Методические указания по дисциплине «Математический анализ» для студентов бакалавриата по направлению «Экономика» - 521600 (стр. 2 )

Следовательно, в точке х1=3 функция непрерывна.

Для точки х2=1 имеем:

- левосторонний предел

- правосторонний предел,

т. е. в точке функция терпит бесконечный разрыв (- точка разрыва второго рода).

4.  ПРОИЗВОДНАЯ

4.1.  Задача, приводящая к понятию производной.

Пусть функция выражает количество произведенной продукции u за время t и необходимо найти производительность труда в момент t0.

За период времени от t0 до количество произведенной продукции изменится от значения до значения ; тогда средняя производительность труда за этот период времени . Очевидно, что производительность труда в момент t0 можно определить как предельное значение средней производительности за период времени от t0 до при , т. е. .

Полученный предел играет чрезвычайно важную роль в математическом анализе, являясь основным понятием дифференциального исчисления.

Пусть функция определена в точке х1 и в некоторой окрестности этой точки. При каждом значении аргумента х из этого промежутка функция имеет определенное значение. Пусть аргумент хк получил некоторое (положительное или отрицательное) приращение ∆х, тогда функция получит некоторое приращение ∆у. Таким образом, при значении аргумента х будем иметь , при значении аргумента будем иметь , отсюда получим . Если существует предел отношения приращения функции ∆у к приращению аргумента ∆х при ∆х→0, то говорят, что функция дифференцируема в точке х, а этот предел называют значением производной функции в точке х и обозначают .

Определение. Производной данной функции по аргументу х называется предел отношения приращения функции ∆у к приращению аргумента ∆х, когда последнее произвольным образом стремится к нулю.

или

Наряду с обозначением и для производной употребляются и другие обозначения и .

Конкретное значение производной при обозначается .

Геометрически производная представляет собой угловой коэффициент касательной к графику функции в точке х, т. е. .

Операция нахождения производной от функции называется дифференцированием этой функции.

4.2. Основные правила дифференцирования.

Пусть С- постоянная, U=u(x),V=v(x) - функции, имеющие производные.

1.  Производная постоянной равна нулю, т. е.

2.  Постоянный множитель можно выносить за знак производной, т. е. .

3.  Производная суммы (разности) конечного числа дифференцируемых функций равна соответствующей сумме (разности) производных этих функций, т. е. .

4.  Производная произведения находится в виде: .

5.  Производная частного находится по формуле : .

6.  Производная сложной функции : если , , т. е , то .

Формулы дифференцирования основных функций

1.  6.

2.  7 .

3.  8.

4.  9.

5.  10.

11. 12.

13. 14.

4.3. Нахождение производных.

ПРИМЕР 1 у=5х (т. к. )

ПРИМЕР 2

ПРИМЕР 3

ПРИМЕР 4 .

Пусть .Тогда по формуле производной произведения, получим:

ПРИМЕР 5 . Воспользуемся формулой производная частного:

ПРИМЕР 6 . Производная сложной функции:

ПРИМЕР 7

ПРИМЕР 8

ПРИМЕР 9

ПРИЕР 10

ПРИМЕР 11

4.4.  Экономический смысл производной.

Производные применяются в экономике для получения, так называемых, предельных значений: предельных издержек, предельной выручки, предельной прибыли и т. д. Слово «предельный» в этих терминах означает производную.

ПРИМЕР 1. Функция издержек имеет вид .

Найти предельные издержки и посчитать их значение в точке .

Решение: Возьмем производную функции .

Найдем значение производной в точке . .

Следовательно, если произведено 10 деталей, то дополнительные издержки по производству 11-й составят приблизительно (ед.).

ПРИМЕР 2. Зависимость между издержками производства У и объемом выпускаемой продукции Х выражается функцией (ден. ед.).

Определить средние и предельные издержки при объеме продукции 10 ед.

Решение: Функция средних издержек ( на единицу продукции) выражается отношением

(ден. ед.).

Функция предельных издержек выражается

(ден. ед.).

Таким образом, если средние издержки на производство единицы продукции составляют 45 денежных единиц, то предельные издержки, т. е. дополнительные затраты на производство дополнительной единицы продукции составляют 35 ден. единиц.

Задачи для самостоятельного решения

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

Исследовать данные функции на непрерывность в указанных точках

11. х1=3, х2=4

12. х1=0, х2=2

5. ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИИ С ПОМОЩЬЮ

ПРОИЗВОДНОЙ

5.1. Возрастание и убывание функции

Определение. Функция называется возрастающей в данном промежутке значений х, если при увеличении аргумента х в этом промежутке соответствующие значения у возрастают, и убывающей, если при увеличении х значения у убывают.

Теорема 1. Если производная функции положительна для всех значений х в интервале (а, в), то функция в этом интервале возрастает.

Теорема 2. Если производная функции отрицательна для всех значений х в интервале (а, в), то функция в этом интервале убывает.

ПРИМЕР 1 Найти интервалы возрастания и убывания функции .

1.  Найдем производную данной функции

2. Производная отрицательна <0 х<4, т. е. х изменяется в интервале

, по теореме 2 в этом интервале функция убывает.

3. Производная положительна >0 х>4, т. е. х изменяется в интервале , по теореме 1 в этом интервале функция возрастает.

5.2. Максимум и минимум функции.

Определение. Функция f(x) имеет максимум в точке х1, если значение функции в точке х1 больше, чем ее значения во всех точках некоторого интервала, содержащего точку х1. Иначе говоря, функция f(x) имеет максимум при х=х1, если при всех х, достаточно близких к х1, выполняется неравенство f(x1)>f(x).

Определение. Функция f(x) в точке х1 имеет минимум, если значение функции f(x) в точке х1 меньше, чем ее значения во всех точках некоторого интервала, содержащего точку х1. Иначе говоря, если выполняется неравенство f(x1)<f(x).

Максимум и минимум функции называют экстремумами. Экстремальные значения функции и их расположение на отрезке в известной степени характеризуют изменение функции в зависимости от изменения аргумента.

Теорема 1. (необходимое условие экстремума)

Если дифференцируемая функция имеет в точке х=х1 максимум (max) или минимум (min), то ее производная обращается в нуль в этой точке, т. е. , точка х1 в этом случае называется критической точкой.

Если производная не существует в какой-либо точке, то в этой точке производная терпит разрыв.

Теорема 2. ( достаточное условие существования экстремума)

Пусть функция f(x) непрерывна в некотором интервале, содержащем критическую точку х1 и дифференцируема во всех точках этого интервала

( кроме, может быть, самой точки х1). Если при переходе слева направо через эту точку производная меняет знак с плюса на минус, то при х=х1 функция имеет максимум. Если же меняет знак с минуса на плюс, то функция имеет в этой точке минимум.

ПРИМЕР 2. Найти экстремумы функции .

1.  Найдем производную функции .

2.  Определим критические точки, для этого приравняем производную к нулю. .

Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой, точки являются критическими.

3.  Исследуем критические точки, определяя знак производной слева и справа от каждой из них. Для этого наносим точки на числовую ось и определяем знак производной внутри каждого интервала.

На интервале ;

на интервале ;

на интервале ;

на интервале .

При переходе через точки , знак производной сменился с (-) на (+), следовательно, в этих точках функция имеет минимум (min), а при переходе через точку знак производной сменился с (+) на (-), следовательно в этой точке функция имеет максимум (max).

5.  Найдем значение функции в этих точках

5.3. Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба.

Определение. Кривая называется вогнутой на интервале (а, в), если все точки кривой лежат выше любой ее касательной на этом интервале. (Рис.1а)

Кривая называется выпуклой на интервале (а, в), если все точки кривой лежат ниже любой ее касательной на этом интервале. (Рис.1б)

Теорема 1. Если во всех точках интервала (а, в) вторая производная положительна, т. е. , то кривая y=f(x) на этом интервале вогнута.

Теорема 2. Если во всех точках интервала (а, в) вторая производная отрицательна, т. е. , то кривая y=f(x) на этом интервале выпуклая.

Определение. Точка, отделяющая выпуклую часть непрерывной кривой от вогнутой, называется точкой перегиба кривой.

рис. 1а	рис. 1б

 

в

а

5.4. Асимптоты.

Прямая а называется асимптотой графика функции , если расстояние между точками графика и прямой стремится к нулю по мере удаления графика от начала координат.

Различают вертикальные асимптоты, т. е. параллельные оси ординат и наклонные, т. е. не параллельные оси ординат.

1. Вертикальные асимптоты. Из определения асимптоты следует, что если или или , то прямая есть асимптота кривой . Следовательно, для отыскания вертикальной асимптоты нужно найти такие значения , при приближении к которым функция стремится к бесконечности.

2.Наклонные асимптоты. Уравнение наклонной асимптоты имеет вид . Необходимо определить числа k и b. Они находятся по формулам: .

5.5. Схема полного исследования функции

1.  Найти область определения функции.

2.  Определить точки пересечения ее графика с осями координат, точки разрыва функции.

3.  Установить наличие или отсутствие четности, нечетности функции.

4.  Исследовать функцию на монотонность и экстремум.

5.  Определить интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба.

6.  Найти асимптоты графика функции.

7.  Построить график функции.

ПРИМЕР 3. Провести полное исследование функции .

1.  Областью определения функции является множество .

2.  Точки пересечения графика данной функции с осями координат: (2;0) , (0;4). Точкой разрыва является .

3. Функция ни четная ни нечетная.

4. Исследуем функцию на монотонность и экстремум. Для этого найдем производную и приравняем ее к нулю.

.

Приравняем производную к нулю

Решая квадратное уравнение , получим

и - критические точки.

В интервале (производная больше нуля), следовательно функция возрастает.

В интервале функция убывает.

В интервале функция убывает.

В интервале функция возрастает.

Определим экстремум. Так как при переходе через точку производная меняет свой знак с + на - в этой точке функция имеет локальный максимум : значение функции в этой точке . При переходе через точку производная не меняет своего знака, следовательно в этой точке нет экстремума. При переходе через точку производная меняет свой знак с – на +, следовательно в точке функция имеет локальный минимум: значение функции в этой точке .

5. Исследуем график функции на выпуклость и вогнутость. Определим точки перегиба. Для этого найдем вторую производную и приравняем ее к нулю.

=

.

Приравняем вторую производную к нулю

Очевидно, что в интервале , значит кривая выпукла.

В интервале , кривая вогнута.

Так как при функция не определена, то точка перегиба отсутствует.

6. Найдем асимптоты графика функции. Легко находим, что –вертикальная асимптота, причем:

,

.

Находим наклонные асимптоты:

,

Таким образом, существует единственная наклонная асимптота

.

7. Построим график данной функции

 

2

-4

5

-1

-5

-12

ПРИМЕР 4. Провести полное исследование функции .

1.  Область определения функции (-∞;+∞).

2.  Так как у=0 при х=0, то график функции проходит через начало координат.

3.  Функция ни четная ни нечетная.

4.  Исследуем функцию на монотонность.

.

, если , откуда . Эта точка разбивает числовую ось на два интервала:

в интервале , и функция в этом интервале возрастает;

в интервале , и функция убывает.

Таким образом, в точке будем иметь локальный максимум (т. к. знак производной меняется с плюса на минус): значение функции в этой точке

.

5. Исследуем свойства функции, связанные со второй производной:. Приравняем вторую производную к нулю, получим .

В интервале , т. е. кривая выпукла в этом интервале.