Математика (стр. 10 )

- Тейлора 9

- тригонометрический 373

Множество измеримое по Жордану 114

- квадрируемое 115

- кубируемое 115

- ограниченное 313, 437

- плотное в пространстве 415, 444, 468

Множители Лагранжа 96

Мультиндекс 11

Неравенство Бесселя 379, 485

- Коши-Буняковского 450

- - Шварца 448

- Минковского обобщенное 167

Норма 59, 426, 430, 431, 433

Носитель поверхности 237

- функции 349

Область односвязная 211, 294

Оператор 55, 519

- Лапласа 82, 218

- линейный 433, 436

- непрерывный 519, 520

- ограниченный 432, 433, 447

Ориентация границы 198, 202

- контура 198

- края поверхности 262

- поверхности 254, 261

Ортогональность 343, 471

Отображение 45

- дифференцируемое 61, 68

- линейное 55

- локально гомеоморфное 71

- непрерывное 45, 46, 52, 519—520

- обратное 52

- равномерно непрерывное 49

- регулярное 238

Отождествление 415, 416, 439, 454, 579

Плоскость касательная 242

Площадь (мера) поверхности 251

Поверхность 233, 236

- гладкая 246

- дифференцируемая 234, 239

- заданная неявно 240

- кусочно-гладкая 258, 263

- неориентируемая (односторонняя) 261

- ориентированная 255, 262

- ориентируемая (двусторонняя) 259, 261, 263

Подпространство 412, 422

- натянутое на векторы 103

Поле векторное 273

- - потенциальное 276, 294, 297

- - соленоидальное 291, 297

- скалярное 273

Полиномы Лежандра 473, 480, 490

Полунорма 426, 449

Пополнение пространства 419, 456, 467

Последовательность асимптотическая 335

- дельта-образная 516, 525

- сходящаяся 413, 436, 437, 516, 521, 530

- фундаментальная 411, 440

Последовательности эквивалентные 416

Потенциал 273, 342

Поток векторного поля через поверхность 277, 278, 297

Предел отображения по фильтру 574

- последовательности точек 413, 516

- фильтра 573, 575

Преобразование Фурье 398, 399, 401, 406, 410, 509, 533—542

Приближение наилучшее 484

Продолжение функции 13, 347

- функционала 519

Произведение полускалярное 447, 498

- скалярное 447

Производная отображения 62

Пространство банахово 481

- гильбертово 455, 496

- линейное 421

- метрическое 411

- нормированное 426

- обобщенных функции 524, 531

- полунормированное 426

- сопряженное 519

- со сходимостью 517

- топологическое 567

Равенство Парсеваля 380, 487, 488, 497, 498

Ряд асимптотический 335

Ряд Стирлинга 340

- Тейлора 19, 544

- тригонометрический 343, 346

- Фурье 346, 359, 360, 362, 365, 377, 381, 385—388, 484

Свертка функций 406, 407

Система замкнутая 490

- ортогональная 471

- полная 376, 444, 445, 478

Сумма Дарбу 141

- интегральная Римана 131, 195

- Фейера 368

- Фурье 352, 355

Точка особая 72, 345

- поверхности 233, 237

- - внутренняя 237

- - краевая 237

- - самопересечения 80, 233, 237

Узлы 553, 559

Фильтр 569, 570

Финитная функция 349, 350, 502

Формула Грина 199, 202, 203, 218

- квадратурная 556, 558

- обращения 398

- Остроградского—Гаусса 283, 284, 285

- прямоугольников 556

- Симпсона 558

- Сохоцкого 526

- Стирлинга 334

- Стокса 287, 289

- Тейлора 4, 5, 8, 11, 543, 545, 546

- трапеций 556, 557

Функции координатные 45, 54

Функционал 57, 515, 517

Функция абсолютно интегрируемая 328

- гармоническая 92

- интегрируемая 132, 219

- Лагранжа 96

- локально интегрируемая 522

- обобщенная 522, 525, 526, 527, 528, 529

- характеристическая 349

- Хевисайда 514, 528

Циркуляция 276, 278, 287

Числа Бернулли 340

Член остаточный интерполяции 555

- - формулы Тейлора 4, 7

Эквивалентности отношение 414, 459, 565

Экстремум 20, 93

Ядро Дирихле 353

- отображения 424

- Фейера 368

Якобиан (определитель Якоби) 35, 67

Часть 3

Курс математического анализа, т. 3
