Методические рекомендации к дисциплине Б3.В.15 математический анализ (стр. 1 )

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

К ДИСЦИПЛИНЕ

Б3.В.15 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Основная образовательная программа подготовки бакалавра
по направлению
подготовки бакалавриата 050100 «Педагогическое образование»

профиль «Математика, Информатика»

(код и наименование направления подготовки бакалавриата (магистратуры) с указанием
профиля (названия магистерской программы)

1. Программа учебной дисциплины

Действительные числа и их свойства. Функции и их свойства. Операции над функциями, композиция функций, обратная функция. Предел последовательности. Предел функции. Непрерывность функции в точке и на множестве. Непрерывность основных элементарных функций.

Дифференцируемость функции, производная, дифференциал. Правила дифференцирования. Основные теоремы дифференциального исчисления и их приложения к исследованию функций.

Неопределённый интеграл и основные методы интегрирования. Определённый интеграл. Формула Ньютона-Лейбница. Понятие квадрируемой фигуры, кубируемого тела, спрямляемой кривой. Несобственные интегралы.

Числовые ряды. Признаки сходимости. Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды. Формула и ряд Тейлора. Разложение в степенной ряд основных элементарных функций. Тригонометрические ряды Фурье.

Функции нескольких переменных. Предел и непрерывность. Частные производные и дифференцируемость функции нескольких переменных. Исследование на экстремумы.

Неявные функции.

Двойной и тройной интегралы, их применение к вычислению геометрических величин. Криволинейные интегралы и их приложения.

2. Автор программы: , к. ф.-м. н., доцент

3. Рецензенты: , к. ф.-м. н., доцент, , к. ф.-м. н., доцент

4. Цели освоения дисциплины

Целями освоения дисциплины «математический анализ» являются формирование систематизированных знаний в области математического анализа, о его месте и роли в системе математических наук с учетом содержательной специфики предмета «Алгебра и начала анализа» в общеобразовательной школе.

5. Место дисциплины в структуре ООП ВПО

Дисциплина «Математический анализ» относится к вариативной части профессионального цикла (Б.3.В.15).

Для освоения дисциплины «Математический анализ» студенты используют знания, умения и виды деятельности, сформированные в процессе изучения предмета «Математика» на предыдущем уровне образования.

Освоение данной дисциплины является необходимой основой для последующего изучения дисциплин «Теория функций действительного переменного», «Теория функций комплексного переменного», «Дифференциальные уравнения», дисциплин по выбору студентов.

6. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины* Выпускник должен обладать следующими компетенциями:

-  Владением культурой мышления, способностью к обобщению, анализу, восприятию информации, постановке цели и выбору путей её достижения (ОК-1);

-  способностью использовать знания о современной естественнонаучной картине мира в образовательной и профессиональной деятельности, применять методы математической обработки информации, теоретического и экспериментального исследования (ОК-4);

-  готовностью использовать основные методы, способы и средства получения, хранения, переработки информации, готовностью работать с компьютером как средством управления информацией (ОК-8);

-  способностью работать с информацией в глобальных компьютерных сетях (ОК-9);

-  способностью понимать сущность и значение информации в развитии современного информационного общества, сознавать опасности и угрозы, возникающие в этом процессе, соблюдать основные требования информационной безопасности, в том числе защиты государственной тайны (ОК-12);

-  осознанием социальной значимости своей будущей профессии, обладанием мотивацией к осуществлению профессиональной деятельности (ОПК-1).

В результате освоения дисциплины обучающийся должен:

1) Знать:

- основные понятия математического анализа;

- основные свойства и теоремы, методы математического анализа;

2) Уметь:

- вычислять пределы, находить производные и вычислять интегралы;

- используя определения, проводить исследования, связанные с основными понятиями;

- применять методы математического анализа к доказательству теорем и решению задач;

3) Владеть

- современными знаниями о математическом анализе и его приложениях;

- основными понятиями школьного курса «Алгебра и начала анализа».

7. Объем дисциплины и виды учебной работы (для всех направлений подготовки, на которых обеспечивается данная дисциплина).

Общая трудоемкость дисциплины составляет 10 зачетных единиц
(из расчета 1 ЗЕТ= 36 часов);

360 часов.

