Методические указания по дисциплине «Математический анализ» для студентов бакалавриата по направлению «Экономика» - 521600 (стр. 3 )

В интервале , т. е. кривая вогнута.

Так как в точке вторая производная меняет знак с минуса на плюс, то в этой точке график функции имеет перегиб: .

6. Найдем асимптоты. Вертикальных асимптот нет. Ищем наклонные асимптоты в виде .

,

.

Таким образом, прямая – горизонтальная асимптота при х→+∞.

.

Значит, при х→-∞ наклонных асимптот нет.

7. Построим график функции

Задачи для самостоятельного решения.

1.Найти экстремумы функций:

а) (Отв. т. минимума)

б) (Отв. т. max; т. min)

2.Исследовать методами дифференциального исчисления функции:

а) б)

в) г)

д) е)

ж) з)

6. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ.

6.1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.

Занимаясь дифференцированием функций, мы ставим перед собой задачу по данной функции найти ее производную. Перейдем к обратной задаче: найти функцию, зная ее производную.

Определение. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x), если или .

Если функция f(x) имеет первообразную F(x), то она имеет бесконечное множество первообразных, причем все они содержатся в выражении F(x) + C, где C - const.

Неопределенным интегралом от функции называется совокупность всех ее первообразных.

Обозначение:

- знак интеграла;

– подынтегральная функция;

– подынтегральное выражение;

x – переменная интегрирования.

Отыскание неопределенного интеграла называется интегрированием функции.

6.1.1. Свойства неопределенного интеграла

1. Неопределенный интеграл дифференциала функции равен этой функции, сложенной с произвольной постоянной

2. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению

3.

4. , где а-const.

5.

6. Если и , то

Таблица первообразных

, где m ≠ -1

6.1.2. Методы интегрирования

1.  Непосредственное интегрирование

ПРИМЕР 1.

используя свойства 3 и 4, получим=

= к первым трем интегралам правой части применим формулу 2, а к четвертому интегралу-формулу 1.

2.  Метод замены переменной

ПРИМЕР 2.

. Введем подстановку . Дифференцируем: , откуда . Подставив вместо и их значения в данный интеграл, получим:

Заменив t его выражением через х, имеем:

.

ПРИМЕР 3.. Используем подстановку тогда дифференцируя,

получаем . Наш интеграл примет вид: или . Переходя

к старым переменным, .

ПРИМЕР 4.

. Подстановка: , дифференцируем . Нам необходимо выразить , следовательно . Подставляя в интеграл, получим , переходя к старым переменным: .

ПРИМЕР 5.

3. Метод интегрирования по частям.

Интегрированием по частям называется нахождение интеграла по формуле , где u = φ(x), v = ψ(x) – непрерывно дифференцируемые функции от x. С помощью этой формулы нахождение сводится к отысканию другого интеграла . Ее применение целесообразно в тех случаях, когда последний интеграл либо проще исходного, либо ему подобен.

При этом за берется такая функция, которая при дифференцировании упрощается, а за берется та часть подынтегрального выражения, интеграл от которой известен или может быть найден.

ПРИМЕР 6.

ПРИМЕР 7.

=

4. Интегрирование тригонометрических функций

Используется универсальная подстановка

x = 2arctg(t)

ПРИМЕР 8. Вычислить интеграл

воспользуемся методом замены переменной =.

Возвращаясь к старой переменной, получим:

5. Интегрирование рациональных дробей с помощью разложения на простейшие дроби

Перед интегрированием рациональной дроби необходимо сделать следующие алгебраические преобразования и вычисления:

1)  если дана неправильная дробь, то выделить из нее целую часть;

2)  разложить знаменатель дроби на линейные и квадратичные множители;

3)  правильную рациональную дробь разложить на простейшие дроби;

4)  вычислить неопределенные коэффициенты.

В результате интегрирование рациональной дроби сведется к нахождению интегралов от многочлена и от простейших рациональных дробей.

ПРИМЕР 9.

Так как каждый из двучленов , , входит в знаменатель в первой степени, то данная правильная рациональная дробь может быть представлена в виде суммы простейших дробей:

Приведем к общему знаменателю и освобождаясь от него, получим:

Сгруппируем члены с одинаковыми степенями:

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:

А=3 В=-7 С=5

Итак, разложение рациональной дроби на простейшие имеет вид:

Таким образом,

Эти интегралы решаем методом замены переменных, получаем:

ПРИМЕР 10

Разложим правильную дробь на сумму простейших дробей.

При находим, , т. е. . При , при .

Окончательно имеем

.

Задачи для самостоятельного решения

1. (Отв. )

2. (Отв. –2cosx+3sinx+C)

3. (Отв. )

4. (Отв. )

5. (Отв. –хcosx+sinx+C)

6. (Отв. )

7. (Отв. )

8. (Отв. )

9. (Отв. )

10. (Отв. )

11. (Отв. )

12. (Отв. )

6.2. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Пусть функция определена на отрезке [a, b].Разделим отрезок [a, b] на n произвольных частей точками а=х0<х1<х2<…<хn-1<xn=b.

Выберем на каждом элементарном отрезке [хк-1,хк] произвольную точку ξк и найдем длину каждого такого отрезка: Δxk = xk-xk-1. Составим произведение . Составим сумму всех этих произведений, обозначив

 

y =(x)

0

x

Определение. Определенным интегралом от функции на отрезке [a, b] называется предел интегральной суммы при условии, что длина наибольшего из элементарных отрезков (max ∆xk) стремится к нулю.

Теорема существования определенного интеграла.

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то предел интегральной суммы существует и не зависит от способа разбиения отрезка [a, b] на элементарные отрезки и от выбора точек ξк.

Числа a и b соответственно называются верхним и нижним пределом интегрирования.

Если на отрезке [a, b], то определенный интеграл геометрически представляет собой площадь криволинейной трапеции-фигуры, ограниченной линиями , , , .

6.2.1. Основные свойства определенного интеграла.

1. 

2. 

3. 

4. 

5.  , где С - const.

6.  Оценка определенного интеграла:

Если m≤f(x)≤M на отрезке [a, b],то

6.2.2. Правила вычисления определенного интеграла

1.  Формула Ньютона-Лейбница

,

где F(x)-первообразная для f(x),то есть F′(x)=f(x).

2.  Интегрирование по частям

,

где u=u(x), v=v(x) – непрерывно дифференцируемые функции на отрезке [a, b].

3.  Замена переменной.

- функция непрерывная вместе со своей производной на отрезке , , -функция непрерывна на .

ПРИМЕР 1. Вычислить определенный интеграл.

==воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница =

.

ПРИМЕР 2.

==

=

ПРИМЕР 3.

. Сделаем замену переменной: , . Изменим пределы интегрирования: при получим , при .

.

6.3. Применение интегрирования в экономике.

Интегрирование в экономике позволяет решить задачу нахождения исходной экономической функции по известной предельной функции.

ПРИМЕР 1. Пусть, например, необходимо найти суммарный доход R, если известен предельный доход

Т. к. предельный доход определяется как , где - искомая функция, то

, где с – постоянная интегрирования.

Для решения задачи необходимо определить константу с. Ясно, что при нулевом производстве и доход будет нулевым.

Это дает , т. е. постоянная интегрирования равна нулю. Окончательно для дохода имеем .

Определенный интеграл выражает объем произведенной продукции при известной функции производительности труда.

ПРИМЕР 2. Найти объем продукции, произведенной за 4 года, если функция имеет вид .

Если считать, что затраты труда есть линейная зависимость от времени, а затраты капитала неизменны, то функция выражена как , тогда объем выпускаемой продукции за T лет составит .

В нашей задаче функция имеет вид , следовательно, объем выпускаемой продукции за 4 года .

Используем метод интегрирования по частям. Пусть . Тогда , . Следовательно, объем продукции равен

(ед.)

Задачи для самостоятельного решения.

1. (Отв. 9)

2. (Отв. )

3. (Отв. )

4. (Отв. )

7.  Понятие функции нескольких переменных

Пусть – функция от одного переменного, в этом случае каждому значению x соответствует значение y. Но нередко встречаются случаи, когда какая-нибудь величина зависит не от одной независимой переменной, а от двух или более. В этих случаях говорят, что указанная величина является функцией двух или соответственно большего числа независимых переменных.

Определение. Если каждой паре (x, y) значений двух независимых друг от друга переменных величин x и y из некоторой области их изменения D, соответствует определенное значение величины Z, то говорят, что Z есть функция двух независимых переменных x и y, определенная в области D. Обозначение функции двух независимых переменных .

7.1. Частные производные функции.

Частной производной от функции по независимой переменной x называется конечный предел,

вычисленный при постоянном y.

Частной производной по независимой переменной y называется конечный предел,

,

вычисленный при постоянном x.

При нахождении частных производных по одной из переменных, остальные считаются const. Для частных производных справедливы обычные правила и формулы дифференцирования.

Правила вычисления частных производных совпадают с правилами вычисления производной для функции одной переменной и только требуется помнить, по какой переменной ищется производная.

ПРИМЕР 1.

. Найти и .

Рассмотрим у как постоянную величину, получим

.

Рассмотрим х как постоянную величину, получим

.

ПРИМЕР 2

z= Найти и .

7.2. Частные производные высших порядков.

Частными производными второго порядка от функции называются частные производные от ее частных производных первого порядка.

Обозначения частных производных второго порядка:

;

;

;

.

Так называемые “смешанные производные”, отличающиеся друг от друга лишь последовательностью дифференцирования, равны между собой, если они непрерывны, например

.

Аналогично определяются и обозначаются частные производные третьего и высших порядков, например:

;

; и т. д.

ПРИМЕР 3.

Для функции ,

найти

(у является const)

(x является const)

ПРИМЕР 4.

Для функции найти