Методические указания по дисциплине «Математический анализ» для студентов бакалавриата по направлению «Экономика» - 521600 (стр. 1 )

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ.

ИВАНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ

Факультет коммерческой подготовки и повышения квалификации

специалистов

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

По дисциплине Математический анализ

для студентов бакалавриата по направлению

«Экономика» - 521600

Иваново 2012

Петрова

УДК 517(076):510.6

Методические указания по математическому анализу /Иванов. гос. архит.-строит. унив.; Сост. . Иваново, 2012. – 38 с.

Книга ставит своей целью сообщить сведения по математическому анализу, необходимых для изучения смежных и специальных дисциплин. Она предназначена для того, чтобы развивать логическое мышление, содействовать развитию навыков применения математического аппарата и подготовить к самостоятельному выполнению математических заданий

Методические указания предназначены для студентов бакалавриата.

Библиогр.: 5 назв.

1.ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ. ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ.

Наблюдения в текущей жизни с очевидностью убеждают нас в том, что одни величины зависят от других. Например, цена на товар зависит от спроса; расстояние, которое пробегает человек, зависит от времени. Таким образом, получаем, что цена есть функция спроса, расстояние функция времени.

Функция — одно из основных математических и общенаучных понятий. Оно сыграло и поныне играет большую роль в познании реального мира.

Определение: Величина у называется функцией переменной величины х, если каждому значению х соответствует одно определенное значение у.

При этом переменная x называется аргументом функции f или независимой переменной, а элемент y, соответствующий конкретному элементу x — частным значением функции f в точке x.

Y X

●y1 f(x1) ●х1

●y2 f(x2) ●х2

●y3 f(x3) ●х3

Две переменные  x  и  y  связаны функциональной зависимостью, если для каждого значения одной из них можно получить по определённому правилу одно или несколько значений другой.  

Функциональная зависимость может отображаться тремя способами:

1.  аналитически, т. е. с помощью формулы ;

2.  таблично;

3.  графически.

Определение. Графиком функции называется множество всех точек с координатами , где - значение независимой переменной х, - соответствующее значение функции у.

Четность и нечетность. Функция называется четной, если для любых значений х из области определения и нечетной, если . В противном случае функция называется функцией общего вида.

Например, функция является четной, т. к. , и . Функция является нечетной, т. к. , , и .

В тоже время, например, функция является функцией общего вида, т. к. и и

График четной функции симметричен относительно оси ординат, а график нечетной функции симметричен относительно начала координат.

2.ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ.

2.1. Предел числовой последовательности.

Определение. Если по некоторому закону каждому натуральному числу n поставлено в соответствие вполне определенное число n, то говорят, что задана числовая последовательность : .

Другими словами, числовая последовательность – это функция натурального аргумента: .

Числа называются членами последовательности, число - общим членом данной последовательности.

Пример числовой последовательности: 2, 4, 6, 8,….2n,…

Рассмотрим числовую последовательность ,

и т. д. Можно заметить, что члены последовательности с ростом n как угодно близко приближаются к 1. При этом абсолютная величина разности становится все меньше и меньше. Действительно, , т. е. с ростом n будет меньше любого, сколь угодно малого положительного числа ε.

Определение. Число А называется пределом числовой последовательности , если для всякого сколь угодно малого положительного числа найдется такое положительное число N, что для всех членов последовательности с номерами n>N будет выполняться неравенство: .

Предел числовой последовательности обозначается .

Если предел последовательности существует, то он единственный. Последовательность, имеющая предел называется сходящейся, в противном случае - расходящейся.

2.2. Предел функции.

Пусть функция задана в некоторой окрестности точки х0, кроме, быть может, самой точки х0. Пусть независимая переменная х неограниченно приближается к числу х0. Это означает, что мы придаем х значения, сколь угодно приближающиеся к х0 , но не равные х0. Запишем это так: х→х0, и будем говорить, что х стремится к х0. При этом соответствующие значения сколь угодно близко приближаются к некоторому числу А. Тогда говорят, что число А есть предел функции при х→х0.

