Теорема 3. Если 
частное решение ЛНДУ:
а 
частное решение ЛНДУ:
то 
является частным решением ЛНДУ:
2. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
Определение 1. Уравнение вида
(3)
где 
и 
действительные числа, называется линейным однородным дифференциальным уравнением (ЛОДУ) второго порядка с постоянными коэффициентами.
Метод Эйлера для решения ЛОДУ с постоянными коэффициентами
Частные решения такого уравнения получают с помощью замены:
(*)
Подставляя в уравнение (3) выражения (*), получим:
(4)
Уравнение (4) называется характеристическим для данного уравнения (3). Оно является квадратным уравнением, поэтому в зависимости от величины дискриминанта 
возможны три случая.
1) 
Тогда корни характеристического уравнения (4) действительные и различные – 
Они дадут два линейно независимых решения: 
и 
. Следовательно, в этом случае по теореме 1 общее решение уравнения (3) можно записать в виде:
2) 
В этом случае 
Поэтому одно решение уравнения (3) будет . В качестве второго, линейно независимого с первым, можно взять функцию 
. Следовательно, в этом случае по теореме 1 общее решение уравнения (3) можно записать в виде:
или 
3) 
В этом случае корни уравнения (4) комплексно-сопряженные: 
Тогда в качестве линейно независимых решений можно взять функции 
и 
Следовательно, в этом случае по теореме 1 общее решение уравнения (3) можно записать в виде:
или 
3. Примеры с решениями
Пример 1. Найти фундаментальную систему решений и общее решение:
Решение. Подставляя 
в заданное уравнение, получим характеристическое уравнение:
Так как корни действительные и различные, то фундаментальную систему решений этого уравнения составят функции:
Тогда общее решение данного уравнения можно записать в виде линейной комбинации:
Ответ: 
Пример 2. Решить уравнение:
Решение. Характеристическое уравнение:
Корни этого уравнения будут действительными и равными:
Тогда фундаментальную систему решений этого уравнения составят функции:
Общее решение запишется как линейная комбинация этих решений:
Ответ: 
Пример 3. Решить уравнение:
Решение. Характеристическое уравнение:
Решим его: 
Корни этого уравнения будут комплексно-сопряженными:
Фундаментальную систему решений этого уравнения составят функции:
Общее решение запишется как линейная комбинация этих функций:
Ответ: 
Пример 4. Решить задачу Коши:
Решение. Характеристическое уравнение:
Корни этого уравнения действительные и равные:
Фундаментальную систему решений этого уравнения составят функции:
Общее решение запишется как линейная комбинация этих функций:
Найдем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям 
и 
Сначала найдем:
Составим систему из двух уравнений, подставляя в общее решение 
Подставим найденные значения 
и 
в общее решение:
это и будет решение задачи Коши.
Ответ: 
4. Примеры
Найти фундаментальную систему решений:
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
Найти общее решение уравнения:
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
Решить задачи Коши или краевые задачи:
21. 
22. 
23. 
24. 
25. 
5. Ответы
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
21. 
22. 
23. 
24. 
25. 
§3. Решение линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами
1. Решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка
(1)
где и постоянные величины, 
функция специального вида.
Пусть правая часть уравнения (1) имеет специальный вид. Тогда частное решение 
этого уравнения можно подобрать в зависимости от вида 
Такой метод называют методом неопределенных коэффициентов.
1) Пусть 
где 
многочлен степени 
.
Тогда частное решение подбирают в виде:
где а) 
многочлен степени с неопределенными коэффициентами, которые надо будет определить методом неопределенных коэффициентов;
б) 
если число 
и 
(корням характеристического уравнения);
если 
если 
2) Пусть 
где 
и 
заданные числа, причем хотя бы одно из чисел и 
не равно нулю. Тогда частное решение подбирают в виде:
где а) 
и 
– неопределенные числа, которые надо будет определить методом неопределенных коэффициентов;
б) если число 
не является корнем характеристического уравнения;
если число является корнем характеристического уравнения.
