Рабочая учебная программа по дисциплине «Геометрия» (стр. 2 )

№ п/п	Наименование раздела, темы	Всего трудоемкость	Аудиторные занятия	Самостоятельная работа
Всего	Лекции	Практические
3.	Аналитическая стереометрия	80	14	8	6	66
4.	Многомерные пространства	56	6	4	2	50
	Итого	136	20	12	8	116

4 семестр

№ п/п	Наименование раздела, темы	Всего трудоемкость	Аудиторные занятия	Самостоятельная работа
Всего	Лекции	Практические
5.	Геометрические преобразования	76	14	10	4	62
6.	Построения циркулем и линейкой	68	6	2	4	62
	Итого	144	20	12	8	124

6 семестр

№ п/п	Наименование раздела, темы	Всего трудоемкость	Аудиторные занятия	Самостоятельная работа
Всего	Лекции	Практические
7.	Проективная геометрия	68	12	10	2	56
8.	Изображение фигур на плоскости	68	8	2	6	60
	Итого	136	20	12	8	116

8 семестр

№ п/п	Наименование раздела, темы	Всего трудоемкость	Аудиторные занятия	Самостоятельная работа
Всего	Лекции	Практические
9.	Дифференциальная геометрия и топология	144	20	12	8	124
	Итого	144	20	12	8	124

10 семестр

№ п/п	Наименование раздела, темы	Всего трудоемкость	Аудиторные занятия	Самостоятельная работа
Всего	Лекции	Практические
10.	Основания геометрии	96	16	10	6	80
	Итого	96	16	10	6	80

3. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

1. Векторная алгебра

Векторы и линейные действия с ними

Направленные отрезки (связанные векторы). Сонаправленность и антинаправленность, противоположность отрезков. Длина отрезка. Направленные отрезки нулевой длины, их сонаправленность со всеми, их середины.

Векторы (свободные векторы) как классы сонаправленных отрезков одинаковой длины. Направленный отрезок как изображение вектора. Длины векторов, орты, нуль-вектор. Сонаправленность, антинаправленность, противоположность, коллинеарность, компланарность векторов. “Аксиомы” Г. Вейля, связывающие векторы и точки. Критерии равенства векторов.

Сложение векторов. “Правило треугольника”, его корректность. 4 закона сложения, их доказательства. Следствие о вычитании.

Умножение вектора на число, его 4 закона, их доказательства. Понятия действительного векторного (=линейного) пространства, линейной зависимости и независимости системы векторов. Наследуемость линейной независимости подсистемами. Базис векторного пространства, размерность. Примеры. Арифметические векторные пространства.

Базисы и координаты

Разложение по базису. Базис на прямой. Теорема о разложении вектора по базису на прямой, критерий коллинеарности векторов. Базис на плоскости. Теорема о разложении вектора по базису на плоскости, критерий компланарности тройки векторов. Базис в пространстве, теорема о разложении вектора по нему. Линейная зависимость системы из более, чем трех векторов.

Координаты вектора в данном базисе, их свойства, критерий коллинеарности векторов в координатах.

Скалярное умножение векторов

Угол между векторами. Перпендикулярность (= ортогональность) векторов, поведение нуль-вектора. Ортонормированный базис (ОНБ).

Проекция вектора на (ненулевой) вектор, ее связь с углом между векторами и с координатами в ОНБ. “Направляющие косинусы” - координаты орта в ОНБ. Линейные свойства проекции как свойства координаты в ОНБ.

Скалярное произведение векторов, его связь с длиной, перпендикулярностью, коллинеарностью и проекциями. Ортогонализация базиса на плоскости. Отсутствие закона сокращения для скалярного умножения и бессмысленность “сочетательного” закона.

Законы скалярного умножения, их доказательства. Следствие о “сокращении”. Следствие о диагоналях параллелограмма. Неравенства для длин суммы и разности векторов.