Определение. Число А называется пределом функции при х→х0, если для всех значений х, достаточно мало отличающихся от числа х0, соответствующие значения функции как угодно мало отличаются от числа А.

На основании этого определения можно записать

Точка х0, к которой стремится независимая переменная х, называется ее предельной точкой.

Определение. Пусть функция определена на бесконечном промежутке. Число А называется пределом функции при , если для любой положительной бесконечно большой последовательности (т. е. ) последовательность соответствующих значений функции сходится к А. Обозначение .

2.3. Операции над пределами.

Если существуют и , то

1.  Предел алгебраической суммы определенного числа переменных равна сумме пределов этих переменных

.

2.  Предел произведения равен произведению пределов этих переменных.

3.  Предел частного двух переменных равен частному пределов этих переменных, если предел знаменателя отличен от нуля.

(при )

4.  Предел постоянной равен самой постоянной.

( с-const)

5.  Постоянный множитель можно выносить за знак предела

.

2.4. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.

Пусть функция при х→х0 неограниченно возрастает по абсолютной величине. В этих случаях говорят, что функция при х→х0 является бесконечно большой величиной и записывают в виде , т. е. функция стремится к бесконечности. Функция может стремиться соответственно к положительной или отрицательной бесконечности: .

Пусть функция стремится к нулю при х→х0, тогда она называется бесконечно малой величиной.

Предел бесконечно малой равен нулю

Основные свойства бесконечно малых.

1. Величина, обратная бесконечно малой, есть величина бесконечно большая ( если α бесконечно малая, то 1/α бесконечно большая, т. е. если ).

2. Величина, обратная бесконечно большой, есть бесконечно малая (если х бесконечно большая, то 1/х бесконечно малая, т. е. если , то ).

3. Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых слагаемых есть величина бесконечно малая.

4. Произведение ограниченной величины на бесконечно малую есть величина бесконечно малая.

5. Две бесконечно малые функции сравниваются между собой с помощью их отношения. Пусть есть бесконечно малые функции:

Если , то α и β называются бесконечно малыми одного порядка;

Если , то α называется бесконечно малой более высокого порядка, чем β;

Если , то α называется бесконечно малой более низкого порядка, чем β;

Если не существует, то α и β называются несравнимыми бесконечно малыми;

Если , то α и β называются эквивалентными бесконечно малыми;

2.5. Методы вычисления пределов.

1. Вычисление предела функции непосредственной подстановкой предельного значения аргумента в выражение функции.

Если к данной функции, предел которой находится при стремлении аргумента к некоторому предельному значению, применимы теоремы о пределах, то вычисление предела сводится к подстановке этого предельного значения в функцию.

ПРИМЕР 1. .

Применив последовательно теоремы о пределах, получим:

2. Вычисление предела функции, когда предел делителя равен нулю.

ПРИМЕР 2. .

Предел делителя равен нулю: . Теорему о пределе частного применить нельзя, т. к. деление на нуль невозможно. Если , то 4х-8 есть величина бесконечно малая, а величина ей обратная бесконечно большая. Следовательно, при х→2 произведение есть величина бесконечно большая, т. е. .

3.  Раскрытие неопределенности .

ПРИМЕР 3. .

Предел числителя и знаменателя при х→0 равен нулю. Вычислить предел функции непосредственной подстановкой вместо аргумента его предельного значения нельзя, так как при х→0 имеем отношение двух бесконечно малых величин (отношение не имеет смысла).

Разложим числитель и знаменатель на множители, чтобы сократить дробь на общий множитель, стремящийся к нулю. По определению предела функции аргумент х стремится к своему предельному значению, никогда не принимая этого значения, поэтому до перехода к пределу можно произвести сокращение на множитель, стремящийся к нулю.

Имеем:

.

4.  Вычисление предела функции при х→∞.

ПРИМЕР 4. Вычислить .

