Электромагнитное излучение (стр. 1 )

Электромагнитное излучение

рическую волну, излучаемую источником, в плоскую преломленную волну.

Поперечное увеличение линзы. Построим изображение линейного предмета, находящегося на расстоянии d от собирающей линзы с фокусным расстоянием F. Рассмотрим последовательно случаи, когда:

• d > 2F;

. F < d < 2F;

• d<F.

Изображение линейного предмета АВ в линзе находится путем построения изображений его крайних точек. Вначале строится изображение точки А, не находящейся на главной оптической оси.

Для построения изображения точки А предмета воспользуемся, как и ранее, двумя характерными лучами: лучом 1, параллельным главной оптической оси, и лучом 2, проходящим через оптический центр О линзы (рис. 193).

Построив изображение А', опускаем перпендикуляр на главную оптическую ось и находим точку В', являющуюся изображением точки В.

а)

193 ►

Изображения линейного предмета в собирающей линзе (АВ — предмет, А'В' — изображение):

а) d > 2F — действи
тельное, уменьшенное,
перевернутое;

б) F<d<2F — дейст
вительное, увеличен
ное, перевернутое;

в) d<F — мнимое,
увеличенное, прямое

А		i 1	С			i
Г	*ч~		\i?	В' 2F
В	2F			f	\\\н
	AVW^	^2
		>	<		Г

н

в)	н	. 4	к С		i
	В'	>»ir\	О"
	2F	FB\A-		fN,	^2^ 2^
		t	'	2х
	*

Геометрическая оптика

233

На рисунке 193 приведены возможные типы изображения А'В' предмета АВ в собирающей линзе.

Для характеристики размера и ориентации изображения относительно предмета используют поперечное увеличение линзы.

Поперечное увеличение линзы — отношение координаты изображения к координатам предмета, отсчитываемым перпендикулярно главной оптической оси (в поперечном направлении):

Г=^. (176)

У*

Если предмет находится за двойным фокусом линзы (рис. 193, а), то yd = h, yf = Н, Н < h. При этом действительное изображение предмета оказывается перевернутым (Г < 0) и уменьшенным (|Г| < 1).

Если предмет находится между главным фокусом и двойным фокусом линзы (рис. 193, б), то yd = h,yf = H,H> п. При F < d < 2F действительное изображение предмета является перевернутым (Г < 0) и увеличенным (|Г| > 1).

Если предмет находится между главным фокусом и линзой (рис. 193, в), то yd = Н, yf = h, Н > h. При d < F мнимое изображение предмета является прямым (Г > 0) и увеличенным (|Г| > 1).

Таким образом, знак и модуль поперечного увеличения определяет взаимную ориентацию и относительный размер предмета и его изображения в линзе.

При прямом изображении предмета в линзе поперечное увеличение положительно (Г > 0), а при перевернутом — отрицательно (Г < 0).

При увеличенном изображении предмета в линзе модуль поперечно-го увеличения больше единицы (|Г| > 1), а при уменьшенном — меньше единицы (|Г| < 1).

Построение изображений в собирающей линзе. Рассмотрим наиболее характерные примеры построения изображений предметов в линзе, а также графического определения фокусного расстояния и расположения линзы.

Точечный источник света, находящийся на главной оптической оси

Например, при d > 2F) (рис. 194, а). Для построения изображения точеч-

го источника S необходимо найти ход двух лучей, идущих от источни-

а После преломления их линзой. Точка их пересечения S' определяет по-

°ясение изображения предмета. В качестве одного из этих лучей можно

234

Электромагнитное излучение

а) б)

А 194

Построение изображений: а) точечного источника; б) линейного предмета

взять луч 1 (SO), падающий на линзу вдоль главной оптической оси и не испытывающий преломления. Это означает, что изображение S' точки S лежит на главной оптической оси. В качестве второго луча возьмем произвольный луч 2 (SK). Для построения преломленного луча KS' воспользуемся свойством параллельных лучей (см. рис. 189, а). Луч 3, параллельный лучу SK, проходящий через центр О линзы, не преломляясь, пересекает ее фокальную плоскость в точке F'. Через эту же точку должен пройти луч 2, пересекающийся с лучом 1 в точке S', являющейся изображением точки S.