№ п/п	Шифр и наименование направления с указанием профиля (названием магистерской программы), формы обучения	Курс	Семестр	Виды учебной работы в часах	Вид итогового контроля (форма отчетности)
Трудоемкость в часах/ЗЕТ	Всего аудит.	Часов в интеракт. форме (из ауд.)	ЛК	ПР/ СМ	ЛБ	Часы на СРС (для дисц. с экзаменом включая часы на экзамен)
1	050100 «Педагогическое образование», профиль «Математика, Информатика», очная	1	1	90/	56	6	20	36	–	8	Экзамен
2	050100 «Педагогическое образование», профиль «Математика, Информатика», очная	1	2	90/	52	6	20	32	–	8
3	050100 «Педагогическое образование», профиль «Математика, Информатика», очная	2	3	90/	42	6	18	24	–	8	Экзамен
4	050100 «Педагогическое образование», профиль «Математика, Информатика», очная	2	4	90/	52	6	22	30	–	8	Экзамен

8. Содержание дисциплины

Разделы дисциплины и виды занятий (в часах). Примерное распределение учебного времени:

№ п/п	Наименование раздела, темы	Количество часов
Всего ауд. ч./в интеракт. ф.	ЛК	ПР/ СМ	ЛБ	Часов на СРС
1	Введение в анализ	28/3	10	18	–	4
2	Дифференциальное исчисление функции одной переменной	28/3	10	18	–	4
3	Неопределенный интеграл	24/2	8	16	–	4
4	Интеграл Римана	28/4	12	16	–	4
5	Ряды	20/3	8	12	–	4
6	Дифференциальное исчисление ФНП	22/3	10	12	–	4
7	Кратные интегралы	26/3	10	16	–	4
8	Криволинейные интегралы	26/3	12	14	–	4

9. Содержание разделов дисциплины (указать краткое содержание раздела (темы) с обязательным указанием номера раздела (темы).

1. Введение в анализ.

Отображения множеств и их виды.

Вещественные числа. Простейшее назначение вещественных чисел. Доказательство того, что диагональ единичного квадрата не может быть измерена рациональным числом. Свойства вещественных чисел.

Целая и дробная части числа. Абсолютная величина числа. Представление вещественных чисел в виде бесконечной десятичной дроби.

Определения ограниченного сверху (снизу) множества, ограниченного множества. Верхняя (нижняя) грань множества. Точная верхняя (нижняя) множества. Свойства точных верхней и нижней граней множества.

Свойство полноты множества вещественных чисел (формулировка и доказательство).

Леммы об отделимости множеств, о системе вложенных отрезков и последовательности стягивающихся отрезков.

Неравенство Бернулли. Числовые последовательности (Определение последовательности, примеры, операции над числовыми последовательностями, ограниченные сверху (снизу), ограниченные последовательности, определения бесконечно больших и бесконечно малых последовательностей, примеры).

Свойства бесконечно малых и бесконечно больших последовательностей (теоремы 1-5 и следствия из них), доказательства того, что и - бесконечно малые последовательности при .

Предел последовательности. Свойства сходящихся последовательностей.

Предельный переход в неравенствах. Примеры: , .

Определение монотонных последовательностей. Теорема Вейерштрасса (теоремы 1 и 2).

Число (Теоремы 3 и 4 с доказательством). Последовательность . Оценка для , где . Оценка для , где .

Иррациональность числа (теорема 5). Постоянная Эйлера (теорема 6). Алгебраические и трансцендентные числа.

Определение подпоследовательности и частичного предела. Теорема Больцано – Вейерштрасса. Верхний и нижний пределы. Существование верхнего и нижнего пределов для ограниченной последовательности.

Критерий Коши для сходимости последовательности. Пример.

Мощность множества. Определение счетного множества. Счетность множества рациональных чисел.

Мощность множества. Теорема о совокупности всех подмножеств любого множества. Замечание о множестве подмножеств конечного множества. Определение несчетного множества и множества мощности континуум. Утверждение о мощности множества точек отрезка . Канторов диагональный процесс. Определение бесконечного множества. Мощность множества вещественных чисел.

Понятие предела числовой функции (определения отображения, функции, проколотой - окрестности, предела по Коши и по Гейне).

База множеств. Предел функции по базе. Примеры баз. Доказательство, что совокупности множеств удовлетворяют определению базы. Определение ограниченной и финально ограниченной функции.

Свойства пределов функции по базе.

Переход к пределу в неравенствах (для функций).

Критерий Коши существования предела функции по базе.

Эквивалентность определений сходимости по Коши и по Гейне.

Теоремы о пределе сложной функции (определение сложной функции, теоремы 1-4, примеры).