Математика (стр. 2 )

1.7.1.Тематика и планы практических занятий по изученному материалу

§  Темы практических занятий по дисциплине «Математика».

§  План.

§  Теория пределов.

§  Предел числовой последовательности (определение числовой последовательности, примеры числовых последовательностей, ограниченные и неограниченные числовые последовательности, бесконечно малые и бесконечно большие числовые последовательности, определение предела числовой последовательности, свойства сходящихся числовых последовательностей, доказательство пределов и , монотонные последовательности, число «е», теорема о вложенных отрезках).

§  Интегральное исчисление.

§  Понятие первообразной и неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла. Таблица основных интегралов. Основные методы интегрирования (замена переменной и интегрирование по частям). Интегрирование дробно-рациональных функций. Метод Остроградского. Интегрирование тригонометрических выражений и функций вида . Интегрирование иррациональных функций

§  Элементы теории вероятности.

§  Определение событий, классическое определение вероятности, операции над событиями, формула полной вероятности, формулы Бейеса, Бернулли. Случайные величины, закон распределения дискретной случайной величины, распределение Пуассона, дисперсия.

§  Литература:

Очан задач по математическому анализу. М., Просвещение, 1981. , , Садовничий и упражнения по математическому анализу. Часть 1. М., Дрофа, 2001. Демидович задач и упражнений по математическому анализу. М, Наука, 1990. , , Никольский задач по математическому анализу. М., 1973.

5. Гмурман вероятностей и математическая статистика. Москва « Высшая школа», 2000

1.8. Учебно-методическое обеспечение дисциплины.

1.8.1. Рекомендуемая литература:

§  Основная литература.

Баврин высшей математики, М., 1992 Шипачев высшей математики, М., 1989 Шипачев математика. М., 1990 , , Никольский задач по математическому анализу. М., 1973 Берман задач по курсу математического анализа. М., 1964 , , Цветков по курсу математического анализа, часть 1 и часть 2, М., 1971 Матвеев уравнения. М., 1988 , Маркушевич в теорию аналитических функций. М., Просвещение, 1977.

9.  Привалов в теорию функций комплексного переменного. М., 1999.

Матвеев задач и упражнений по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Вышейшая школа, Минск, 1967. , Головач пособие по высшей математике. Дифференциальные уравнения в примерах и задачах. М., 2001. Боярчук комплексного переменного: теория и практика (справочное пособие по математике). М., 2001 Очан задач по математическому анализу. М., Просвещение, 1981. , , Чубариков по математическому анализу, М., Дрофа, 2003. , , Фомин управление. М., Наука, 1979. , , Тихомиров задач по оптимизации. М., Наука, 1984. Я Вариационное исчисление и интегральные уравнения, Лань, 2005. , Летова оптимизации в примерах и задачах. М., Высшая школа, 2005. , и др. Сборник задач по математике для ВТУЗОВ. Методы оптимизации. Уравнения в частных производных. Интегральные уравнения. М., Наука, 1990.

Дополнительная литература

Демидович задач и упражнений по математическому анализу. М, Наука, 1990. , , Головач пособие по высшей математике. Математический анализ: введение в анализ, производная, интеграл. М., 2001. , , Шабунин задач по математическому анализу. Предел. Непрерывность. Дифференцируемость. М., Наука, 1984. , , Шабунин задач по математическому анализу. Интегралы. Ряды. М., Наука, 1986. , , Шабунин задач по математическому анализу (функции нескольких переменных). М., 1994. , , Никольский задач по математическому анализу. М., 1973 , Бодрякова задачи на экстремум функции, МШ № 3, 1993, с. 15 – 20. , , Пасиченко по математике. Начала анализа., М., Наука, 1990. Ветрова физических задач по общему курсу высшей математики. Минск, Вышейшая школа, 1997. Матвеев интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. ЛГУ, 1955. Маркушевич курс теории аналитических функций. М., Наука, 1978. Эльсгольц уравнения и вариационное исчисление. М., Наука, 1965. Петровский по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М., 1952. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М., 1950. , Шабат теории функций комплексного переменного. М., 1951. , , Шабунин по теории функции комплексного переменного. М., Наука, 1976. , Эльсгольц комплексного переменного. М., 1958. Соломенцев комплексного переменного и их применения. М., 1988. , , Эльсгольц комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. М., Наука, 1965. , , Бежанов задач по теории аналитических функций. М., 1969 , , Араманович задач по теории функций комплексного переменного. М., 1975 , , Янпольский задач по математике для втузов. Ч. 2. Специальные разделы математического анализа. М., Наука, 1986. Буслаев исчисление. СПб, ЛГУ, 1980. Эльсгольц уравнения и вариационное исчисление. М., Наука, 1965. , , Михайленко математика, Киев, Выща школа,1989 , Тихомиров курс теории экстремальных задач. Изд-во МГУ, 1989.

1. 9. Материально-техническое обеспечение дисциплины.

Не предусмотрено учебным планом.

1.10. Примерные зачетные тестовые задания.

Вариант № 1

1. Вычислить интегралы:

а) , где - отрезок прямой, соединяющий точки и ;

б) , где - окружность ; в) , где : от точки до ; г) , где : .

2. Проверить, является ли данное выражение полным дифференциалом функции . Найти эту функцию. Результат проверить.

3. С помощью формулы Грина вычислить интеграл , где - пробегаемый в положительном направлении контур с вершинами .

4. Вычислить поверхностный интеграл по поверхности , где - часть плоскости , отсеченная координатными плоскостями:

.

5. Определить координаты центра масс однородной поверхности:

6. Вычислить поверхностный интеграл: , где - верхняя сторона плоскости , отсеченной координатными плоскостями.

7. Вычислить с помощью теоремы Остроградского – Гаусса: , где - внешняя сторона полной поверхности .

8. Вычислить интеграл, используя формулу Стокса:

, где - эллипс , ориентированный отрицательно относительно вектора .

Вариант № 2

1. Пусть - открытый шар произвольного метрического пространства радиуса R с центром в точке и пусть . Доказать, что существует открытый шар с центром в точке , лежащий целиком внутри .

2. Пусть X - множество всех действительных чисел, . Является ли метрикой?

3. Пусть - гильбертово пространство. Доказать, что выполняется равенство .

4. Найти все экстремали функционала , удовлетворяющие указанным граничным условиям: .

5. Найти экстремали функционала в задаче с подвижными границами:

.

6. Найти управление , которое удовлетворяет необходимым условиям оптимальности:

.

1.11. Примерный перечень вопросов к зачету (экзамену).

МАТЕМАТИКА

1. Определение и условия существования двойного интеграла. Геометрический смысл двойного интеграла. Свойства двойного интеграла.

2. Сведение двойного интеграла к повторному (случай прямоугольной области).

3. Сведение двойного интеграла к повторному (случай криволинейной области).

4. Замена переменных в двойном интеграле.

5. Геометрические приложения двойных интегралов ( вычисление площади фигуры, объема тела и площади поверхности).

6. Физические приложения двойного интеграла (вычисление массы материальной пластинки, вычисление координат центра масс и моментов инерции пластинки).

7. Определение и вычисление тройных интегралов.

8. Замена переменных в тройном интеграле.

9. Приложения тройных интегралов.

10. Определение криволинейного интеграла первого рода. Вычисление криволинейных интегралов первого рода.

11. Приложения криволинейных интегралов первого рода.

12. Определение и вычисление криволинейных интегралов второго рода. Физический смысл криволинейного интеграла второго рода.

13. Формула Грина.

14. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования.

15. Интегрирование полных дифференциалов. Некоторые приложения криволинейных интегралов 2-ого рода.

16. Поверхностный интеграл 1-го рода.

17. Применение поверхностных интегралов 1-го рода в физике.

18. Поверхностный интеграл 2-го рода (определение поверхностного интеграла 2-го рода, вычисление поверхностных интегралов 2-го рода (1-й способ)).

19. Поверхностный интеграл 2-го рода (связь между поверхностными интегралами 1-го и 2-го рода, вычисление поверхностных интегралов 2-го рода (2-й способ), случай поверхности, заданной параметрически).

20. Формула Остроградского- Гаусса.

21. Формула Стокса.

22. Скалярные и векторные поля.

23. Поток векторного поля через поверхность.

24. Дивергенция векторного поля.

25. Циркуляция векторного поля. Ротор векторного поля.