352 стр. М.: "Высшая школа", 1989

Абсолютно интегрируемая функция 8

- сходящийся интеграл 8

Аксиомы расстояния 96

- Фреше 275

Алгебраическая сумма подмножеств линейных пространств 144

134

База топологии пространства 331, 332

- фильтра 335

Базис пространства 140, 167

111, 163

Банахово пространство 163

Бесконечномерное линейное пространство 147

51

Билинейное отображение 147, 148

192

316

Вектор 139

Вес 322

Вложение пространств 227

113

Вполне ограниченное множество метрического пространства 121

183

Л. 36, 38

98, 201

Гильбертов кирпич 123

Гильбертово пространство 97, 98, 201

Главное значение интеграла 79, 80

Гомеоморфизм 132

221

периодическая, абсолютно, интегрируемая, функция, 2\pi, 19

Действительное линейное пространство 137, 138

Дельта-последовательность 41, 284, 285

Дельта-функция 269, 282, 283

Диаметр подмножества 105

24

17

269, 274

Дифференциал Гато 184

- отображения 180

- Фреше 180

Дифференцируемое в точке отображение 180

- - - по заданному направлению отображение 183

Единичная функция 287

Естественное вложение 215

- отображение 209

\varepsilon-окрестность 100

\varepsilon-сеть 121

Замкнутая ортогональная система 239

Изометричное соответствие 99

Изометричные пространства 99

Изоморфизм 146, 159, 179

Изоморфное отображение 146, 159, 179

Изоморфные линейные пространства 146, 159, 179, 200

Интеграл Дирихле 17

- Фурье 69

- - в комплексной форме 81

Интегральное уравнение Вольтерра 113, 114

Интегралы Лапласа 86

Интервал в линейном нормированном пространстве 183

Интерполяционный многочлен 316

- - Лагранжа 317

Квадратурная формула 318, 322

- - точная для многочленов данной степени 322

Класс эквивалентности 205, 206

Компакт в метрическом пространстве 120, 121

Комплексное линейное пространство 138

Конечное покрытие 127

Конечномерное линейное пространство 140

Константа вложения 227

Континуум 133

101, 105, 109, 192, 243, 341

Коэффициенты разложения элемента по данному базису 168

- Фурье 9, 231, 233

Критерий линейной независимости элементов 221

140

Кусочно-непрерывная производная 55

-Л. 317

143

86

23, 154

31

Шварца 185, 186

Линейная комбинация элементов пространства 139

- оболочка множества 140

Линейно зависимая система векторов 139

- независимая система векторов 139

Линейное отображение 145

- пространство 192

- - с почти скалярным произведением 192

- - со скалярным произведением 192

- - - сходимостью 275

Линейность дифференциала 182

- квадратурной формулы 322

- преобразования Фурье 83

Линейный оператор 145

- функционал 255, 276

37

Локальная база топологии пространства 332

Локально интегрируемая функция 281

Метод "вилки" 309

- касательных (метод Ньютона) 312, 315

- хорд 310, 312

Метрика 96

- порожденная заданной нормой пространства 161

Метрическое пространство 96

Минимальное свойство коэффициентов Фурье 232

Многочлены Лежандра 143

- Чебышева 143, 144

Мультилинейное отображение 148

Наилучшее приближение элемента с помощью линейных комбинаций 233

Направление 334

Натуральный фильтр 333

Неподвижная точка отображения 111

Непрерывное отображение в точке 107, 108, 111

- - пространства в пространство 108, 158, 159, 278, 279

Непрерывный функционал 276

Неравенство Бесселя 51, 234

- Коши-Буняковского 192, 194

- Коши-Шварца 243

- треугольника 149, 192

n-мерное пространство 140

n-мерный вектор 140

Норма 149

- билинейного отображения 176

- порожденная скалярным произведением 193

Нормированное линейное пространство 149

Носитель функции 12

Нулевой функционал 277

- элемент 138

312

Обобщенная функция 281

- - медленного роста 291

Образ фильтра 337

Обратное преобразование Фурье 82

