Обыкновенные дифференциальные уравнения и системы (примеры и задачи) (стр. 1 )

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Российский химико-технологический университет

имени

Обыкновенные дифференциальные

уравнения и системы

(примеры и задачи)

Утверждено Редакционным советом

университета в качестве учебного пособия

Москва

2013

УДК 517

ББК 22.161.6

О-30

Авторы: , ,

,

Рецензенты:

Доктор физико-математических наук, профессор Российского химико-технологического университета им.

Доктор технических наук, профессор Российского химико-технологического университета им.

Обыкновенные дифференциальные уравнения и системы (примеры и

О-30 задачи): учеб. пособие / , , Т. В.

Ригер, , ; под ред. Е. Г.

Рудаковской, . – М. : РХТУ им. , 2013. –

116 с.

ISBN 1118-1

Предложен цикл практических занятий по темам: дифференциальные уравнения первого, второго и n-го порядков, системы линейных дифференциальных уравнений. В каждой теме кратко приведен теоретический материал, разобраны примеры с решениями и предложены примеры для самостоятельного решения с ответами. Пособие может быть использовано на семинарских занятиях, а также для самостоятельной работы, при подготовке к контрольным работам, зачетам и экзаменам.

Предназначается для студентов всех специальностей, обучающихся в РХТУ имени , так как данный курс является необходимым элементом математического образования студентов технических специальностей, имеющим большое прикладное значение.

УДК 517

ББК 22.161.6

ISBN 1118-1 © Российский химико-технологический

университет им. , 2013

Оглавление

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА.. 4

§1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. 4

§2. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка. 10

§3. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли 17

§4. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах. Уравнения с интегрирующим множителем. 24

Глава 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА.. 34

§1. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка 34

§2. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка. 42

§3. Решение линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. 47

§4. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами. 63

Глава 3. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ n-го ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ.. 72

§1. Линейные дифференциальные системы n-го порядка с постоянными коэффициентами. Метод исключения. 72

§2. Линейные однородные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. 79

§3. Линейные неоднородные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. 97

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

§1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

1. Основные понятия

Определение 1. Уравнение, связывающее неизвестную функцию , ее аргумент и производную или их дифференциалы dx и dy, называется дифференциальным уравнением первого порядка, т. е.

(1)

Если из этого уравнения можно выразить y´(x), то уравнение примет вид:

при этом его называют уравнением, разрешенным относительно производной.

Определение 2. Решением дифференциального уравнения (1) называется любая дифференцируемая функция , которая при ее подстановке в уравнение (1) обращает его в верное равенство. При этом, если она задана явно, то используют термин решение, а если неявно, то говорят интеграл. График решения называется интегральной кривой. Процесс нахождения решений дифференциального уравнения называется интегрированием этого уравнения.

Определение 3. Общим решением (или общим интегралом) дифференциального уравнения называется множество всех без исключения решений этого уравнения. Множество таких решений образуется с помощью произвольной постоянной с:

– в явном виде – общее решение

и – в неявном виде – общий интеграл уравнения.

Определение 4. Частным решением, или частным интегралом дифференциального уравнения (1) называется функция или , полученная из общего решения или общего интеграла при определенном значении произвольной постоянной .

Определение 5. Поиск частного решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего дополнительному начальному условию:

,

где и – заданные числа, называется задачей Коши.

2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Определение 6. Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида:

(2)

или уравнение вида:

(3)

Чтобы уравнения (2) и (3) можно было проинтегрировать, необходимо привести их к уравнениям с разделёнными переменными, т. е. при дифференциалах dx и dy должны быть множители, зависящие соответственно от x и от y.

Решим уравнение (2) в общем виде:

Пусть , а , тогда выражение

или , где является интегралом уравнения (2). Остается проверить, что не потеряны решения при делении уравнения на выражения, зависящие от переменных. Решим уравнение . Если оно имеет решение, являющееся и решением уравнения (2), то оно тоже будет присоединено к общему интегралу этого уравнения.

Решим уравнение (3) в общем виде:

уравнение с разделенными переменными

общий интеграл уравнения (3)

К полученному интегралу могут быть добавлены решения уравнений: и , если они являются для заданного уравнения решениями.

Некоторые дифференциальные уравнения можно привести к уравнениям с разделяющимися переменными. Например, уравнения вида:

или ,

где и – некоторые числа, приводят к виду (2) или (3) с помощью замены:

3. Примеры с решениями

Пример 1. Решить уравнение:

Решение. Данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными вида (2), так как его можно переписать в виде:

Приведем его к уравнению с разделенными переменными:

Теперь его можно интегрировать:

, обозначим

Получим общее решение уравнения.

Проверим, не потеряно ли решение ?

Подставим в заданное уравнение , а тогда и . Получим .

Значит, решение данного уравнения, но оно принадлежит полученному общему решению при .

Ответ: .

Пример 2. Решить уравнение:

Решение. Соберём слагаемые, содержащие и :

Это уравнение вида (3), так как:

Разделим переменные:

Интегрируя, получаем:

, где

это общий интеграл уравнения.

Так как уравнения и не имеют действительных решений, то при интегрировании уравнения не могли быть потеряны решения.

Ответ: .

Пример 3. Решить задачу Коши:

Решение. Уравнение является уравнением с разделяющимися переменными вида (3), так как:

Разделим переменные, поделив уравнение на

Интегрируя, получим:

.

Обозначим :

общий интеграл уравнения.

Используя начальное условие: , получим частное решение

.

Значит, частное решение данного уравнения при заданном начальном условии имеет вид:

Ответ: .

Пример 4. Решить уравнение:

.

Решение. Выполним замену: .

Тогда уравнение изменится:

.

Получилось уравнение с разделяющимися переменными вида (2), так как

. Разделим переменные:

.

Интегрируя, получим:

.

Обозначим , тогда .

Так как , то общим интегралом будет: .

Решим уравнение . Тогда z=0.

Подставим в заданное уравнение и получим тождество: 0+1=1. Значит, или – решение для данного уравнения, но не входит в общий интеграл.

Ответ: .

4. Примеры

Решить уравнения или задачи Коши:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

5. Ответы

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

§2. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

1. Однородное уравнение первого порядка: определение и метод его решения

Определение 1. Уравнение первого порядка вида называется однородным, если его правая часть является однородной функцией нулевого измерения, т. е. при любом справедливо равенство: .

Замечание 1. Уравнение является однородным, так как функция удовлетворяет определению однородности нулевого измерения.

Определение 2. Уравнение вида

называется однородным, если однородные функции одного измерения однородности, т. е. и

Метод решения однородного уравнения

Однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью замены функции y(x) по формуле:

где новая функция, относительно которой и получится уравнение с разделяющимися переменными.

Решение однородного уравнения в общем виде

замена:

После замены получается уравнение:

Разделим переменные и проинтегрируем полученное равенство:

Выполнив обратную замену:

получим общий интеграл данного уравнения:

Далее необходимо проверить, не потеряны ли решения. Если уравнение имеет решения , то решения уравнения , хотя при данное уравнение принимает вид: уравнение c разделяющимися переменными, решение которого не составит большого труда.

Дифференциальные уравнения, приводящиеся к однородным

1) Уравнение приводится к однородному.

Для этого выполним замену:

если

После такой замены получается однородное уравнение относительно неизвестной функции в котором, выполняя замену: получается уравнение с разделяющимися переменными.

Если же то после замены: исходное уравнение превращается в уравнение с разделяющимися переменными.

2) Некоторые ДУ возможно привести к однородным для новой, пока неизвестной функции если применить замену вида:

При этом число подбирается из условия, чтобы полученное уравнение, если это возможно, стало однородным. Однако если это сделать невозможно, значит рассматриваемое ДУ привести к однородному таким способом нельзя.

2. Примеры с решениями

Пример 1. Решить уравнение:

Решение. Данное уравнение имеет вид

однородное. Выполним замену:

общее решение уравнения.

При разделении переменных и делении на могло быть потеряно решение Однако функция не является решением данного уравнения.

Ответ:

Пример 2. Решить уравнение:

Решение. Проверим, что функции являются однородными функциями измерения.

Следовательно, уравнение является однородным.

Выполним замену:

Тогда получим уравнение с разделяющимися переменными:

Разделим переменные:

общее решение уравнения

Прямой подстановкой в заданное уравнение убедимся, что является его решением, но оно было потеряно при делении уравнения на

Ответ:

Пример 3. Решить задачу Коши:

Решение. Покажем, что уравнение приводится к однородному уравнению.

Решим систему уравнений:

По правилу Крамера:

Сделаем замену:

однородное уравнение.

Замена:

общий интеграл данного уравнения

При разделении переменных могли быть потеряны решения при делении на Решим уравнение

Однако эти функции входят в общий интеграл данного уравнения, при Найдем решение задачи Коши, используя начальное условие Подставим в общий интеграл значения и :

Таким образом частный интеграл данного уравнения, удовлетворяющий начальным условиям , будет задаваться формулой:

Ответ:

Пример 4. Решить уравнение:

Решение. Покажем, что это уравнение приводится к однородному с помощью подстановки и далее интегрируется с использованием замены

Полученное уравнение будет однородным, если показатели степеней при и равны между собой, то есть:

Выполним подстановку: