Методические указания по дисциплине «Математический анализ» для студентов бакалавриата по направлению «Экономика» - 521600 (стр. 4 )

Найдем частные производные: ; .

Дифференцируя повторно, получим

; ; .

7.3. Нахождение экстремума функции

Функция имеет максимум в точке М0 (x0, y0), если значение функции в этой точке больше, чем ее значение в любой другой точке М (x, y) некоторой окрестности точки М0 (x0, y0), т. е.

.

Функция имеет минимум в точке М0, если

.

Максимум и минимум функции называется ее экстремумом. Точка М0, в которой функция имеет экстремум, называется точкой экстремума.

1.  Необходимое условие экстремума.

Если дифференцируемая функция достигает экстремума в точке М0 (x0, y0), то ее частные производные первого порядка в этой точке равны нулю, т. е.

, .

Точки, в которых частные производные равны нулю называются стационарными точками. Не всякая стационарная точка является точкой экстремума.

2.  Достаточное условие экстремума.

Пусть М0 (x0, y0) – стационарная точка функции . Обозначим ; ; и составим дискриминант

∆= АС - В2 .

Тогда, если ∆>0, то функция имеет в точке М0 экстремум: при

А <0 (или С<0) – максимум; при А >0 (или С>0) – минимум.

Если Δ<0, то в точке М0 экстремума нет.

Если Δ=0, то требуется дальнейшее исследование.

ПРИМЕР. Найти экстремум функции

z = x2 + xy + y2 – 3x – 6y

Найдем частные производные функции:

;

Воспользовавшись необходимыми условиями экстремума, находим стационарные точки, т. е. приравняем первые производные к нулю:

М (0;3)

Найдем коэффициенты A, B,C

=B

- экстремум существует, т. к. A = 2 > 0, следовательно, в точке М (0;3) функция имеет минимум

.

7.4. Применение частных производных в экономике.

Частные производные играют большую роль в экономической теории. В частности с ними связаны такие понятия как эластичность, функция полезности, условная оптимизация и многое другое.

ПРИМЕР. В качестве примера возьмем функцию спроса

, где – цена товара, цена альтернативного товара, доход потребителей.

Определим эластичность спроса от цены и эластичность спроса от дохода при значениях

Вычислим величину спроса Q при указанных значениях .

Эластичность спроса от цены определяется про формуле: .

,

Аналогично вычисляя ,

находим перекрестный коэффициент эластичности .

Он положителен, поэтому товары взаимозаменяемы. Определим эластичность проса от доходов: , ,

.

Знак эластичности показывает, что с ростом доходов спрос будет увеличиваться.

Задачи для самостоятельной работы.

1. Найти частные производные первого и второго порядка для функций:

1. 2.

3. 4.

5. 6.

2. Исследовать на экстремум следующие функции:

1.

2.

3.

Библиографический список

1.  , , Кожевникова математика в упражнениях и задачах.-М.: Высшая школа, 1986.

2.  Богомолов занятия по высшей математике.-М.: Высшая школа, 1973.

3.  Никольский математика. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии,-М.:Наука,1980,1984.

4.  Пискунов и интегральное исчисление-М.: Наука, 1978,Т.1.

5.  , Араманович курс математического анализа.- М.-Наука 1973.

СОДЕРЖАНИЕ

1.	Понятие функции. Функциональная зависимость……………………………………………...........	3
2.	Теория пределов………………………………………	4
2.1	Предел числовой последовательности………………	4
2.2	Предел функции………………………………………	5
2.3	Операции над пределами…………………………….	5
2.4	Бесконечно малые и бесконечно большие функции	6
2.5	Методы вычисления пределов……………………….	7
3.	Непрерывность функции……………………………..	10
3.1	Односторонняя непрерывность………………………	10
4.	Производная…………………………………………..	12
4.1	Задача, приводящая к понятию производной………	12
4.2	Основные правила дифференцирования…………….	13
4.3	Нахождение производных……………………………	14
4.4	Экономический смысл производной………………...	15
5.	Исследование поведения функции с помощью производной……………………………………………….	16
5.1	Возрастание и убывание функции…………………...	16
5.2	Максимум и минимум функции……………………..	16
5.3	Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба	18
5.4	Асимптоты…………………………………………….	18
5.5	Схема полного исследования функции………...........	19
6.	Интегральное исчисление……………………… ……	22
6.1	Неопределенный интеграл…………………………...	22
6.1.1	Свойства неопределенного интеграла……………….	23
6.1.2	Методы интегрирования……………………………...	24
6.2	Определенный интеграл……………………………...	28
6.2.1	Основные свойства определенного интеграла……...	29
6.2.2	Правила вычисления определенного интеграла……	30
6.3	Применение интегрирования в экономике………….	31
7.	Понятие функции нескольких переменных…………	32
7.1	Частные производные функции……………………...	32
7.2	Частные производные высших порядков……………	33
7.3	Нахождение экстремума функции…………………..	34
7.4	Применение частных производных в экономике…..	36
	Библиографический список…………………………..	37