Обращение в нуль обобщенной функции на интервале 285

Ограниченное билинейное отображение 176

- множество 105, 158

- по полунорме (по норме) множество 158

Ограниченный оператор 171

Окрестность точки топологического пространства 331

Определитель Вандермонда 316

- Грама 221

Ортогонализация 225

Ортогональная проекция элемента в подпространство 251

- система элементов 6, 220

Ортогональное дополнение множества 250

Ортогональные элементы 220

Ортонормированная система элементов 220

Остаточный член интерполяции 317

Открытое подмножество топологического пространства 331

Отношение эквивалентности 205, 329

Отрезок в линейном нормированном пространстве 183

52, 236

Периодическое продолжение функции 10

111

265

Плотное множество в пространстве 116, 165

Подпространство 98, 139, 249

Подфильтр 334

Покрытие множества 127

Полная система функций в смысле равномерного приближения 47

среднего квадратичного приближения 48

- - элементов пространства 165, 166, 226, 227, 237

Полное линейное нормированное пространство 163

- метрическое пространство 102

Полный фильтр 335

Положительная определенность скалярного произведения 191

- полуопределенность почти скалярного произведения 191

Полунорма 148, 149

- порожденная почти скалярным произведением 193

Полунормированное линейное пространство 148, 149

Пополнение пространства 116, 120, 164, 202, 285

Последовательность Коши 101, 105, 106

Постоянная обобщенная функция 282

Почти скалярное произведение 191, 192

Правильное разбиение 8

Предгильбертово пространство 201

Предел отображения 107

- - по направлению 339

- - - фильтру 338, 340

- последовательности точек метрического пространства 100

- фильтра 337

Предкомпактное множество 134

Преобразование Фурье 81, 82, 266

- - обобщенной функции 297

Признак Дини 24, 26

Принцип неподвижной точки Пикара-Банаха 111, 113

- локализации 21

- сжимающих отображений 111, 113

Продолжение функционала 278

Произведение линейных пространств 147, 174

- фильтров 336

- элемента линейного пространства на число 138

Производная Гато 183

- n-го порядка 187, 188

- обобщенной функции 286

- по направлению 183

- Фреше 182

Простая гармоника 27

Пространство обобщенных функций 283

- - - медленного роста 291

- основных функций D 280

- - - S 289, 290

- со сходимостью см, также, указатель, основных, обозначений, 275

Противоположные элементы 138

Прямая сумма подпространств 145

Равенство обобщенных функций 285

- Парсеваля 52

- Парсеваля-Стеклова 236

Равномерно непрерывное отображение 108

- ограниченное семейство функций 134

- сходящаяся последовательность отображений 109

Равностепенно непрерывное семейство функций 134

Разложение логарифма в степенной ряд в комплексной области 65, 66

- элемента пространства по базису 167

Разность элементов линейного пространства 138

Расстояние 96

- порожденное заданным скалярным произведением 193

Регулярная точка 23

11, 154

Ряд в линейном нормированном пространстве 166

- Лейбница 31

- обобщенных функций 289

- Фурье 9, 62, 233

- - в комплексной форме 64

- - для нечетной функции 28, 63

- - - четной функции 27, 28, 63

Свертка функций 90

Связное метрическое пространство 133

Сепарабельное пространство 127, 166

Сжимающее отображение 111

Сильный дифференциал 184

Символ Кронекера 140, 141

Симметричная билинейная форма 188

319

Скалярное произведение 191, 192

Слабая производная 184

Слабый дифференциал 184

274

Сопряженное пространство 256, 278

285

Среднее квадратичное отклонение 48

236

Ступенчатая функция 259

Сумма ряда 65, 167, 198

- Фейера 39

- Фурье 9, 16

- элементов линейного пространства 138

Сходящаяся по полунорме (по норме) последовательность элементов пространства 156

- последовательность отображений 108

- - точек метрического пространства 99

- - функционалов 277

- - функций 280, 290

Сходимость в смысле p-среднего 157

- - - среднего квадратичного 157

Сходящийся интеграл 8

- ряд 65, 166, 198, 289

Счетное покрытие 127

Теорема Арцела 134, 137

- о замкнутых и полных системах 239, 240

- - композиции непрерывных отображений метрических пространств 110

- - конечных приращениях отображений линейных нормированных пространств 186, 187

- - линейных функционалах гильбертовых пространств 256, 258

- - неподвижной точке сжимающих отображении 111, 113

- - пополнении линейного нормированного пространства 164, 165

пространства со скалярным произведением 201, 202

- - - метрического пространства 116, 120

- - - пространства CL_ 2, 216, 217

- - порядке приближения интегралов с помощью квадратурных формул 324, 326

- - последовательности Коши подмножеств полного метрического пространства 106, 107

- - почленном дифференцировании тригонометрического ряда Фурье 54

- - - интегрировании тригонометрического ряда Фурье 58, 60

- - пределе отображения по фильтру 341, 343

- - - фильтра 338

- - представлении функции интегралом Фурье 75, 78

- - преобразовании Фурье в пространстве S 293, 295

S' 299

- - разложении множества на подмножества, состоящие из эквивалентных элементов 329, 330

- - - пространства в прямую сумму его ортогональных подпространств 254, 255

- - существовании ортонормированных базисов 240

- - сходимости тригонометрического ряда Фурье в данной точке 37, 38

- об изоморфизме гильбертовых пространств 240, 242, 243

- - ортогонализации 224, 225

- - эквивалентности нормированных конечномерных линейных пространств 151, 153

- Римана о коэффициентах ряда Фурье абсолютно интегрируемой функции 11, 15, 16

- Фейера 42, 44

Теоремы Вейерштрасса о приближении непрерывных функций тригонометрическими и алгебраическими многочленами 45, 46, 48

- о единственности рядов Фурье 238, 248

- - компактах в метрическом пространстве 126, 127, 131, 133

- - линейных ограниченных операторах 172, 175

- - минимальном свойстве коэффициентов Фурье 50, 52, 230, 232

- - непрерывных отображениях метрических пространств 132, 133

- - полноте тригонометрических и алгебраических многочленов в пространствах непрерывных функций 48, 50

- - преобразованиях Фурье абсолютно интегрируемых функций 86, 89, 93, 94

- - производных отображений в линейных нормированных пространствах 182, 183

- - равномерно сходящихся тригонометрических рядах Фурье 7, 8, 56, 58, 249

- - сходимости рядов Фурье 52, 53, 235, 238, 245

- об ограниченных билинейных отображениях 176, 177, 179, 180

- - ортогональных проекциях 251, 254

- Планшереля 265, 268

Топология пространства 331

Точка пространства 96, 139

T-периодическая функция 9, 10

Треугольная матрица 142

Тригонометрическая система функций 6

Тригонометрический многочлен 44

- ряд 6

- - Фурье 9

Узел 322

- интерполяции 316

Упорядоченное множество 334

Условие Гёльдера 36

- Липшица 37

39, 41

Раздел 5.

Раздел 5. Практикум по решению задач (практических ситуаций) по темам лекций (одна из составляющих частей итоговой государственной аттестации)

Задача 1. Найти неопределенные интегралы.

Задача 2. Вычислить определенные интегралы.

Задача 3. Найти неопределенные интегралы.

Задача 4. Вычислить определенные интегралы.

Задача 5. Доказать, что (указать ).

.

при выполняется неравенство , следовательно

Задача 6. Вычислить пределы числовых последовательностей.

Задача 7. Вычислить пределы числовых последовательностей.

