методические рекомендации к дисциплине Б3.В.15 математический анализ (стр. 6 )

2. Найти область сходимости функционального ряда .

3. Найти радиус, интервал и область сходимости степенного ряда:

а) б)

4. Вычислив значения производных , написать отличных от нуля членов разложения функции в степенной ряд с центром в точке : .

5. Разложить функцию в степенной ряд по степеням (до включительно), используя известные разложения элементарных функций в степенные ряды:

6. Для данного функционального ряда построить мажорирующий ряд и доказать равномерную сходимость на указанном отрезке:

.

7. Вычислить указанную величину приближенно с заданной точностью , воспользовавшись разложением в степенной ряд соответствующим образом подобранной функции: .

8. Найти разложение в степенной ряд по степеням решения дифференциального уравнения (записать три первых, отличных от нуля, члена этого разложения):

.

9 . Методом последовательного дифференцирования найти первые членов разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения при указанных начальных условиях:

.

ВАРИАНТ № 2

1. Найти и область сходимости ряда .

2. Найти область сходимости функционального ряда .

3. Найти радиус, интервал и область сходимости степенного ряда:

а) б)

4. Вычислив значения производных , написать отличных от нуля членов разложения функции в степенной ряд с центром в точке : .

5. Разложить функцию в степенной ряд по степеням (до включительно), используя известные разложения элементарных функций в степенные ряды:

6. Для данного функционального ряда построить мажорирующий ряд и доказать равномерную сходимость на указанном отрезке:

, .

7. Вычислить указанную величину приближенно с заданной точностью , воспользовавшись разложением в степенной ряд соответствующим образом подобранной функции: .

8. Найти разложение в степенной ряд по степеням решения дифференциального уравнения (записать три первых, отличных от нуля, члена этого разложения):

.

9. Методом последовательного дифференцирования найти первые членов разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения при указанных начальных условиях:

.

ВАРИАНТ № 3

1. Найти и область сходимости ряда .

2. Найти область сходимости функционального ряда

3. Найти радиус, интервал и область сходимости степенного ряда:

а) б)

4. Вычислив значения производных , написать отличных от нуля членов разложения функции в степенной ряд с центром в точке : .

5. Разложить функцию в степенной ряд по степеням (до включительно), используя известные разложения элементарных функций в степенные ряды:

6. Для данного функционального ряда построить мажорирующий ряд и доказать равномерную сходимость на указанном отрезке:

.

7. Вычислить указанную величину приближенно с заданной точностью , воспользовавшись разложением в степенной ряд соответствующим образом подобранной функции: .

8. Найти разложение в степенной ряд по степеням решения дифференциального уравнения (записать три первых, отличных от нуля, члена этого разложения):

.

9. Методом последовательного дифференцирования найти первые членов разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения при указанных начальных условиях:

.

ВАРИАНТ № 4

1. Найти и область сходимости ряда .

2. Найти область сходимости функционального ряда .

3. Найти радиус, интервал и область сходимости степенного ряда:

а) б)

4. Вычислив значения производных , написать отличных от нуля членов разложения функции в степенной ряд с центром в точке : .

5. Разложить функцию в степенной ряд по степеням (до включительно), используя известные разложения элементарных функций в степенные ряды:

6. Для данного функционального ряда построить мажорирующий ряд и доказать равномерную сходимость на указанном отрезке:

.

7. Вычислить указанную величину приближенно с заданной точностью , воспользовавшись разложением в степенной ряд соответствующим образом подобранной функции: .

8. Найти разложение в степенной ряд по степеням решения дифференциального уравнения (записать три первых, отличных от нуля, члена этого разложения):

.

9. Методом последовательного дифференцирования найти первые членов разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения при указанных начальных условиях:

.

ВАРИАНТ № 5

1. Найти и область сходимости ряда .

2. Найти область сходимости функционального ряда .

3. Найти радиус, интервал и область сходимости степенного ряда:

а) б)

4. Вычислив значения производных , написать отличных от нуля членов разложения функции в степенной ряд с центром в точке : .

5. Разложить функцию в степенной ряд по степеням (до включительно), используя известные разложения элементарных функций в степенные ряды:

6. Для данного функционального ряда построить мажорирующий ряд и доказать равномерную сходимость на указанном отрезке:

.

7. Вычислить указанную величину приближенно с заданной точностью , воспользовавшись разложением в степенной ряд соответствующим образом подобранной функции: .

8. Найти разложение в степенной ряд по степеням решения дифференциального уравнения (записать три первых, отличных от нуля, члена этого разложения):

.

9. Методом последовательного дифференцирования найти первые членов разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения при указанных начальных условиях: .

Контрольная работа по теме «Ряды и интеграл Фурье»

ВАРИАНТ № 1

1. Разложить функцию в тригонометрический ряд Фурье на указанном отрезке: на .

2. Найти синус-преобразование Фурье функции .

ВАРИАНТ № 2

1. Разложить функцию в тригонометрический ряд Фурье на указанном отрезке: на .

2. Найти косинус-преобразование Фурье функции .

ВАРИАНТ № 3

1. Разложить функцию в тригонометрический ряд Фурье на указанном отрезке: на .

2. Найти синус-преобразование Фурье функции .

Контрольная работа по теме «Кратные интегралы»

ВАРИАНТ № 1

1. Изменить порядок интегрирования: .

2. Вычислить: , где

3. Вычислить интеграл с помощью полярных координат:

4. Вычислить:

5. Вычислить интеграл, используя сферические или цилиндрические координаты:

6. С помощью тройного интеграла вычислить объем тела, ограниченного указанными поверхностями. Сделать чертеж.

7. Найти координаты центра масс тела с плотностью :

.

ВАРИАНТ № 2

1. Изменить порядок интегрирования: .

2. Вычислить: , где

3. Вычислить интеграл с помощью полярных координат:

4. Вычислить:

5. Вычислить интеграл, используя сферические или цилиндрические координаты:

6. С помощью тройного интеграла вычислить объем тела, ограниченного указанными поверхностями. Сделать чертеж.

7. Найти координаты центра масс тела с плотностью :

ВАРИАНТ № 3

1. Изменить порядок интегрирования: .

2. Вычислить: , где

3. Вычислить интеграл с помощью полярных координат:

4. Вычислить:

5. Вычислить интеграл, используя сферические или цилиндрические координаты:

6. С помощью тройного интеграла вычислить объем тела, ограниченного указанными поверхностями. Сделать чертеж.

7. Найти координаты центра масс тела с плотностью :

ВАРИАНТ № 4

1. Изменить порядок интегрирования: .

2. Вычислить: , где

3. Вычислить интеграл с помощью полярных координат:

4. Вычислить:

5. Вычислить интеграл, используя сферические или цилиндрические координаты:

6. С помощью тройного интеграла вычислить объем тела, ограниченного указанными поверхностями. Сделать чертеж.

7. Найти моменты инерции относительно координатных осей однородного (=1) тела:

ВАРИАНТ № 5

1. Изменить порядок интегрирования: .

2. Вычислить: , где

3. Вычислить интеграл с помощью полярных координат:

4. Вычислить:

5. Вычислить интеграл, используя сферические или цилиндрические координаты:

6. С помощью тройного интеграла вычислить объем тела, ограниченного указанными поверхностями. Сделать чертеж.

7. Найти моменты инерции относительно координатных осей однородного (=1) тела:

15. Содержательный компонент теоретического материала

1 семестр

Введение в анализ

1. Виды отображений. Числовые множества

Множества и основные операции над ними.

Отображения множеств и их виды.

Вещественные числа. Простейшее назначение вещественных чисел. Доказательство того, что диагональ единичного квадрата не может быть измерена рациональным числом. Свойства вещественных чисел.

Целая и дробная части числа. Абсолютная величина числа. Представление вещественных чисел в виде бесконечной десятичной дроби.

Определения ограниченного сверху (снизу) множества, ограниченного множества. Верхняя (нижняя) грань множества. Точная верхняя (нижняя) множества. Свойства точных верхней и нижней граней множества.

Свойство полноты множества вещественных чисел (формулировка и доказательство).

Леммы об отделимости множеств, о системе вложенных отрезков и последовательности стягивающихся отрезков.

Мощность множества. Определение счетного множества. Счетность множества рациональных чисел.

Мощность множества. Теорема о совокупности всех подмножеств любого множества. Замечание о множестве подмножеств конечного множества. Определение несчетного множества и множества мощности континуум. Утверждение о мощности множества точек отрезка . Канторов диагональный процесс. Определение бесконечного множества. Мощность множества вещественных чисел.

2. Числовые последовательности

Неравенство Бернулли. Числовые последовательности (Определение последовательности, примеры, операции над числовыми последовательностями, ограниченные сверху (снизу), ограниченные последовательности, определения бесконечно больших и бесконечно малых последовательностей, примеры).

Свойства бесконечно малых и бесконечно больших последовательностей (теоремы 1-5 и следствия из них), доказательства того, что и - бесконечно малые последовательности при .

Предел последовательности. Свойства сходящихся последовательностей.

Предельный переход в неравенствах. Примеры: , .

Определение монотонных последовательностей. Теорема Вейерштрасса (теоремы 1 и 2).

Число (Теоремы 3 и 4 с доказательством). Последовательность . Оценка для , где . Оценка для , где .

Иррациональность числа (теорема 5). Постоянная Эйлера (теорема 6). Алгебраические и трансцендентные числа.

Определение подпоследовательности и частичного предела. Теорема Больцано – Вейерштрасса. Верхний и нижний пределы. Существование верхнего и нижнего пределов для ограниченной последовательности.

Критерий Коши для сходимости последовательности. Пример.

3. Предел функции

Понятие предела числовой функции (определения отображения, функции, проколотой - окрестности, предела по Коши и по Гейне).

База множеств. Предел функции по базе. Примеры баз. Доказательство, что совокупности множеств удовлетворяют определению базы. Определение ограниченной и финально ограниченной функции.

Свойства пределов функции по базе.

Переход к пределу в неравенствах (для функций).

Критерий Коши существования предела функции по базе.

Эквивалентность определений сходимости по Коши и по Гейне.

Теоремы о пределе сложной функции (определение сложной функции, теоремы 1-4, примеры).

Порядок бесконечно малой функции.

4. Непрерывность функции

Свойства функций, непрерывных в точке.

Непрерывность функций .

Замечательные пределы.

Непрерывность функции на множестве (определения функции, непрерывной на множестве, на отрезке, неубывающей, невозрастающей, строго возрастающей, строго убывающей, монотонной функции, определение точек разрыва, теорема 1 (о точках разрыва монотонной функции на отрезке)).

Непрерывность функции на множестве (теорема 2 (критерий непрерывности монотонной функции), теорема 3 (об обратной функции)).

Общие свойства функций, непрерывных на отрезке (теорема об обращении функции в нуль, теорема о промежуточном значении непрерывной функции).

Общие свойства функций, непрерывных на отрезке (теорема об ограниченности непрерывной функции, теорема о достижении непрерывной функцией точных верхней и нижней граней).

Понятие равномерной непрерывности. Теорема Гейне – Кантора.

Свойства замкнутых и открытых множеств (определения замкнутого и открытого множества, утверждения 1 и 2).

Компакт. Функции, непрерывные на компакте (определения компакта и покрытия, лемма Бореля, обобщение теоремы Гейне – Кантора, примеры, формулировка свойства функции не быть равномерно непрерывной на множестве, определение непрерывности функции в точке относительно данного множества).

5. Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Приращение функции. Дифференциал и производная функции. Геометрический и механический смысл производной. Связь понятий дифференцируемости и непрерывности функции. Односторонние производные.

Дифференцирование сложной функции.

Теорема о производной обратной функции, теорема об инвариантности формы первого дифференциала.

Правила дифференцирования. Производные элементарных функций.

Производные высших порядков. Формула Лейбница.

Дифференциалы высших порядков. Доказательство неинвариантности формы второго дифференциала.

Производная функции, заданной параметрически. Примеры функций, заданных параметрически. Производная функции, заданной неявно.

Возрастание и убывание функции в точке. Локальные экстремумы. Лемма Дарбу.

Теоремы Ролля, Коши и Лагранжа. Следствия.

Точки несобственного локального экстремума, теорема Ферма, теорема 4 (еще одна теорема об обращении в нуль производной), теорема 5 (о невозможности для производной иметь точки разрыва первого рода), следствие (теорема Дарбу), бесконечные производные.

Следствия из теоремы Лагранжа.

Раскрытие неопределенностей. Первое правило Лопиталя и следствия из него.

Раскрытие неопределенностей. Второе правило Лопиталя и следствия из него.

Локальная формула Тейлора.

Формула Тейлора с остаточным членом в общей форме (в форме Шлемильха – Роша)(случай ).

Формула Тейлора с остаточным членом в общей форме (в форме Шлемильха – Роша)(случай ). Частные случаи формулы Тейлора.

Применение формулы Тейлора к некоторым функциям.

Исследование функций с помощью производных. Экстремальные точки. Достаточные условия достижения функцией локального экстремума в заданной точке.

Исследование функций с помощью производных. Выпуклость. Условия выпуклости функции.

Точки перегиба. Условия перегиба. Общая схема построения графика функции. Пример.

2 семестр. Интегральное

исчисление функции одной переменной

1. Неопределенный интеграл

Точная первообразная. Интегрируемые функции.

Свойства неопределенного интеграла. Основные методы интегрирования (замена переменной интегрирования, интегрирование по частям). Таблица интегралов (с доказательствами).

Интегрирование дробно-рациональных функций (выделение правильной рациональной дроби, разложение правильной рациональной дроби на простейшие, метод неопределенных коэффициентов, интегрирование правильных рациональных дробей). Метод Остроградского. Примеры.

Интегрирование дробно-рациональных функций (интегрирование простейших рациональных дробей вида I – IV, реккурентная формула).

Интегрирование тригонометрических выражений и выражений вида .

Интегрирование иррациональных выражений.

2. Интеграл Римана

Определение интеграла Римана (неразмеченное разбиение, его свойства, диаметр разбиения, размеченное разбиение, интегральная сумма, определение интеграла Римана, определение функции интегрируемой по Риману, единственность интеграла Римана, интеграл Римана как предел по некоторой базе, ограниченность интегрируемой по Риману функции).

Критерий интегрируемости функций по Риману (определения сумм Дарбу, верхнего и нижнего интегралов, леммы 1-6, критерий и его доказательство, примеры про функции Дирихле и Римана).

Эквивалентность трех условий интегрируемости функции по Риману.

Специальный критерий интегрируемости функции по Риману. Следствие из него.

Вейля.

Метод интегральных сумм. Лемма. Примеры: , ; 3) Найти предел ;

4) Вычислить интеграл

Свойства интеграла Римана как предела по базе (Основные определения, Лемма 1, Теоремы 1 и 2, замечания 1 и 2).

Свойства интеграла Римана как предела по базе (Леммы 2-4, Теорема 3, следствие из нее).

Классы функций интегрируемых по Риману (Теоремы 1-3).

Свойства определенного интеграла (Утверждения 1-6).

Свойства определенного интеграла (Утверждения 7-9, Теорема об интегрируемости сложной функции).

Аддитивность интеграла Римана (теорема, следствие из нее).

Интеграл Римана как функция от его верхнего (нижнего) предела интегрирования. Производная интеграла. (Теоремы 1 и 2).

Теорема Ньютона – Лейбница. Формула суммирования Эйлера (Теоремы 1,2 и 3).

Упрощенная формула Стирлинга. Формула суммирования Абеля.

Формулы замены переменной и интегрирования по частям в определенном интеграле. (Теоремы 1 и 2).

Примеры на формулы замены переменной и интегрирования по частям в определенном интеграле (примеры 1-9, замечания 1-3).

Первая теорема о среднем значении интеграла (теорема 1, следствия 1-3).

Вторая теорема о среднем значении интеграла (теорема 2).

Вторая теорема о среднем значении интеграла (теорема 3, следствие, пример, теорема 4).

Формула Тейлора с остаточным членом в интегральной форме (теорема, разложения основных элементарных функций по формуле Тейлора).

Критерий Лебега интегрируемости функции по Риману (определение множества, имеющего лебегову меру нуль, утверждения 1 и 2, критерий Лебега (только формулировка), применения (теоремы 2 и 3 с доказательствами)).

Критерий Лебега интегрируемости функции по Риману (формулировка и доказательство, лемма 1).

3. Приложения определённого интеграла

Кривые в многомерном пространстве.

Теорема о длине дуги кривой. Следствие. Пример: вычисление длины дуги циклоиды.

Площадь плоской фигуры и объем тела. Определение меры Жордана.

Критерий измеримости множества по Жордану.

Свойства меры Жордана.

Измеримость спрямляемой кривой. (Лемма, теорема, следствие).

Связь между интегрируемостью функции по Риману и измеримостью по Жордану ее криволинейной трапеции.

Геометрические приложения определенного интеграла (Площадь криволинейной трапеции. Площадь криволинейного сектора.). Примеры.

Геометрические приложения определенного интеграла (Длина дуги кривой). Примеры.

Геометрические приложения определенного интеграла (Площадь поверхности вращения). Примеры.

Геометрические приложения определенного интеграла (Объем тела). Примеры.

Физические приложения определенного интеграла (Центр тяжести кривой. 1-ая теорема Гульдена.) Примеры.

Физические приложения определенного интеграла (Центр тяжести криволинейной трапеции. 2-ая теорема Гульдена. Работа переменной силы.) Примеры.

4. Несобственные интегралы

Критерий Лебега интегрируемости функции по Риману (другая его формулировка, лемма 2 и теорема).

Определение несобственных интегралов первого и второго рода. Примеры: 1) ; 2) .

Критерий Коши и достаточные условия сходимости несобственных интегралов. (Теоремы 1 и 2).

Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов. Признаки Абеля и Дирихле.

Несобственные интегралы второго рода (основные определения и свойства). Пример: .

Замена переменной и интегрирование по частям в несобственном интеграле.

3 семестр.

Ряды и дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

1. Числовые ряды.

Числовые ряды (основные определения, утверждение 1 (об остаточном члене ряда)). Примеры: 1) ;

2) ; 3) ; 4) .

Числовые ряды (утверждение 2 (отбрасывание любого конечного числа членов ряда), утверждения 3, 4, утверждение 5 (необходимый признак сходимости ряда)). Примеры:

1) ; 2) .

Числовые ряды (Теорема 1 (критерий Коши), теорема 2 (критерий Коши для расходимости ряда)). Примеры: 1) ; 2) ; 3) .

Ряды с неотрицательными членами (определения, теорема 1 (ограниченность последовательности частичных сумм), признаки сравнения (теоремы 2, 3, следствие из теоремы 2)). Пример.

Признак Даламбера (теоремы 4, 5). Примеры.

Признак Коши (теоремы 6, 7). Пример.

Признак Раабе (теоремы 1, 2(с доказательствами)). Пример: .

Признаки Куммера, Бертрана, Гаусса (без доказательства). Интегральный признак Коши – Маклорена (с доказательством). Пример: .

Абсолютная и условная сходимость рядов. Ряды Лейбница. Признак Лейбница. Оценка остатка ряда Лейбница. Пример.

Формула дискретного преобразования Абеля. Признаки Абеля и Дирихле. Пример: . Перестановки членов ряда.

Арифметические операции над сходящимися рядами. Двойные и повторные ряды.

2. Функциональные ряды

Функциональные последовательности и ряды (основные определения). Разложения различных функций по формуле Тейлора как примеры функциональных рядов. Ряд Тейлора.

Равномерная сходимость (Определения, теорема 1 (о непрерывности суммы ряда в точке)). Равномерно ограниченные на множестве последовательности. Утверждения 1-4.

Критерий равномерной сходимости функциональной последовательности (критерий Коши и его отрицание). Примеры: 1) ; 2) .

Признаки равномерной сходимости (критерий равномерной сходимости для бесконечно малой функциональной последовательности, определение мажоранты, признак Вейерштрасса, признаки Абеля и Дирихле). Теорема Дини и следствие из нее.

Почленное дифференцирование и интегрирование ряда (теоремы 1,2 (с доказательством), теорема 3 (без доказательства)). Пример.

Степенные ряды (основные определения, теоремы 1, 2, 5 (с доказательствами), теоремы 3, 4, 6 (без доказательства)). Примеры.

3. Ряды и преобразование Фурье

Тригонометрический ряд и его основные свойства.

Единственность разложения в ряд Фурье. Определение и сходимость ряда Фурье.

Ряды Фурье для четных и нечетных функций.

Ряд Фурье с периодом 2l.

Комплексная форма ряда Фурье.

Интегральная формула Фурье. Интеграл Фурье.

Комплексная форма интегральной формулы Фурье. Преобразование Фурье и его обращение. Спектральная функция.

Свойства преобразования Фурье. Свертка и преобразование Фурье.

Дельта-функция.

4. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

Определение функции двух и более переменных. Геометрическое изображение функции двух переменных. Примеры.

Предел функции двух переменных. Примеры.

Определение непрерывности функции двух переменных. Примеры.

Основные свойства непрерывных функций двух переменных.

Частные производные. Примеры.

Понятие дифференцируемости функции. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости функции.

Производные сложных функций.

Дифференциал функции. Примеры. Приближенные вычисления с помощью дифференциала. Геометрический смысл дифференциала.

Касательная и нормаль к поверхности. Примеры.

Производные функции, заданной неявно. Примеры.

Частные производные высших порядков. Условие независимости значений смешанных производных от порядка дифференцирования. Примеры.

Дифференциалы высших порядков. Примеры.

Производная по направлению. Градиент. Примеры.

Формула Тейлора для функции многих переменных.

Экстремумы функции двух переменных. Необходимые условия экстремума.

Достаточные условия экстремума функции двух переменных. Примеры.

Условный экстремум.

Нахождение наибольшего и наименьшего значений в замкнутой ограниченной области. Примеры.

Метод наименьших квадратов. Пример.

4 семестр.

Интегральное исчисление функций нескольких переменных

1. Двойные и тройные интегралы

Определение и условия существования двойного интеграла. Геометрический смысл двойного интеграла. Свойства двойного интеграла.

Сведение двойного интеграла к повторному (случай прямоугольной области). Пример.

Сведение двойного интеграла к повторному (случай криволинейной области). Пример.

Замена переменных в двойном интеграле. Примеры.

Геометрические приложения двойных интегралов ( вычисление площади фигуры, объема тела и площади поверхности). Примеры.

Физические приложения двойного интеграла (вычисление массы материальной пластинки, вычисление координат центра масс и моментов инерции пластинки). Примеры.

Определение и вычисление тройных интегралов. Примеры.

Замена переменных в тройном интеграле. Примеры.

Приложения тройных интегралов. Примеры.

2. Криволинейные интегралы

Определение криволинейного интеграла первого рода.

Вычисление криволинейных интегралов первого рода. Примеры.

Определение криволинейных интегралов второго рода, сведение их к определенным интегралам.

Вычисление криволинейных интегралов 2-го рода. Связь между криволинейными интегралами 1-го и 2-го рода. Примеры.

Формула Грина. Пример.

Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования.

Интегрирование полных дифференциалов. Примеры.

Некоторые приложения криволинейных интегралов 1-го и 2-ого рода. Примеры.