Учебно-методический комплекс. Дисциплина блока: дисциплины специализации. Кафедра математики и информатики (стр. 4 )

Решение задачи

Обозначим через xij – число аудиторов конторы Аi, направленные на работу к клиенту Kj.

Целевая функция, отражающая временные затраты имеет вид:

Ограничения, связанные с количеством аудиторов в фирмах и количеством заявок от клиентов, имеют вид:

Поскольку число заявок и число аудиторов в фирмах не совпадают, то введем искусственного клиента, число заявок которого равно 15 и временные затраты на работу равны 0. Система ограничений примет следующий вид:

Решение задачи найдем с помощью табличного процессора MS Excel.

Сформируем матрицу закрепления аудиторов за клиентами. Для этого в блок ячеек B3:L6 вводим «1». В ячейках M3:M6 суммируем по строкам. Число, имеющихся в наличии аудиторов, введем в ячейки N3:N6. В ячейках B7:L7 суммируем по столбцам. Число заявок, поданных клиентами, введем в ячейки B8:L8.

Создаем матрицу временных затрат. Для этого в блок ячеек B12:L15 вводим коэффициенты целевой функции.

Ячейкой целевой функции выберем N11. Поместим в ней курсор, с помощью Мастера функций выберем Категорию Математические и оттуда введем СУММПРОИЗВ, в окне СУММПРОИЗВ указываем адреса массивов B3:L6 и B12:L15.

Решение задачи найдем с помощью надстройки Поиск решения.

Поместим курсор в поле Установить целевую (ячейку), введем адрес $N$11, установим направление изменения целевой функции, равное Минимальному значению, введем адреса изменяемых ячеек $B$3:$L$6.

Добавим ограничения:

введем адреса $M$3:$M$6=$N$3:$N$6,

тем самым мы реализуем условие использования всех, имеющихся в наличии аудиторов.

Далее добавляем условие выполнения всех заявок:

выбираем Добавить ограничение,

введем адреса $B$7:$L$7=$B$8:$L$8,

Затем вводим условие целочисленности изменяемых ячеек:

выбираем Добавить ограничение,

введем адреса $B$3:$L$6= целое.

Теперь добавляем условие, что аудиторы фирмы А 4 не могут работать на клиентов К2 и К9.

Используя Параметры, введем условия неотрицательности переменных и линейную модель.

После введения всех ограничений, нажимаем Выполнить, на экране появляется диалоговое окно Результаты поиска решения. Получен оптимальный план распределения аудиторов, он означает следующее:

у клиента К1 работают 4 аудитора фирмы А1,

у клиента К2 – 2 аудитора фирмы А2 и 7 аудиторов фирмы А3,

у клиента К3 – 2 аудитора фирмы А1,

у клиента К4 – 2 аудитора фирмы А1 и 10 аудиторов фирмы А4,

у клиента К5 – 7 аудиторов фирмы А1,

у клиента К6 – 6 аудиторов фирмы А2,

у клиента К7 – 9 аудиторов фирмы А2,

у клиента К8 – 3 аудитора фирмы А1,

у клиента К9 – 18 аудиторов фирмы А3,

у клиента К10 – 5 аудиторов фирмы А1,

12 аудиторов фирмы А1 и 3 аудитора фирмы А2 отправляются на плановую учебу. При этом временные затраты составят 842 ед.

В качестве примера выполнения условия о том, чтобы не все аудиторы были из одной фирмы можно привести следующее распределение аудиторов:

у клиента К1 работают 3 аудитора фирмы А1 и 1 аудитор фирмы А3,

у клиента К2 – 2 аудитора фирмы А2 и 7 аудиторов фирмы А3,

у клиента К3 – 1 аудитор фирмы А1 и 1 аудитор фирмы А4,

у клиента К4 – 6 аудитора фирмы А1 и 6 аудиторов фирмы А4,

у клиента К5 – 6 аудиторов фирмы А1 и 1 аудитор фирмы А2,

у клиента К6 – 5 аудиторов фирмы А2 и 1 аудитор фирмы А4,

у клиента К7 – 8 аудиторов фирмы А2 и 1 аудитор фирмы А4,

у клиента К8 – 2 аудитора фирмы А1 и 1 аудитор фирмы А3,

у клиента К9 – 16 аудиторов фирмы А3 и 2 аудитора фирмы А2,

у клиента К10 – 4 аудитора фирмы А1 и 1 аудитор фирмы А4,

13 аудиторов фирмы А1 и 2 аудитора фирмы А2 отправляются на плановую учебу. При этом временные затраты составят 888 ед.

Задача №6

Допустим, что вы хотите вложить на фондовой бирже 100000 руб. в акции одной из двух компаний: А или В. Акции компании А являются рискованными, но могут принести 50% прибыли от суммы инвестиции на протяжении следующего года. Если условия развития экономики будут неблагоприятны, сумма инвестиции может обесцениться на 20%. Компания В обеспечивает безопасность инвестиций с 15% прибыли в условиях повышения котировок и только 5% - в условиях понижения котировок. Аналитики с вероятностью 60% прогнозируют повышение котировок и с вероятностью 40% - понижение котировок. В какую компанию следует вложить деньги?

Информация, связанная с принятием решения, представлена в следующей таблице.

Альтернативные решения	Прибыль за год от инвестиций 100000 руб.
При повышении котировок (руб.)	При понижении котировок (руб.)
Акции компании А	50000	-20000
Акции компании В	15000	5000
Вероятность события	0,6	0,4

Эта задача может быть также представлена в виде дерева решений, показанного на следующем рис. На этом рис. используется два типа вершин: квадратик представляет «решающую» вершину, а кружок – «случайную». Таким образом, из вершины 1 («решающая») выходят две ветви, представляющие альтернативы, связанные с покупкой акций компании А и В. Далее две ветки, выходящие из «случайных» вершин 2 и 3, соответствуют случаям повышения и понижения котировок на бирже с вероятностями их появления и соответствующими платежами.

Рис. Дерево решений для задачи инвестирования

Исходя из схемы рис. Получаем ожидаемую прибыль за год для каждой из двух альтернатив.

Для акций компании А: 50000х0,6+(-20000)х0,4=22000 руб.

Для акций компании В: 15000х0,6+5000х0,4=11000 руб.

Решением, основанным на этих вычислениях, является покупка акций компании А.

Задача №7

Турфирма подбирает место для строительства летнего лагеря в Сибирской тайге для экстремального туризма в условиях дикой природы. Турфирма считает, что число туристов может быть 200, 250, 300 или 350 человек. Стоимость лагеря будет минимальной, поскольку он строится для удовлетворения только небольших потребностей. Отклонения в сторону уменьшения или увеличения относительно идеальных уровней потребностей влекут за собой дополнительные затраты, обусловленные строительством избыточных (неиспользуемых) мощностей или потерей возможности получить прибыль в случае, когда некоторые потребности не удовлетворяются. Пусть переменные а1 – а4 представляют возможные размеры лагеря (на 200, 250, 300 или 350 человек), а переменные s1 – s4 – соответствующее число участников сбора. Следующая таблица содержит матрицу стоимостей (в тыс. руб.), относящуюся к описанной ситуации.

	s1	s2	s3	s4
а1	50	100	180	250
а2	80	70	120	230
а3	210	180	120	210
а4	300	220	190	150

Описанная ситуация анализируется с точки зрения следующих критериев.

Критерий Лапласа. При заданных вероятностях , ожидаемые значения затрат для различных возможных решений вычисляются следующим образом.

Минимаксный критерий. Этот критерий использует исходную матрицу стоимостей.

	s1	s2	s3	s4	Максимум по строке
а1	50	100	180	250	250
а2	80	70	120	230	230
а3	210	180	120	210	210
а4	300	220	190	150	300

Критерий Сэвиджа. Матрица потерь определяется посредством вычитания чисел 50, 70, 120 и 150 из элементов столбцов от первого до четвертого соответственно. Следовательно,

	s1	s2	s3	s4	Максимум по строке
а1	0	30	60	100	100
а2	30	0	0	80	80
а3	160	110	0	60	160
а4	250	150	70	0	250

Критерий Гурвица. Результаты вычислений содержатся в следующей таблице.

	Минимум по строке	Максимум по строке	k(минимум по строке)+(1-k)(максимум по строке)
а1	50	250	250–200k
а2	70	230	230–160k
а3	120	210	210–90k
а4	150	300	300–150k

Используя подходящее значение для k, можно определить оптимальную альтернативу. Например, для k=0,5 оптимальным является альтернатива либо а1, либо а2, тогда как для k=0,25 оптимальным является решение а3.

Задача №8

Две компании А и В продают два виде лекарств против гриппа. компания А рекламирует продукцию на радио (А1), телевидении (А2) и в газетах (А3). Компания В, в дополнение к использованию радио (В1), телевидения (В2) и газет (В3), рассылает также по почте брошюры (В4). В зависимости от умения и интенсивности проведения рекламной кампании, каждая из компаний может привлечь на свою сторону часть клиентов конкурирующей компании. Приведенная ниже матрица характеризует процент клиентов, привлеченных или потерянных компанией А.

	В1	В2	В3	В4	Минимум по строке
А1	8	-2	9	-3	-3
А2	6	5	6	8	5 максимин
А3	-2	4	-9	5	-9
Максимум по столбцу	8	5 минимакс	9	8

Решение игры основано на обеспечении наилучшего результата из наихудших для каждого игрока. Если компания А выбирает стратегию А1, то, независимо от того, предпринимает компания В, наихудшим результатом является потеря компанией А 3% рынка в пользу компании В. Это определяется минимумом элементов первой строки матрицы платежей. Аналогично при выборе стратегии А2 наихудшим исходом для компании А является увеличение рынка на 5% за счет компании В. наконец, наихудшим исходом при выборе стратегии А3 является потеря компанией а 9% рынка в пользу компании В. Эти результаты содержатся в столбце «Минимум строк». Чтобы достичь наилучшего результата из наихудших, компания А выбирает стратегию А2, так как она соответствует наибольшему элементу столбца «минимумы строк».