Задача 8. Вероятность наступления события А в каждом испытании равна 0,3. Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что в 10000 испытаниях отклонение относительной частоты появления события А от его вероятности не превзойдет по абсолютной величине 0,01.

В соответствии с неравенством Чебышева вероятность того, что отклонение случайной величины от ее математического ожидания будет меньше некоторого числа e, ограничена в соответствии с неравенством .

Надо определить математическое ожидание и дисперсию числа появления события А при одном опыте. Для события А случайная величина может принимать одно из двух значений: 1- событие появилось, 0- событие не появилось. При этом вероятность значения 1 равна вероятности р=0,3, а вероятность значения 0- равна вероятности ненаступления события А

q=1 – p =0,7.

По определению математического ожидания имеем:

Дисперсия:

В случае п независимых испытаний получаем Эти формулы уже упоминались выше.

В нашем случае получаем:

Вероятность отклонения относительной частоты появления события А в п испытаниях от вероятности на величину, не превышающую e=0,01 равна:

Выражение полученное в результате этих простых преобразований представляет собой не что иное, как вероятность отклонения числа т появления события А от математического ожидания на величину не большую, чем d=100.

В соответствии с неравенством Чебышева эта вероятность будет не меньше, чем вели

чина

Задачи для самостоятельного решения

Изобразить указанные области и записать как правильные в направлении Oy.

1. S – параллелограмм со сторонами x=3, x=5, 3x-2y+4=0, 3x-2y+1=0.

2. Область D задана неравенствами .

3. Область D – треугольник со сторонами .

Найти сумму ряда, исходя из определения.

1. 2. 3.

Доказать расходимость рядов с помощью необходимого признака.

4. 5. 6.

Решить вопрос о сходимости рядов с помощью признаков сравнения.

7. 8. 9.

10. 11. 12.

13. 14.

Исследовать сходимость рядов с помощью признака Даламбера.

15. 16. 17.

18. 19. 20.

Исследовать сходимость рядов с помощью признака Коши (радикального).

21. 22. 23.

Исследовать сходимость рядов с помощью интегрального признака Коши.

24. 25.

Выяснить, какие из рядов сходятся, какие расходятся.

26. 27. 28.

29. 30.

31. 32. 33.

34. 35. Доказать, что .

Исследовать сходимость следующих рядов. В случае сходимости исследовать, как ряды сходятся : абсолютно или условно.

36. 37. 38.

39. 40. 41.

42. 43. 44.

45.

46. Показать, что если ряды и сходятся, то и ряд абсолютно сходится.

47. Показать, что если ряд абсолютно сходится, то и ряд тоже абсолютно сходится.

48. Дан ряд Оценить ошибку, допускаемую при замене суммы этого ряда суммой его первых четырех членов. Суммой первых пяти членов. Что можно сказать о знаке этих ошибок?

49

. Сколько нужно взять членов ряда , чтобы вычислить его сумму с точностью до 0,01? до 0,001?

Пример. В первой коробке содержится 10 шаров, из них 8 белых; во второй коробке 20 шаров, из них 4 белых. Из каждой коробки наугад извлекли по одному шару, а затем из этих двух шаров наугад берут один шар. Найти вероятность того, что этот шар белый.

Раздел 6. Изменения в рабочей программе, которые произошли после утверждения программы.

Характер изменений в программе	Номер и дата протокола заседания кафедры, на котором было принято данное решение	Подпись заведующего кафедрой, утверждающего внесенное изменение	Подпись декана факультета (проректора по учебной работе), утверждающего данное изменение

Раздел 7. Учебные занятия по дисциплине ведут:

Ф. И.О., ученое звание и степень преподавателя	Учебный год	Факультет	Специальность
Старший преподаватель кафедры МА и МПМ Старший преподаватель кафедры МиМОМ		ФКиБЖД ФКиБЖД	050104.00 - безопасность жизнедеятельности с дополнительной специальностью 050104.65 - безопасность жизнедеятельности с дополнительной специальностью