Получилось однородное уравнение. Сделаем замену:
Получим общий интеграл данного уравнения. Однако заметим, что при разделении переменных было потеряно решение исходного уравнения 
которое надо добавить в ответ. Также было потеряно решение 
Ответ: 
3. Примеры
Решить уравнения или задачи Коши
1. 
2. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
4. Ответы
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
§3. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли
1. Определения и методы решения
Определение 1. Уравнение вида:
(1)
где 
и 
– заданные непрерывные функции на 
называется линейным дифференциальным уравнением (ЛДУ). Если 
при 
то уравнение имеет вид:
и называется линейным однородным дифференциальным уравнением (ЛОДУ). А если 
при то уравнение (1) называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением (ЛНДУ).
Метод решения ЛНДУ
1) Метод вариации произвольной постоянной:
· сначала решить соответствующее ЛОДУ, которое является уравнением с разделяющимися переменными:
(2)
· заменить в формуле (2) постоянную 
на неизвестную функцию 
и подставить это выражение вместо 
в уравнение (1), предварительно найдя 
· из полученного уравнения найти функцию 
· записать ответ:
где 
произвольная постоянная.
2) Метод Бернулли:
· выполнить в уравнении (1) замену Бернулли:
(3)
· приравнять к нулю выражение
и найти отсюда любое частное решение 
· подставить полученную функцию 
в уравнение (3) и найти общее решение 
из этого уравнения;
· записать ответ: 
где 
произвольная постоянная.
Уравнение Бернулли
Определение 2. Уравнение вида
где 
и 
(4)
называется уравнением Бернулли с показателем 
.
Уравнение (4) приводится к ЛНДУ(1) с помощью замены:
После этой замены уравнение (1) приводится к следующему:
Это уравнение ЛНДУ относительно функции 
Его можно решать также с помощью замены Бернулли. Но можно и уравнение (4), не проводя замену к функции 
, решать методом замены Бернулли непосредственно. При этом функция 
будет частным решением уравнения
а функция будет находиться из уравнения
.
Замечание 1. При таком решении при 
решение 
будет всегда потеряно.
Замечание 2. Некоторые дифференциальные уравнения первого порядка становятся линейными или уравнениями Бернулли, если в них поменять ролями искомую функцию и независимую переменную
.
2. Примеры с решениями
Пример 1. Решить уравнение:
.
Решение. Уравнение имеет вид (1), где 
Решим его двумя способами.
Способ 1 (метод вариации постоянной)
1) Решим сначала ЛОДУ, соответствующее данному ЛНДУ:
Это уравнение с разделяющимися переменными:
, где 
произвольная постоянная.
2) Решение данного уравнения ищем в таком же виде, но считаем переменной 
т. е.
Найдем 
и подставим функцию 
в заданное уравнение:
где 
произвольная постоянная. Следовательно, общим решением заданного дифференциального уравнения будет:
Способ 2 (метод Бернулли)
Выполним в заданном уравнении замену Бернулли:
. (*)
1) Найдем функцию 
из уравнения:
где любое число.
Но так как нас интересует частное решение 
, то выберем значение 
:
2) Найдем функцию 
решая уравнение (*) при 
где – произвольная постоянная.
Следовательно, общее решение заданного уравнения можно записать:
Ответ: 
.
Пример 2. Решить задачу Коши:
Решение. Заданное уравнение является линейным неоднородным дифференциальным уравнением. Решим его методом Бернулли. Для этого сделаем замену:
которая приведет к следующему уравнению:
(**)
1) Функцию найдем из уравнения:
,
где любое число,
поэтому возьмем , т. е.
.
2) Найдем функцию из уравнения (**) при 
где – произвольная постоянная.
Общее решение данного уравнения:
В полученном общем решении найдем так, чтобы удовлетворялось условие: 
Значит, решением задачи Коши является функция
Ответ: 
.
Пример 3. Решить уравнение:
Решение. Данное уравнение не является линейным относительно функции 
Но если учесть, что
то уравнение можно переписать в виде:
(5)
которое является линейным уравнением относительно функции 
Решим полученное уравнение методом вариации постоянной:
1) Сначала решаем ЛОДУ:
2) Пусть 
тогда 
Подставим эту функцию в уравнение (5):
где 
– произвольная постоянная.
Следовательно, общее решение уравнения (5) имеет вид:
Чтобы найти общее решение заданного уравнения, заметим, что при переходе от данного уравнения к уравнению (5) могло быть потеряно решение . Действительно, подстановкой в исходное уравнение убеждаемся, что – решение данного уравнения и оно не попадает в общее решение уравнения (5) ни при каком значении 
Поэтому записываем его в ответ.
Ответ: 
Пример 4. Решить уравнение:
Решение. Данное уравнение является уравнением Бернулли с показателем 
Решим его методом Бернулли. Для этого выполним замену:
(***)
1) Функцию найдем из уравнения:
где – любое число (пусть 
), тогда
2) Найдем функцию 
из уравнения (***) при 
:
где – произвольная постоянная.
После преобразований получим:
Следовательно, общее решение данного уравнения запишется следующим образом:
Так как 
то в ответ запишем и потерянное решение
Ответ: 
3. Примеры
Решить ДУ или задачи Коши:
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
4. Ответы
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
§4. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах. Уравнения с интегрирующим множителем
1. Определение и метод решения уравнения в полных дифференциалах
Определение 1. Если в уравнении
(1)
левая часть есть полный дифференциал некоторой функции 
то оно называется дифференциальным уравнением в полных дифференциалах. Тогда это уравнение можно переписать в виде: 
Следовательно, его общий интеграл есть 
где произвольная постоянная.
Необходимым и достаточным условием того, чтобы выражение 
было полным дифференциалом функции является равенство:
для 
Итак, чтобы решить дифференциальное уравнение (1), надо найти функцию для которой 
, и записать общий интеграл этого уравнения в виде 
Алгоритм нахождения функции u(x;y)
Способ 1.
· Составить систему:
· проинтегрировать по первое уравнение системы (или по y второе уравнение системы):
·
(*)
· подставить найденную 
во второе уравнение системы, что приведет к уравнению для функции 
Найти 
· подставить 
в формулу (*).
Способ 2.
Функцию можно найти с помощью криволинейного интеграла:
где 
а сам интеграл не зависит от пути интегрирования, так как выполняется равенство:
для
2. Уравнения с интегрирующим множителем
Пусть для дифференциального уравнения (1) условие не выполнено,
т. е. 
. Тогда (1) не является уравнением в полных дифференциалах. Но в некоторых случаях удается подобрать такую функцию, что при умножении на нее уравнения (1) оно становится уравнением в полных дифференциалах.
Определение 2. Функция 
называется интегрирующим множителем дифференциального уравнения (1), если после умножения (1) на получается уравнение
(2)
являющееся уравнением в полных дифференциалах.
Замечание 1. Умножение на функцию и интегрирование вместо (1) уравнения (2) может привести к потере или появлению лишних решений, обращающих в нуль.
Замечание 2. Дифференциальное уравнение (1) может иметь несколько интегрирующих множителей, а может не иметь ни одного.
Условия существования интегрирующего множителя
Интегрирующий множитель удовлетворяет дифференциальному уравнению:
Однако нет общего метода интегрирования такого уравнения. Рассмотрим частные случаи существования интегрирующих множителей вида: 
и 
Теорема 1. Пусть в некоторой области D выполнены условия:
1)
непрерывны;
2) 
3) 
является функцией, зависящей только от переменной 
Тогда дифференциальное уравнение (1) имеет интегрирующий множитель, зависящий только от и вычисляемый по формуле:
Теорема 2. Пусть в некоторой области D выполнены условия:
1) непрерывны;
2) 
3) 
является функцией, зависящей только от переменной 
Тогда дифференциальное уравнение (1) имеет интегрирующий множитель, зависящий только от и вычисляемый по формуле:
3. Примеры с решениями
Пример 1. Решить уравнение:
Решение. В данном примере
откуда получим:
Значит, данное уравнение в полных дифференциалах. Поэтому существует функция для которой выполняется равенство:
Составим и решим систему уравнений:
Проинтегрируем по первое уравнение, считая постоянным:
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 |