26. Оператор Гамильтона.

27. Дифференциальные операции второго порядка. Интегральные формулы.

28. Классификация векторных полей.

29. Понятие числового ряда. Примеры.

30. Свойства сходящихся рядов.

31. Необходимое условие сходимости ряда. Гармонический ряд.

32. Лемма. Теоремы сравнения.

33. Признак Даламбера.

34. Признак Коши.

35. Интегральный признак Коши сходимости числового ряда. Ряд Дирихле.

36. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Оценка остатка ряда.

37. Абсолютная и условная сходимость рядов.

38. Степенные ряды. Теорема Абеля. Теорема о существовании числа R.

39. Радиус сходимости, интервал сходимости степенного ряда.

40. Формула Адамара-Даламбера-Коши.

41. Теоремы дифференцирования и интегрирования степенных рядов. Обобщенный степенной ряд.

42. Теорема о единственности разложения в степенной ряд. Ряд Маклорена.

43. Необходимое и достаточное условие сходимости ряда Маклорена.

44. Разложение в степенные ряды функций

45. Разложение в степенные ряды функций

46. Применения степенных рядов.

47. Предел последовательности комплексных чисел. Числовые ряды с комплексными членами.

48. Степенные ряды с комплексными членами. Формулы Эйлера.

49. Тригонометрический ряд и его основные свойства.

50. Единственность разложения в ряд Фурье. Определение и сходимость ряда Фурье.

51. Ряды Фурье для четных и нечетных функций.

1.12. Комплект экзаменационных билетов.

МАТЕМАТИКА

Билет № 1

1. Определение и условия существования двойного интеграла. Геометрический смысл двойного интеграла. Свойства двойного интеграла.

2. Определение криволинейного интеграла первого рода. Вычисление криволинейных интегралов первого рода. Примеры.

3. Найти координаты центра масс тела с плотностью :

Билет № 2

1. Сведение двойного интеграла к повторному (случай прямоугольной области). Пример.

2. Приложения криволинейных интегралов первого рода. Примеры.

3. Вычислить с помощью формулы Грина криволинейный интеграл где Г - окружность пробегаемая против хода часовой стрелки.

Билет № 3

1. Сведение двойного интеграла к повторному (случай криволинейной области). Пример.

2. Определение и вычисление криволинейных интегралов второго рода. Физический смысл криволинейного интеграла второго рода. Примеры.

3. Найти координаты центра масс тела с плотностью :

.

Билет № 4

1. Замена переменных в двойном интеграле. Примеры.

2. Формула Грина. Пример.

3. Вычислить с помощью тройного интеграла объем тела, ограниченного указанными поверхностями. Сделать чертежи данного тела и его проекции на плоскость :

.

Билет № 5

1. Геометрические приложения двойных интегралов ( вычисление площади фигуры, объема тела и площади поверхности). Примеры.

2. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования. Пример.

3. Вычислить с помощью двойного интеграла в полярных координатах площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной уравнением в декартовых координатах :

.

Билет № 6

1. Физические приложения двойного интеграла (вычисление массы материальной пластинки, вычисление координат центра масс и моментов инерции пластинки). Примеры.

2. Интегрирование полных дифференциалов. Примеры.

3. Найти координаты центра масс тела с плотностью :

.

Билет № 7

1. Определение и вычисление тройных интегралов. Примеры.

2. Некоторые приложения криволинейных интегралов 2-ого рода (вычисление площади с помощью формулы Грина, работа силы), примеры.

3. Найти момент инерции окружности

Билет № 8

1. Замена переменных в тройном интеграле. Примеры.

2. Формула Грина. Пример.

3. Найти массу, распределенную с линейной плотностью по дуге АВ плоской кривой Г, если Г - отрезок АВ, А(1; 1), В(2; 3).

Билет № 9

1. Приложения тройных интегралов. Примеры.

2. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования. Пример.

3. Показать, что криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования и вычислить этот интеграл.

Билет № 10

1. Определение и условия существования двойного интеграла. Геометрический смысл двойного интеграла. Свойства двойного интеграла.

2. Определение криволинейного интеграла первого рода. Вычисление криволинейных интегралов первого рода. Примеры.

3. Вычислить с помощью формулы Грина криволинейный интеграл где Г - окружность пробегаемая против хода часовой стрелки.

Билет № 11

1. Сведение двойного интеграла к повторному (случай прямоугольной области). Пример.

2. Приложения криволинейных интегралов первого рода. Примеры.

3. Используя криволинейный интеграл 2-ого рода вычислить площадь фигуры, ограниченной астроидой

Билет № 12

1. Сведение двойного интеграла к повторному (случай криволинейной области). Пример.

2. Определение и вычисление криволинейных интегралов второго рода. Физический смысл криволинейного интеграла второго рода. Примеры.

3. Найти моменты инерции относительно координатных осей и относительно начала координат однородной (=1) плоской фигуры:

Билет № 13

1. Замена переменных в двойном интеграле. Примеры.

2. Формула Грина. Пример.

3. Найти координаты центра масс однородной плоской (=1) фигуры, ограниченной петлей декартова листа

Билет № 14

1. Геометрические приложения двойных интегралов ( вычисление площади фигуры, объема тела и площади поверхности). Примеры.

2. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования. Пример.

3. Найти координаты центра масс однородной плоской (=1) фигуры:

Билет № 15

1. Физические приложения двойного интеграла (вычисление массы материальной пластинки, вычисление координат центра масс и моментов инерции пластинки). Примеры.

2. Интегрирование полных дифференциалов. Примеры.

3. Найти моменты инерции относительно координатных плоскостей однородного (=1) тела:

Билет № 16

1. Определение и вычисление тройных интегралов. Примеры.

2. Некоторые приложения криволинейных интегралов 2-ого рода (вычисление площади с помощью формулы Грина, работа силы), примеры.

3. Найти моменты инерции относительно координатных осей однородного (=1) тела:

Билет № 17

1. Замена переменных в тройном интеграле. Примеры.

2. Формула Грина. Пример.

3. Найти моменты инерции относительно координатных осей однородного (=1) тела:

Билет № 18

1. Приложения тройных интегралов. Примеры.

2. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования. Пример.

3. Найти координаты центра масс тела с плотностью :

1.13. Примерная тематика рефератов

Не предусмотрено учебным планом.

1.14. Примерная тематика курсовых работ

Не предусмотрено учебным планом.

1.15. Примерная тематика дипломных работ

Не предусмотрено учебным планом.

1.16. Методика исследования

Нет

1.17. Бально-рейтинговая система, используемая преподавателем для оценивания знаний студентов по данной дисциплине

Экзаменационная оценка (отлично, хорошо, удовлетворительно, неудовлетворительно)

Раздел 3. Содержательный компонент теоретического материала

Лекция №1. Понятие числовой последовательности. Предел числовой последовательности. Монотонные последовательности. Число e.

Числовая последовательность.

Определение. Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие число хn, то говорят, что задана последовательность

x1, х2, …, хn = {xn}

Общий элемент последовательности является функцией от n.

xn = f(n)

Таким образом последовательность может рассматриваться как функция.

Задать последовательность можно различными способами – главное, чтобы был указан способ получения любого члена последовательности.

Пример. {xn} = {(-1)n} или {xn} = -1; 1; -1; 1; …

{xn} = {sinpn/2} или {xn} = 1; 0; 1; 0; …

Для последовательностей можно определить следующие операции:

1)  Умножение последовательности на число m: m{xn} = {mxn}, т. е. mx1, mx2, …

2)  Сложение (вычитание) последовательностей: {xn} ± {yn} = {xn ± yn}.

3)  Произведение последовательностей: {xn}×{yn} = {xn×yn}.

4)  Частное последовательностей: при {yn} ¹ 0.

Ограниченные и неограниченные последовательности.

Определение. Последовательность {xn} называется ограниченной, если существует такое число М>0, что для любого n верно неравенство:

т. е. все члены последовательности принадлежат промежутку (-М; M).

Определение. Последовательность {xn}называется ограниченной сверху, если для любого n существует такое число М, что

xn £ M.

Определение. Последовательность {xn}называется ограниченной снизу, если для любого n существует такое число М, что

xn ³ M

Пример. {xn} = n – ограничена снизу {1, 2, 3, … }.

Определение. Число а называется пределом последовательности {xn}, если для любого положительного e>0 существует такой номер N, что для всех n > N выполняется условие:

Это записывается: lim xn = a.

В этом случае говорят, что последовательность {xn}сходится к а при n®¥.

Свойство: Если отбросить какое - либо число членов последовательности, то получаются новые последовательности, при этом если сходится одна из них, то сходится и другая.

Пример. Доказать, что предел последовательности lim .

Пусть при n > N верно , т. е. . Это верно при , таким образом, если за N взять целую часть от , то утверждение, приведенное выше, выполняется.

Пример. Показать, что при n®¥ последовательность 3, имеет пределом число 2.

Итого: {xn}= 2 + 1/n; 1/n = xn – 2

Очевидно, что существует такое число n, что , т. е. lim {xn} = 2.

Теорема. Последовательность не может иметь более одного предела.

Доказательство. Предположим, что последовательность {xn}имеет два предела a и b, не равные друг другу.

xn ® a; xn ® b; a ¹ b.

Тогда по определению существует такое число e >0, что

Запишем выражение:

А т. к. e - любое число, то , т. е. a = b. Теорема доказана.

Теорема. Если xn ® a, то .

Доказательство. Из xn ® a следует, что . В то же время:

, т. е. , т. е. . Теорема доказана.

Теорема. Если xn ® a, то последовательность {xn} ограничена.

Следует отметить, что обратное утверждение неверно, т. е. из ограниченности последовательности не следует ее сходимость.

Например, последовательностьне имеет предела, хотя

Монотонные последовательности.

Определение. 1) Если xn+1 > xn для всех n, то последовательность возрастающая.

2)Если xn+1 ³ xn для всех n, то последовательность неубывающая.

3)Если xn+1 < xn для всех n, то последовательность убывающая.

4)Если xn+1 £ xn для всех n, то последовательность невозрастающая

Все эти последовательности называются монотонными. Возрастающие и убывающие последовательности называются строго монотонными.

Пример. {xn} = 1/n – убывающая и ограниченная

{xn} = n – возрастающая и неограниченная.

Пример. Доказать, что последовательность {xn}= монотонная возрастающая.

Найдем член последовательности {xn+1}=

Найдем знак разности: {xn}-{xn+1}=

, т. к. nÎN, то знаменатель положительный при любом n.

Таким образом, xn+1 > xn. Последовательность возрастающая, что и следовало доказать.

Пример. Выяснить является возрастающей или убывающей последовательность

{xn} = .

Найдем . Найдем разность

, т. к. nÎN, то 1 – 4n <0, т. е. хn+1 < xn. Последовательность монотонно убывает.

Следует отметить, что монотонные последовательности ограничены по крайней мере с одной стороны.

Теорема. Монотонная ограниченная последовательность имеет предел.

Доказательство. Рассмотрим монотонную неубывающую последовательность

х1 £ х2 £ х3 £ … £ хn £ xn+1 £ …

Эта последовательность ограничена сверху: xn £ M, где М – некоторое число.

Т. к. любое, ограниченное сверху, числовое множество имеет четкую верхнюю грань, то для любого e>0 существует такое число N, что xN > a - e, где а – некоторая верхняя грань множества.

Т. к. {xn}- неубывающая последовательность, то при N > n а - e < xN £ xn,

xn > a - e.

Отсюда a - e < xn < a + e

-e < xn – a < e или ôxn - aô< e, т. е. lim xn = a.

Для остальных монотонных последовательностей доказательство аналогично.

Теорема доказана.

Число е.

Рассмотрим последовательность {xn} = .

Если последовательность {xn} монотонная и ограниченная, то она имеет конечный предел.

По формуле бинома Ньютона:

или, что то же самое

Покажем, что последовательность {xn} – возрастающая. Действительно, запишем выражение xn+1 и сравним его с выражением xn:

Каждое слагаемое в выражении xn+1 больше соответствующего значения xn, и, кроме того, у xn+1 добавляется еще одно положительное слагаемое. Таким образом, последовательность {xn} возрастающая.

Докажем теперь, что при любом n ее члены не превосходят трех: xn < 3.

Итак, последовательность - монотонно возрастающая и ограниченная сверху, т. е. имеет конечный предел. Этот предел принято обозначать буквой е.