Числитель и знаменатель дроби неограниченно возрастают при х→∞. В таком случае говорят, что имеет место неопределенность вида . Разделив числитель и знаменатель дроби на х в старшей степени, получаем

,

т. к. при х→∞ каждая из дробей бесконечно малые величины и их пределы равны нулю.

ПРИМЕР 5. Рассмотрим случай, когда при х→∞ уменьшаемое и вычитаемое есть бесконечно большие величины.

.

(умножим и разделим на сопряженное выражение)

. ( величина при )

При вычислении пределов выражений, содержащих тригонометрические функции, часто используется предел

,

называемый первым замечательным пределом.

ПРИМЕР 6. Вычислить предел, используя свойство первого замечательного предела

Умножим числитель и знаменатель на 3. Имеем:

.

ПРИМЕР 7. Вычислить предел .

Представим предел в виде .

Вычислим предел .

В результате вычисления второго предела, получим окончательный ответ

.

Для раскрытия неопределенности часто бывает полезно применять свойства эквивалентных бесконечно малых функций.

Важнейшие эквивалентности, применяемые при вычислении пределов:

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

ПРИМЕР 8. Найти предел, используя эквивалентные бесконечно малые функции

( по формулам 6,2)

Задачи для самостоятельного решения.

Вычислить пределы

1. (Отв. (Отв. –3)

3. (Отв. (Отв. ∞)

5. (Отв. ) 6. (Отв. 1)

7. (Отв. ) 8. (Отв. )

9. (Отв. ) 10. (Отв. 2)

11. (Отв. (Отв. 0)

13. (Отв. ) 14. (Отв. )

15. (Отв. ) 16. (Отв. )

17. (Отв (Отв. 6)

3. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ.

Определение. Функция непрерывна при (в точке х0), если 1)функция определена в точке и ее окрестности; 2) существует конечный предел функции в точке ; 3) этот предел равен значению функции в этой точке , т. е.

.

Определение. Функция называется непрерывной в интервале, если она непрерывна в каждой его точке.

3.1  . Односторонняя непрерывность.

Функция называется непрерывной слева в точке х0, если она определена на некотором полуинтервале и , т. е. это предел функции в обычном смысле, но только для х, расположенных левее точки х0.

Функция называется непрерывной справа в точке х0, если она определена на некотором полуинтервале и , т. е. это предел функции в обычном смысле, но только для х, расположенных правее точки х0.

Функция непрерывна в точке х0 тогда и только тогда, когда она непрерывна слева и справа в этой точке, т. е. когда

Рассмотрим левосторонний и правосторонний пределы на примере функции при .

Левосторонний предел . Зададимся вопросом, к какому числу приближается значение функции, когда значения переменной х приближается к числу 3 слева, т. е. со стороны чисел меньших числа 3.

х	2	2.5	2.9	2.99
f(x)	4	5	5.8	5.98

Значение функции слева приближается к 6.

Правосторонний предел . К какому числу приближается значение функции, если значение переменной х приближается к числу 3 справа, т. е. со стороны чисел больше числа 3 .

Х	4	3.5	3.1	3.01
f(x)	8	7	6.2	6.02

Значение функции справа приближается также к числу 6.

В данном случае левосторонний и правосторонний пределы равны 6. Этому же числу равно и значение функции в точке х=3. . Следовательно, в точке х=3 функция непрерывна.

Геометрически непрерывность функции означает, что график представляет собой сплошную линию без разрывов.

Однако не все функции и не при всяком значении х непрерывны. Например, функция , не существует в точке . Тогда говорят, что в точке функция имеет разрыв.

Точка , в которой нарушено хотя бы одно из трех условий непрерывности функции, называется точкой разрыва функции.

Если в точке существуют конечные пределы , такие, что , то называется точкой разрыва первого рода. Если хотя бы один из пределов не существует или равен бесконечности, то точка называется точкой разрыва второго рода. Если и функция не определена в точке , то точку называют устранимой точкой разрыва функции.

ПРИМЕР. Исследовать функцию на непрерывность в точках х1=3, х2=1.

Для точки х1=3 имеем: