Математика (стр. 9 )

Определение. Если поток событий стационарен, ординарен и без последействий, то такой поток называется простейшим (пуассоновским) потоком.

Это название связано с тем, что в этом случае число событий, попадающих на любой фиксированный интервал времени, распределено по распределению Пуассона .

В соответствии с этим законом распределения математическое ожидание числа точек, попавших попадающих на участок времени t, имеет вид:

l - плотность потока – среднее число событий в единицу времени.

Вероятность того, что за время t произойдет ровно т событий, равна

Вероятность того, что в течение данного времени не произойдет ни одного события, равна:

Пусть Т – промежуток времени между двумя произвольными соседними событиями в простейшем потоке. Найдем функцию распределения

В соответствии с законом распределения Пуассона, получаем:

Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение этой величины соответственно равны:

Таким образом, для величины Т получили показательный закон распределения.

Пример. В бюро обслуживания в среднем поступает 12 заявок в час. Считая поток заказов простейшим, определить вероятность того, что: а) за 1 минуту не поступит ни одного заказа, б) за 10 минут поступит не более трех заказов.

Сначала найдем плотность (интенсивность) потока, выразив ее в количестве заявок в минуту. Очевидно, эта величина равна .

Далее находим вероятность того, что за время t = 1 мин не поступит ни одной заявки по формуле:

Вероятность того, что за 10 минут поступит не более трех заказов будет складываться из вероятностей того, что не поступит ни одного заказа, поступит один, два или ровно три заказа.

Пример. В ресторан прибывает в среднем 20 посетителей в час. Считая поток посетителей простейшим, и зная, что ресторан открывается в 11.00, определите:

а) вероятность того, что в 11.12 в ресторан придет 20 посетителей при условии, что в 11.07 их было 18

б) вероятность того, что между 11.28 и 11.30 в ресторане окажется новый посетитель, если известно, что предшествующий посетитель прибыл в 11.25.

Для ответ на первый вопрос фактически надо найти вероятность того, что в промежуток от 11.07 до 11.12 (t = 5 минут) придет ровно 2 посетителя. При этом мы знаем интенсивность потока посетителей - l = 20/60 = 1/3 посетителей в минуту. Конечно, данная величина носит условный характер, т. к. посетители не могут приходить по частям.

Искомая вероятность равна:

Теперь перейдем ко второму вопросу. Нам не сказано, сколько именно новых посетителей будет в промежутке от 11.28 до 11.30, главное чтобы был хоть один. Эта вероятность равна . Здесь Р0 (2) – вероятность того, что в этом промежутке не будет ни одного посетителя.

Если поток событий нестационарен, то его плотность l уже не является постоянной величиной, а зависит от времени.

Определение. Мгновенной плотностью потока событий называется предел отношения среднего числа событий, приходящегося на элементарный отрезок времени (t, t + Dt), к длине этого участка, которая стремиться к нулю.

Как видно из приведенного определения, с учетом того, что среднее число событий на участке времени равно математическому ожиданию, то можно сказать, что мгновенная плотность потока равна производной по времени от математического ожидания числа событий на участке (0, t).

Определение. Нестационарным пуассоновским потоком называется ординарный поток однородных событий без последействий с переменной плотностью l(t).

Для такого потока число событий, попадающих на участок длины t, начинающийся в точке t0, подчиняется закону Пуассона:

Здесь а – математическое ожидание числа событий на участке от t0 доt + t0 . Оно вычисляется по формуле:

Величина а на только от длины участка t, но и от его положения во времени. Закон распределения промежутка Т между двумя соседними событиями также будет зависеть от того, где на временной оси расположено первое из событий, а также от функции l(t) .

Вероятность того, что на участке времени от t0 до t + t0 не появится ни одного события, равна

Тогда, соответственно, вероятность появления хотя бы одного события на этом интервале времени будет равна:

Плотность распределения можно найти дифференцированием:

Эта плотность распределения уже не будет показательной. Она зависит от параметра t0 и вида функции l(t). Однако, условие отсутствия последействия в этом виде потока сохраняется.

Поток Пальма.

Поток Пальма еще называют потоком с ограниченным последействием.

Определение. Потоком Пальма называется ординарный поток однородных событий, если промежутки между событиями Т1, Т2, … представляют собой независимые случайные величины.

Если промежутки времени Т1, Т2, … распределены по показательному закону, то поток Пальма становится простейшим потоком.

Примером потока Пальма может служить движение колонны автомобилей. Пусть движется колонна автомобилей, каждый из которых, двигаясь с одинаковой скоростью, стремится держаться на некотором заданном расстоянии от впереди идущего автомобиля. Однако, вследствие воздействия множества случайных факторов, это расстояние выдерживается не точно. Тогда времена пересечения каждым автомобилем определенного рубежа Т1, Т2, … будут независимыми случайными величинами и образуют по ток Пальма.

Отметим, что если автомобили будут стремиться выдерживать заданное расстояние не от соседней машины, а от головной, то моменты пересечения этого рубежа уже не будут образовывать поток Пальма.

Поток Пальма часто получается в качестве выходного потока систем массового обслуживания.

Теорема. (Теорема Пальма) Пусть на систему массового обслуживания поступает поток заявок типа Пальма, причем заявка, заставшая все каналы занятыми, получает отказ (не обслуживается). Если при этом время обслуживания имеет показательный закон распределения, то поток не обслуженных заявок является также потоком типа Пальма.

Этот факт важен, так как на практике получившие отказ заявки обычно перенаправляются на другую систему массового обслуживания, т. е. образуют для этой системы входной поток.

Так, если на систему массового обслуживания поступает простейший входной поток, то поток заявок, получивших отказ, уже не будет простейшим, однако, будет потоком с ограниченным последействием.

Потоки Эрланга.

Потоки Эрланга также являются потоками с ограниченным последействием. Они образуются просеиванием простейшего потока.

Суть этого просеивания состоит в следующем. Если изобразить на временной оси простейший поток, поставив в соответствие каждому событию некоторую точку, и выбросить из потока каждую вторую точку, то получим поток Эрланга первого порядка. Оставив каждую третью точку и выбросив две промежуточные, получаем поток Эрланга второго порядка и т. д.

Определение. Потоком Эрланга k – порядка называется поток, получаемый из простейшего, если сохранить в простейшем потоке каждую (k + 1) – ю точку, а остальные выбросить.

Очевидно, что простейший поток может рассматриваться как поток Эрланга нулевого порядка.

Пусть имеется простейший поток с интервалами Т1, Т2, … между событиями. Величина Т – промежуток времени между двумя соседними событиями в потоке Эрланга k – го порядка.

Очевидно, что . Так как первоначальный поток – простейший, то случайные величины Т1, Т2, … распределены по показательному закону:

Обозначим fk(t) плотность распределения величины Т для потока Эрланга k – го порядка. Если умножить эту плотность на элементарный отрезок времени dt, мы получим вероятность того, что величина Т примет значение в некоторой сколь угодно малой окрестности точки t - (t, t + dt). На этот участок должна попасть конечная точка промежутка, а предыдущие k точек простейшего потока – на промежуток (0, t).

Вероятность первого события равна , а второго - . Эти события должны осуществиться совместно, значит, их вероятности надо перемножить.

Полученный закон распределения называется законом распределением Эрланга k- го порядка.

При k = 0 получаем показательный закон распределения.

Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение для распределения Эрланга находятся по формулам:

Плотность потока Эрланга равна

Для промежутка времени между двумя соседними событиями в потоке Т рассмотрим нормированную величину . Такой поток будет называться нормированным потоком Эрланга.

Закон распределения для такого потока будет иметь вид:

,

Математическое ожидание и дисперсия будут равны:

Получается, что неограниченном увеличении k нормированный поток Эрланга приближается к регулярному потоку с постоянными интервалами, равными .

Изменение порядка нормированного потока Эрланга позволяет получить различную степень последействия. Последействие возрастает с увеличением k.

На практике это удобно для приближенного представления реального потока с каким – либо последействием потоком Эрланга. При этом порядок этого потока определяется из того соображения, чтобы характеристики потока Эрланга (математическое ожидание и дисперсия) совпадали с характеристиками исходного потока.

Цепи Маркова.

(Андрей Андреевич Марков () – русский математик, академик)

Определение. Процесс, протекающий в физической системе, называется марковским, если в любой момент времени вероятность любого состояния системы в будущем зависит только от состояния системы в текущий момент и не зависит от того, каким образом система пришла в это состояние.

Определение. Цепью Маркова называется последовательность испытаний, в каждом из которых появляется только одно из k несовместных событий Ai из полной группы. При этом условная вероятность pij(s) того, что в s –ом испытании наступит событие Aj при условии, что в (s – 1) – ом испытании наступило событие Ai, не зависит от результатов предшествующих испытаний.

Независимые испытания являются частным случаем цепи Маркова. События называются состояниями системы, а испытания – изменениями состояний системы.

По характеру изменений состояний цепи Маркова можно разделить на две группы.

Определение. Цепью Маркова с дискретным временем называется цепь, изменение состояний которой происходит в определенные фиксированные моменты времени. Цепью Маркова с непрерывным временем называется цепь, изменение состояний которой возможно в любые случайные моменты времени.

Определение. Однородной называется цепь Маркова, если условная вероятность pij перехода системы из состояния i в состояние j не зависит от номера испытания. Вероятность pij называется переходной вероятностью.

Допустим, число состояний конечно и равно k.

Тогда матрица, составленная из условных вероятностей перехода будет иметь вид:

Эта матрица называется матрицей перехода системы.

Т. к. в каждой строке содержаться вероятности событий, которые образуют полную группу, то, очевидно, что сумма элементов каждой строки матрицы равна единице.

На основе матрицы перехода системы можно построить так называемый граф состояний системы, его еще называют размеченный граф состояний. Это удобно для наглядного представления цепи. Порядок построения граф рассмотрим на примере.

Пример. По заданной матрице перехода построить граф состояний.

Т. к. матрица четвертого порядка, то, соответственно, система имеет 4 возможных состояния.

 

S1

0,2 0,7

S2 0,4 S4

0,6 0,5

0,1 0,5

S3

На графе не отмечаются вероятности перехода системы из одного состояния в то же самое. При рассмотрении конкретных систем удобно сначала построить граф состояний, затем определить вероятность переходов системы из одного состояния в то же самое (исходя из требования равенства единице суммы элементов строк матрицы), а потом составить матрицу переходов системы.

Пусть Pij(n) – вероятность того, что в результате n испытаний система перейдет из состояния i в состояние j, r – некоторое промежуточное состояние между состояниями i и j. Вероятности перехода из одного состояния в другое pij(1) = pij.

Тогда вероятность Pij(n) может быть найдена по формуле, называемой равенством Маркова:

Здесь т – число шагов (испытаний), за которое система перешла из состояния i в состояние r.

В принципе, равенство Маркова есть ни что иное как несколько видоизменная формула полной вероятности.

Зная переходные вероятности (т. е. зная матрицу перехода Р1), можно найти вероятности перехода из состояния в состояние за два шага Pij(2), т. е. матрицу Р2, зная ее – найти матрицу Р3, и т. д.

Непосредственное применений полученной выше формулы не очень удобно, поэтому, можно воспользоваться приемами матричного исчисления (ведь эта формула по сути – не что иное как формула перемножения двух матриц).

Тогда в общем виде можно записать:

Вообще то этот факт обычно формулируется в виде теоремы, однако, ее доказательство достаточно простое, поэтому приводить его не буду.

Пример. Задана матрица переходов Р1. Найти матрицу Р3.

Определение. Матрицы, суммы элементов всех строк которых равны единице, называются стохастическими. Если при некотором п все элементы матрицы Рп не равны нулю, то такая матрица переходов называется регулярной.

Другими словами, регулярные матрицы переходов задают цепь Маркова, в которой каждое состояние может быть достигнуто через п шагов из любого состояния. Такие цепи Маркова также называются регулярными.

Теорема. (теорема о предельных вероятностях) Пусть дана регулярная цепь Маркова с п состояниями и Р – ее матрица вероятностей перехода. Тогда существует предел и матрица Р(¥) имеет вид:

Т. е. матрица состоит из одинаковых строк.

Теперь о величинах ui. Числа u1, u2, …, un называются предельными вероятностями. Эти вероятности не зависят от исходного состояния системы и являются компонентами собственного вектора матрицы РТ (транспонированной к матрице Р).

Этот вектор полностью определяется из условий:

Раздел 4. Словарь терминов (глоссарий)

(страницы указаны в кн.
"Курс математического анализа" . Все тома есть в электронной библиотеке факультета )

Часть 1

Курс математического анализа, т. 1
688 стр. М.: "Высшая школа", 1981

Абеля неравенство 582

- преобразование 582

- признак 585

- теорема о сходимости степенного ряда 621, 624

Архимеда свойство действительных чисел 43

Архимеда спираль 511

Асимптота 236, 243

Асимптотическое равенство 146, 397

- разложение 661—664

Асимптотический ряд 657

Астроида 286, 501, 511

Безу теорема 400

Базис стандартный пространства 317

Бернулли неравенство 74

Биективное отображение (биекция) 10

Больцано—Вейерштрасса теорема 63, 297

Бонне теорема 481

Валлиса формула 478

Вейерштрасса признак равномерной сходимости 603, 609

- теорема 121, 332

Вектор-функция 248, 320, 481, 653

Верхняя (нижняя) грань множества 38, 40, 42, 60, 90

Взаимно однозначное отображение или соответствие (инъекция) 9, 78, 83

Винтовая линия 272

Гамильтона символ (набла) 365

Гёльдера неравенство 465, 565

Гейне—Бореля лемма 314

Градиент функции 362, 364

Граница множества 306

График функции 8, 92, 239, 242, 321

Гульдина теорема 510

Даламбера признак 559, 578

Дарбу интегралы (верхний и нижний) 446

- суммы 443, 444, 445

Двоичная запись чисел 81

Дедекинда принцип 19

- признак 591

Декарта лист 247

Десятичная дробь 77, 78

Десятичное приближение 77

Диаметр множества 340

Дини теорема 615

Дирихле признак 534, 583, 609

- функция 92, 326, 443

Дифференциал функции 159, 161, 165, 177, 190, 251, 343, 345, 346, 350, 355, 362

Дифференциальный бином 426

Длина вектора 317

- кривой 268

Допустимое преобразование параметра 258

Дробь рациональная 95, 406, 410

Дуга кривой 263

Дю Буа Реймона признак 591

e (число) 62, 141, 159, 589

Евклида алгоритм 405

Евклидово пространство 317

Жордана теорема 309

Замена переменной 108, 121, 384, 474

Замыкание множества 302

Изоморфизм 30, 82, 677

Интеграл абсолютно сходящийся 530

- неопределенный 379

- несобственный 512

- определенный 440

Интегралы табличные 383

- эллиптические 437, 501

Интегральный признак к сходимости рядов 561

Интегрирование подстановкой 385

- по частям 387, 477

Интервал 34

- выпуклости вверх (вниз) 231

- сходимости ряда 634

Инъекция 9

Кантора теорема о несчетности действительных чисел 85

- - о равномерной непрерывности 336, 340

Кардиоида 287, 497

Касательная 164, 265, 361

Колебание функции на множестве 340, 341

Компакт 309, 315

Компактности свойство 63

Композиция функций 11, 94

Контур 256

Координаты полярные 286

Корень из числа 23, 130, 392

- многочлена 399, 400

Коши—Адамара формула 629

- критерий 66, 113, 530, 551, 600, 606

- признак 560, 578

- теорема о среднем 199

- форма остаточного члена форм

- Шварца неравенство 289, 319

Кратность корня 400

Кривая 255, 260, 263, 307

- гладкая 266

- кусочно-гладкая 266

- ориентированная 262

- параметрически заданная 259, 262

- плоская 256, 273

- спрямляемая 268

Кривизна кривой 278

Кривизны радиус 279

- центр 283

Круг сходимости степенного ряда 622

Лагранжа теорема 196

- форма остаточного члена в форм

- формула 197, 200

Лейбница признак 567

- формула 186

Лемниската 511

Линейность интеграла 454

Логарифмическая спираль 502

Ломаная 267

Лопиталя правило 201, 202, 204

Мажоранта 526

Маклорена формула 212, 216

Максимальный элемент числового множества 36

Минимальный элемент числового множества 37

Минковского неравенство 465, 565

Многочлен(полином) 95, 131, 214

Множество замкнутое 302

- линейно связное 308

- неограниченное 35—37

- несчетное 84

- ограниченное 35—37

- открытое 299

- пустое 6

- счетное 83

Множества равномощные 82

Модуль действительного числа 29

- комплексного числа 390

- непрерывности 337

Морфизм 8

Набла (символ Гамильтона) 365

Наибольшее значение функции 91

Наименьшее значение функции 91

Неопределенности 201, 204, 219, 220

Непрерывность действительных чисел 18, 30, 31, 44

Неравенство треугольника 317

Нормаль главная 281

- к кривой 281

Носитель кривой 261

- точки кривой 261

Ньютона—Лейбница формула 471, 472, 517

Область 308, 309

- выпуклая 309

- замкнутая 309

- определения функции 8, 91

Образ 10

Общий дели

- - наибольший 403

Окрестность точки 34, 96, 291, 293, 301

- - проколотая 96, 323

Окружность соприкасающаяся 287

Остаток ряда 547, 593

Остроградского метод 419

Отображение 8

- взаимно однозначное (инъекция) 9

- отрезка 255

Отрезок 5, 34

Пара 8

- упорядоченная 8

Пеано аксиомы 12

- форма остаточного члена формулы Тейлора 212

Первообразная 378, 474, 482

Период 645

Площадь (мера) открытого множества 485

- поверхности вращения 505

Подпоследовательность 58, 295

Покрытие множества 311

Поле 27

Поле действительных чисел 29, 31

- комплексных чисел 395

- упорядоченное 29

Полнота действительных чисел 31

Полуинтервал 34

Полукубическая парабола 234, 285

Последовательность 12, 48, 295, 327, 396, 591, 665

- бесконечно большая 53, 553

- - малая 67—68, 397

- кратная 665

- монотонная 61

- ограниченная 59, 297, 592

- стремящаяся к бесконечности 298, 666

- сходящаяся 49, 54, 295, 592, 595

- фундаментальная 65

Последовательности одного порядка 397

- эквивалентные 397

Предел вектор-функции 249

- последовательности 49, 50, 51, 53, 54, 87, 88, 295, 303

- функции 97—106, 249, 322, 323, 441

Представление кривой 257, 258, 260, 263

Признак сравнения 524, 555

- сходимости ряда, интегральный 561, 562

Принцип вложенных отрезков 43

Произведение множеств 8

- последовательностей 68

- ряда на число 548

Производная 157, 184, 186

- бесконечная 157

- вектор-функции 251

- логарифмическая 181

- обратной функции 173, 188

- параметрически заданной функции 189

- по направлению 363

- сложной функции 175, 188, 367

- функции, заданной неявно 180

- частная 341

- - смешанная 370

Промежуток 34

Прообраз 9, 10

Пространство n-мерное 289, 317

Равномерная непрерывность 334

Радиус сходимости степенного ряда 622, 632, 634

Разбиение отрезка 267, 438

Расстояние 288, 289, 306

Расширенное множество действительных чисел 33

Римана интегральная сумма 439, 445

- теорема о перестановке членов ряда 580

Ролля теорема 194

Ряд 545

- гармонический 551, 587

- знакопеременный 567

- кратный 668, 672

- Лейбница 650

- степенной 621, 624

- суммируемый 590

- сходящийся 592, 666, 672

- - абсолютно 569, 592, 669

- - равномерно 602

- Тейлора 636, 637, 640, 655

- функциональный 591

Сечение 17

Символ всеобщности 13

- существования 13

Скалярное произведение векторов 317

Скорость вращения вектор-функции 276

Соответствие (отображение) 7, 8

Степень многочлена 399

- числа 23, 133

Стирлинга формула 651

Сужение функции 10

Сумма кривых 263

- (объединение) множеств 6

- последовательностей 67

Сумма ряда 546, 666

- - частичная 547, 592, 666

- - - прямоугольная 667

- - - сферическая 667

- - - треугольная 667

- рядов 549

Суперпозиция функций 11, 94

Сюръекция 9

Тейлора многочлен 212, 214

- ряд 636, 637, 640, 655

- формула 212, 216, 218, 637, 638, 646

Точка 20

- возрастания (убывания) функции 225

- кривой 256, 261

- - кратная 256, 261

- - неособая 266

- - особая 266

- максимума(минимума) функции 222, 227

- множества внутренняя 299

- - граничная 306

- - изолированная 302

- - предельная 302

- перегиба 234

- прикосновения множества 303

- разрыва функции 118, 119

- устранимого разрыва 118

- экстремума 222

- n-мерного пространства 288

Ферма теорема 192

Френе формула 281

Френеля интегралы 543

Функции гиперболические 182, 183

- одного порядка 145

- тригонометрические 139

Функция 7, 8, 11, 89

- аналитическая 630, 635

- бесконечно большая 110

- - малая 110, 149

- векторная 248

- возрастающая (убывающая) 111, 125, 221

- выпуклая вверх (вниз) 230, 231, 232

- дифференцируемая 159, 163, 185, 344, 348, 372, 477

- заданная параметрически 189

- интегрируемая 439, 512

- кусочно-непрерывная 463

- кусочно-непрерывно дифференцируемая 477

- логарифмическая 137

- многозначная (однозначная) 11

- непрерывная в точке 115, 119, 131, 162, 327, 330, 398, 468, 469

- - на множестве 121, 328, 332, 469

- непрерывно дифференцируемая 185, 348, 372

- неявная 94

- обратная 126, 130

- ограниченная 90, 145

- периодическая 14, 645

- показательная 134—136, 159

- равномерно непрерывная 334, 335, 336

- - стремящаяся к нулю 349

- рациональная 95, 131, 421

- сложная 94, 120, 330, 351, 353, 354

- степенная 138

- строго монотонная 125

- трансцендентная 96

- четная 14

- элементарная 332

Цепная линия 499

Циклоида 189

Числа действительные (вещественные) 15, 16, 20, 31, 78, 79, 80, 85

- иррациональные 15, 23, 86

- комплексные 15, 389, 394

- натуральные 12, 15, 43

- отрицательные 15

- рациональные 15, 23, 83

- целые 23

Число существенно комплексное 390

Шлемильха—Роша форма остаточного члена 213

Эволюта кривой 283

Эйлера подстановки 424

- постоянная 587

- формулы 644

Эквивалентность отображений отрезка 259

- функций 146, 152

Экстремум 222—229

Эллипс 501

Часть 2

Курс математического анализа, т. 2
584 стр. М.: "Высшая школа", 1981

Ч

База топологии 567, 568

Базис пространства 423, 446

Бета-функция 322

Вихрь (ротор) 275, 278, 290

Вложение пространства 478

Вложения теоремы 435

Гельдера условие 365—366

Гомеоморфизм 52, 71, 257

Градиент вектора 274

- функции 245, 273

Дельта-функция (\delta-функция) 512, 523, 524

Дивергенция 275, 278, 285

Диффеоморфизм 68

Дифференциал отображения 62

Зависимость системы функций 85

Изоморфное отображение 425, 439, 454, 491

Интеграл Дарбу 149

- Дирихле 353, 393

- зависящий от параметра 158, 298, 303

- криволинейный 189, 192

- Лапласа 402

- несобственный 219, 303, 327

- поверхностный 264, 265, 266, 270, 272

- повторный 158

- Пуассона 222

- Римана 131

- Фурье 391

- Эйлера первого рода (гамма-функция) 322

- - второго рода (бета-функция) 322

Контур граничный 201

- ограничивающий поверхность 287

Координаты 447

- криволинейные 184

- сферические 187, 223

- цилиндрические 187

Коэффициенты Фурье 346, 389, 483, 484

Край поверхности 233

Кривая Пеано 129

Липшица условие 366

Лист Мёбиуса 259, 260

Матрица линейного оператора 56

- Якоби 35, 65, 86

Мера Жордана 114

Метод касательных (метод Ньютона) 547, 548, 550, 553

- хорд 548

Метрика (расстояние) 411, 440

Многочлен интерполяционный 553, 555