Скалярное произведение в координатах, вывод формулы (важнейший случай - в ОНБ). Приложения к вычислению длин векторов, углов между ними, проекций, работы силы на прямолинейном пути. Критерий перпендикулярности, построение вектора, перпендикулярного данному на плоскости.

Векторное умножение векторов

Ориентированные плоскость и пространство, правые и левые пары и тройки векторов, зависимость ориентации от порядка членов тройки. Правило правой руки (“буравчика”).

Векторное произведение векторов, его связь с коллинеарностью и площадью параллелограмма. Тождество Лагранжа.

6 законов векторного умножения. Доказательства антипереместительного закона и закона вынесения скаляра. Ложность сочетательного закона (ассоциативности).

Смешанное произведение трех векторов, теорема о геометрическом смысле его знака и модуля (связь с объемами). Следствие о перестановке знаков векторного и скалярного умножений. Доказательство распределительных законов векторного умножения и законов смешанного умножения.

Векторное и смешанное произведения в координатах: вывод общих формул и важного частного случая (в ОНБ). Приложения к вычислению площадей параллелограммов и треугольников, объемов параллелепипедов и тетраэдров, высот упомянутых фигур, проверке коллинеарности и компланарности векторов, ориентации тройки векторов. «Двойное» векторное произведение, доказательство тождества «бац минус цаб» и тождества Якоби.

Направленные углы на ориентированной плоскости, нахождение их косинусов и синусов.

2. Аналитическая планиметрия

Координатный метод

Аффинный репер и аффинная система координат в пространстве. Радиус-вектор и координаты точек. Ортонормированный репер и прямоугольная система координат (ПСК).

Задачи о координатах вектора, о расстоянии между точками, о “делении отрезка в данном отношении” (простое отношение трех точек), о центре масс треугольника.

Задача о замене репера. Матрица перехода к новому базису, ее невырожденность. Вывод формул преобразования координат при замене репера. Важные частные случаи: замена базиса, перенос начала, поворот осей на плоскости.

Об аналитическом задании фигур на плоскости

Координатное (“неявное”) задание (уравнение, неравенство, система, совокупность уравнений и неравенств) с двумя неизвестными как аналитический способ задания фигур на плоскости. График уравнения (неравенства, системы). Две взаимнообратные задачи аналитической геометрии. Окружность, круг.

Векторное (параметрическое) задание линий, примеры. Окружность.

Полярная система координат на плоскости, связь полярных координат с прямоугольными. Задание фигур в полярной системе, примеры.

Прямая линия на плоскости

Векторное, параметрическое и каноническое уравнения прямой. Проведение прямой через две точки.

Теорема об общем уравнении прямой, ее следствия о направляющем векторе, о “неполных” уравнениях, об уравнениях “в отрезках” и “с угловым коэффициентом”.

Задание полуплоскости с помощью линейного неравенства.

Взаимное расположение двух прямых, связь с системами линейных уравнений и определителями. Теорема о пучке прямых.

Прямая в прямоугольной системе координат и метрические задачи. Нормальный вектор прямой. Геометрический смысл свободного члена в уравнении прямой и нормированное уравнение. Уравнение с угловым коэффициентом, геометрический смысл углового коэффициента. Расстояние от точки до прямой. Угол между прямыми, направленный угол от прямой до прямой, биссектрисы углов, условие перпендикулярности, проведение перпендикуляров к прямым. Нахождение точки, симметричной данной точке относительно данной прямой.

Квадрики на плоскости (кривые 2-го порядка)

Эллипс, его фокальное определение, вывод канонического уравнения, изучение формы, эксцентриситет, директориальное свойство, параметрические уравнения эллипса.

Гипербола, ее фокальное определение, вывод канонического уравнения, изучение формы. Асимптоты, эксцентриситет, директориальное свойство гиперболы, связь со “школьной” гиперболой.

Парабола, вывод канонического уравнения, изучение формы. Эксцентриситет, фокальная хорда параболы, связь со “школьной” параболой.

Понятие квадрики (кривой 2-го порядка), его независимость от выбора репера. Теорема о классификации квадрик, идея ее доказательства.

Действие переноса начала системы координат на уравнение 2-го порядка. Инварианты переноса начала. Центры квадрик, их геометрический смысл.

Действие поворота осей координат на уравнение 2-го порядка. Инварианты поворота осей. Существование угла поворота, изгоняющего из уравнения 2-го порядка член с произведением координат; тангенс, синус и косинус этого угла. Характеристическое уравнение для квадрики. Базисы главных направлений.

Классификация квадрик (доказательство основной теоремы). Случай двух квадратов, метод их выделения. Эллиптические и гиперболические квадрики. Случай одного квадрата - параболические квадрики. Главные направления и оси.

Уравнения эллипса, гиперболы и параболы в полярной системе координат. Переход к ПСК и идентификация с коническими сечениями. Конические сечения как баллистические траектории.

Квадрики и прямые

Общие точки квадрики и прямой. Понятие асимптотического направления. Пересечение квадрики с прямой неасимптотического направления, “середины хорд”. Понятие касательной прямой к квадрике, вывод ее уравнения, если точка касания - не центр квадрики.

Асимптоты. Поиск асимптотических направлений.

Диаметр квадрики, сопряженный данному неасимптотическому направлению, вывод уравнения диаметра, сопряженные диаметры, связь с центрами квадрик.

3. Аналитическая стереометрия

О задании фигур в пространстве

Координатное (“неявное”) уравнение (неравенство, система уравнений и неравенств) с тремя неизвестными как аналитический способ задания фигур в пространстве. График уравнения (неравенства, системы). Две взаимнообратные задачи аналитической стереометрии. Примеры. Сфера, шар, открытый шар. Цилиндрические поверхности как графики уравнений с двумя неизвестными в пространстве.

“Неявное” задание кривых линий. Примеры: прямая как пересечение плоскостей, окружность как пересечение плоскости со сферой или с цилиндром. Возможность задания кривой линии одним неявным уравнением.

Векторное (параметрическое) задание поверхностей. Сфера в географических координатах. Цилиндрические и конические поверхности.

Плоскость в пространстве

Векторное, параметрические и каноническое уравнения плоскости. Проведение плоскости через три точки.

Теорема об общем уравнении плоскости, ее следствия о направляющих векторах, о признаке параллельности вектора плоскости, о “неполных” уравнениях, об уравнении “в отрезках”.

Задание полупространства с помощью линейного неравенства с тремя неизвестными.

Взаимное расположение двух плоскостей, связь с системами линейных уравнений. Теорема о пучке плоскостей.

Плоскость в прямоугольной системе координат и метрические задачи. Нормальный вектор плоскости. Геометрический смысл свободного члена в уравнении плоскости и нормированное уравнение. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору. Расстояние от точки до плоскости. Угол между плоскостями, условие перпендикулярности плоскостей, биссекторные плоскости.

Прямая линия в пространстве

Векторное, параметрические и канонические уравнения прямой. Проведение прямой через две точки.

Общие уравнения прямой, переход от них к каноническим.

Взаимное расположение прямой и плоскости.

Взаимное расположение двух прямых, роль двух направляющих и одного “соединяющего” вектора.

Прямая в прямоугольной системе координат и метрические задачи. Расстояние от точки до прямой. Угол между прямой и плоскостью, условие перпендикулярности. Проведение перпендикуляра к плоскости и нахождение симметричной точки относительно плоскости. Проведение плоскости перпендикулярно данной прямой и нахождение симметричной точки относительно прямой. Угол между прямыми, условия перпендикулярности и ортогональности. Проведение перпендикуляра к прямой. Биссектрисы углов между прямыми. Расстояние между фигурами, пример двух кругов. Расстояние между двумя прямыми, существование общего перпендикуляра скрещивающихся прямых, его уравнения.