3) Пусть 
где 
и 
многочлены степени и 
соответственно, причем один из этих многочленов может быть равен нулю. Тогда частное решение подбирают в виде:
где а) 
и 
многочлены степени 
с неопределенными коэффициентами, которые надо будет определить методом неопределенных коэффициентов;
б) если число 
не является корнем характеристического уравнения;
если число является корнем характеристического уравнения.
2. Решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка методом вариации произвольных постоянных
Пусть дано ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами
(1)
и соответствующее уравнению (1) ЛОДУ:
(2)
для которого известна фундаментальная система решений 
и 
. Тогда общее решение ЛОДУ (2) запишется в виде:
(3)
где 
и 
– произвольные постоянные.
По методу вариации произвольных постоянных общее решение ЛНДУ (1) ищется в виде (3), считая, что и 
не постоянные, а некоторые функции от 
. (4)
Для нахождения 
и 
составим систему двух уравнений:
Решая эту систему, найдем 
и 
:
и 
Интегрируя полученные равенства, получим:
где 
и 
– произвольные постоянные.
Подставляя найденные и в формулу (4), получим общее решение ЛНДУ (1):
3. Примеры с решениями
Пример 1. Решить уравнение:
Решение:
1) Решим соответствующее ЛОДУ:
Его характеристическое уравнение:
Решим это уравнение.
корни действительные и равные: 
Следовательно, общее решение ЛОДУ имеет вид:
где 
и 
произвольные постоянные.
2) Правая часть ЛНДУ: 
т. е. имеет вид: 
где 
Поэтому 
и частное решение данного уравнения ищем в виде:
Отсюда находим 
Подставляя 
вместо 
в данное уравнение, получим равенство:
Следовательно, частное решение данного уравнения 
3) Найдем общее решение данного уравнения, воспользовавшись теоремой 2 (из §2):
Ответ: 
Пример 2. Решить уравнение:
Решение:
1) Решим соответствующее ЛОДУ:
Его характеристическое уравнение:
Следовательно, общее решение ЛОДУ имеет вид:
где и произвольные постоянные.
2) Правая часть ЛНДУ: 
Поэтому 
Значит, частное решение ЛНДУ ищем в виде:
Отсюда находим 
. Подставляя 
вместо 
в данное уравнение, получим равенство:
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях:
Следовательно, частное решение данного ЛНДУ имеет вид:
3) Найдем общее решение данного уравнения:
Ответ: 
Пример 3. Решить уравнение:
Решение:
1) Решим соответствующее ЛОДУ:
Его характеристическое уравнение:
Поэтому корни характеристического уравнения действительные и равные:
Следовательно, общее решение ЛОДУ имеет вид:
где и произвольные постоянные.
2) Правая часть данного ЛНДУ: 
т. е.
где 
Поэтому частное решение ЛНДУ ищем в виде:
Отсюда находим 
Подставляя вместо в данное уравнение, получим равенство:
Следовательно, частное решение данного ЛНДУ имеет вид:
3) Найдем общее решение данного уравнения:
Ответ: 
Пример 4. Решить уравнение:
Решение:
1) Решим соответствующее ЛОДУ:
Его характеристическое уравнение:
Поэтому корни характеристического уравнения комплексно-сопряженные:
Следовательно, общее решение ЛОДУ имеет вид:
где и произвольные постоянные.
2) Правая часть данного ЛНДУ: 
т. е.
где 
Поэтому частное решение ЛНДУ ищем в виде:
Отсюда находим 
подставляем вместо в данное уравнение.
Подстановка в данное уравнение:
Следовательно, частное решение ЛНДУ:
3) Найдем общее решение данного ЛНДУ:
Ответ: 
Пример 5. Решить уравнение:
Решение:
1) Решим соответствующее ЛОДУ:
Его характеристическое уравнение:
Следовательно, общее решение ЛОДУ имеет вид:
где и произвольные постоянные.
2) Правая часть данного ЛНДУ:
т. е. 
Значит, частное решение данного уравнения ищем в виде:
Отсюда находим 
Подстановка в данное ЛНДУ:
Следовательно, частное решение ЛНДУ:
3) Найдем общее решение ЛНДУ:
Ответ:
Пример 6. Решить задачу Коши:
Решение:
1) Найдем общее решение соответствующего ЛОДУ:
Его характеристическое уравнение:
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 |