Линейный предмет, расположенный параллельно главной оптической оси. При построении изображения линейного предмета можно отдельно построить изображения его крайних точек, соединив их затем прямой линией. Однако более рациональным является другой способ построения (рис. 194, б). В качестве падающего луча, общего для точек А и В, удобно выбрать луч 1, проходящий через стрелку АВ. Луч 1 после преломления в линзе проходит через фокус. Именно на этом преломленном луче находится изображение точек А и В, и соответственно изображение А'В' всего предмета. Для построения крайних точек А' и В' изображения воспользуемся лучами 2 и 3, выходящими из точек АиВи проходящими через центр О линзы без преломления. Пересечения этих лучей с преломленным лучом 1 определяют размер изображения А'В' предмета.

Графическое определение положения оптического центра и главного фокуса линзы. Если известны положение и размер предмета и изображения, можно найти построением расположение линзы и ее фокусное расстояние. Предположим, что предмет h и его изображение Н в собирающей линзе располагаются относительно главной оптической оси линзы

Геометрическая оптика

235

так, как это показано на рисунке 195, а. В этом случае изображение предмета является увеличенным и прямым. Такое изображение возникает в собирающей линзе, если предмет располагается между линзой и ее главным фокусом (см. рис. 193, в). Сравнение рисунков 195, а и 193, в показывает, что линза должна находиться слева от предмета. Для удобства построим изображение такого предмета в линзе с известным фокусным расстоянием F (рис. 195, б) с помощью характерных лучей 1 и 2. По аналогии с рисунком 195, б выполним построение хода лучей (рис. 195, в). Пересечение продолжения прямой А'А с главной оптической осью дает положение оптического центра О и главной плоскости линзы MN. Проведем из точки А линию АК, параллельную Ог02, до пересечения с плоскостью MN. Пересечение продолжения прямой А'К с главной оптической осью будет главным фокусом линзы. Подобным образом можно находить положение и фокусное расстояние линзы при любых типах изображения предмета.

ВОПРОСЫ

1.  Какие типы изображений возможны в собирающей линзе? Какие преобразования фронта волн, идущего от точечного источника, возможны в такой линзе?

2.  Дайте определение поперечного увеличения линзы. Как величина поперечного увеличения собирающей линзы зависит от расстояния предмета до линзы?

3.  Где находится изображение точечного источника, помещенного на главной оптической оси собирающей линзы?

4.  Где находится изображение предмета, расположенного параллельно главной оптической оси собирающей линзы между фокусом и линзой?

5.  Зная предмет и его действительное изображение в собирающей линзе (рис. 195, а), найдите построением оптический центр и главный фокус линзы.

02 Ох F

Oi

к

ЛЛ'

н

о,

о

т

Ж

7U*

и

о.

а)

б)

е)

А 195

Рчфическое определение фокусного расстояния:

> предмет h и его изображение Н; б) построение изображения предмета;

) определение фокусного расстояния

236

Электромагнитное излучение

~^~2F F О

196

Л

о

▲ 197

F 2F

ВОПРОСЫ

Постройте изображение предмета, находящегося на главной оптической оси линзы (рис. 196). Постройте изображение предмета, находящегося между фокусом и оптическим центром линзы (рис. 197). Постройте изображение предмета, расположенного над главной оптической осью над фокусом (рис. 198). Найдите графически оптический центр и главный фокус собирающей линзы, если известно, что АВ — предмет, А'В' — его изображение, 0^02— главная оптическая ось собирающей линзы (рис. 199). АВ — предмет, А'В' — его изображение в собирающей линзе (рис. 200). Найдите построением оптический центр линзы, положение ее главной оптической оси и главный фокус линзы.

А6

2F F О

F 2F

В О,

В' о2 А

В'

V

198

199

200

§ 61. Формула тонкой собирающей линзы

Предмет за фокусом линзы (d > F). Введя основные характеристики изображения предмета в линзе, рассчитаем теперь, где оно находится. Расстояние / от изображения до линзы, как мы видели из рисунка 193, зависит от расстояния d предмета до линзы и ее фокусного расстояния F. Найдем взаимосвязь между d, F и f, называемую формулой тонкой линзы. Для этого запишем дважды модуль поперечного увеличения линзы из подобия треугольников на рисунке 193, а. АЛОВ со АА'ОВ', поэтому

i ACFO со AA'FB', тогда

|r| = f

Н

h

|Г| =

= f d'

f-F

(177)

(178)

Геометрическая оптика

237

Приравнивая правые части равенств (177) и (178), получаем

L -f~F

d F '

Разделив на / обе части последнего равенства, получаем

1=1-1 d F f

Формула тонкой линзы имеет вид:

1 = 1+1 F d f

(179)

Формула тонкой линзы получена нами для случая d > 2F. Однако она может быть выведена аналогично и при F < d < 2F (рис. 193, б).

Предмет между линзой и фокусом (d < F). Рассмотрим теперь случай d < F (см. рис. 193, в) АЛОВ ™ АОА'В', поэтому

a ACFO ™ AFB'A', тогда

Я h	_ f d'
Я _ h	f + F F

Приравнивая выражения для отношения — , получаем формулу тонкой линзы

1 F

1 d

(180)

Сравнение выражений (179) и (180) показывает, что для расчетов Удобно использовать лишь одну формулу тонкой линзы (179) для любых расстояний от предмета до линзы. Однако, если изображение оказывается мнимым (d < F), считают, что f отрицательно (f < 0). Как видно из рисунка 193, действительное изображение находится с другой стороны от линзы, чем предмет (/ > 0), а мнимое — с той же стороны (f < 0).

Характеристики изображений в собирающих линзах. Выясним с помощью формулы линзы, на каком расстоянии / от линзы с фокусным Расстоянием F находится изображение предмета, расположенного на произвольном расстоянии от линзы. Из формулы (179) находим

f =

Fd d-F'

(181)

238

Электромагнитное излучение

Для построения графика f(d) преобразуем последнее выражение, добавив и вычтя F2 в числителе дроби. Тогда

Окончательно,

/= Fd-F2 + F2 = F(d -F) + F2
' d-F d-F

f = F +

F2 d-F

(182)

Графиком зависимости f{d) является гипербола, сдвинутая на F вверх по оси ординат и вправо по оси абсцисс (рис. 201, а). При d = 0, / = 0, а при d = 2F, f = 2F. Область d < 0 не имеет физического смысла, так как d всегда положительно.

Определим теперь поперечное увеличение линзы при различных расстояниях d предмета от линзы, т. е. найдем зависимость Г(ё). Сравнение формул (176) и (177) показывает, что

(183)

Подставляя в формулу (183) вместо / выражение (181), получаем

F

d-F

T(d) = -

(184)

Графиком зависимости Г(о?) является отрицательная гипербола, смещенная по оси абсцисс вправо на F (рис. 201, б). Результаты анализа графиков f(d) и Г(с?) приведены в таблице 9.

ВОПРОСЫ

1.  Выведите формулу линзы для случая, когда предмет находится за фокусом линзы (d>F).

2.  Выведите формулу линзы для случая, когда предмет находится между фокусом и линзой (d < F).

a) f 2F F	!\ б) г	I, А 201 / Характеристики изо У \ бражений в собираю-р\ 2F щей линзе:
^—i--- ^ ■>
О	\,F2F а О \	1 ^------- "7 а)расстояние от изо- __ i_ _ {,< бражения до линзы; \ / б) поперечное '/ увеличение

Геометрическая оптика

239

таблица 9

Характеристики изображений в собирающих линзах

в зависимости от расстояния d от предмета до линзы

Предмет	Изображение
Расстояние от линзы d	Расстояние от линзыf	Тип	Ориентация	Относительный размер
d>2F	F<f<2F	Действительное	Перевернутое (Г<0)	Уменьшенное (|Г| < 1)
d = 2F	f=2F	Действительное	Перевернутое (Г<0)	Того же размера (|г| = 1)
F < d < 2F	f>2F	Действительное	Перевернутое (Г<0)	Увеличенное • (|Г| > 1)
d = F	/ = +oo
d<F	f<0;\f\<d	Мнимое	Прямое (Г>0)	Увеличенное (|Г| > 1)

3.  При каком условии можно использовать формулу линзы, пригодную для любых расстояний от предмета до линзы?