(*)
Определим функцию 
используя второе уравнение системы:
где 
произвольная постоянная.
Подставим 
в равенство (*):
Таким образом, общим интегралом данного уравнения будет:
Ответ: 
Пример 2. Решить задачу Коши:
Решение. Проверим выполнение условия
и 
.
Следовательно, заданное уравнение в полных дифференциалах. Составим систему уравнений относительно неизвестной функции 
для которой выполняется равенство:
Тогда: 
(**)
Найдем функцию используя второе уравнение системы:
где произвольная постоянная.
Подставим найденную в (**):
Таким образом, общий интеграл данного уравнения можно записать:
Найдем число 
так, чтобы выполнялось условие: 
Следовательно, решение задачи Коши находится из общего решения при 
Ответ:
Пример 3. Решить уравнение:
Решение. Проверим условие 
Следовательно, это уравнение не является уравнением в полных дифференциалах. Проверим выполнение условий теоремы 1 существования интегрирующего множителя 
Таким образом, интегрирующий множитель вида 
существует и находится по формуле:
Умножим заданное уравнение на найденную функцию и получим уравнение в полных дифференциалах:
Поэтому существует для которой
(***)
где произвольная постоянная.
Подставим 
в равенство (***):
Тогда общий интеграл запишется в виде:
При переходе от заданного уравнения к уравнению в полных дифференциалах было потеряно решение 
(при делении на 
). Но оно входит в полученное семейство при 
Ответ: 
Пример 4. Решить уравнение:
Решение. Проверим условие 
Следовательно, это уравнение не является уравнением в полных дифференциалах. Проверим выполнение условий теоремы 2 существования интегрирующего множителя 
Таким образом, интегрирующий множитель вида 
существует и находится по формуле:
Умножим заданное уравнение на 
и решим полученное уравнение в полных дифференциалах:
Поэтому существует для которой выполняется равенство:
(****)
где произвольная постоянная.
Подставим найденную функцию в выражение (****):
Тогда общий интеграл запишется в виде:
Следовательно, это общий интеграл заданного уравнения.
Ответ: 
4. Примеры
Решить ДУ или задачи Коши:
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
5. Ответы
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
Глава 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА
§1. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка
1. Основные понятия
Определение 1. Уравнение вида:
(1)
называется дифференциальным уравнением второго порядка. Если из этого уравнения выразить
то оно называется разрешенным относительно второй производной.
Определение 2. Общим решением уравнения (1) называется семейство функций, зависящее от двух произвольных постоянных 
и 
:
или 
В первом случае его называют общим решением, во втором – общим интегралом уравнения (1).
Определение 3. Задачей Коши для уравнения (1) и заданных начальных условий: 
называется поиск частного решения этого уравнения, удовлетворяющего этим начальным условиям:
где 
и 
определенные числа, полученные из общего решения при подстановке в него начальных условий.
2. Уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка
1) Уравнение не содержит явно 
и
Пусть дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид:
(2)
Тогда, учитывая равенство: 
получим:
Следовательно, общее решение уравнения (2) задается функцией:
2) Уравнение не содержит явно
Пусть уравнение (1) имеет вид:
(3)
Для решения такого уравнения выполняется замена:
Эта замена понижает порядок уравнения, приводя уравнение (3) к ДУ первого порядка:
Решим полученное уравнение относительно функции 
Получим общее решение этого уравнения:
где
произвольная постоянная.
Далее, подставив в полученное решение 
получим дифференциальное уравнение первого порядка:
Откуда получим:
где 
произвольная постоянная.
Итак, получено общее решение уравнения (3):
3) Уравнение не содержит явно
Пусть уравнение (1) имеет вид:
(4)
Для решения такого уравнения выполняется замена:
Эта замена понижает порядок уравнения, приводя уравнение (4) к ДУ первого порядка:
Решим полученное уравнение относительно функции 
Получим общее решение этого уравнения:
где произвольная постоянная. Далее, подставив в полученное решение 
получим дифференциальное уравнение первого порядка:
Это уравнение с разделяющимися переменными:
где произвольная постоянная.
Итак, получим общий интеграл уравнения (4):
3. Примеры с решениями
Пример 1. Решить уравнение:
Решение. Это уравнение не содержит и Учитывая равенство 
получим
где 
и произвольные постоянные.
Ответ: 
Пример 2. Решить уравнение:
Решение. Это уравнение не содержит явно . Поэтому выполним замену:
Такая замена понижает порядок данного уравнения и приводит к уравнению первого порядка:
Это уравнение является однородным первого порядка вида 
так как:
Выполним замену:
Тогда получим:
(*)
Уравнение получилось с разделяющимися переменными. Получим его решение, разделяя переменные, а затем интегрируя:
Получили общее решение уравнения (*). Вернемся к переменным и :
Подставив 
в общее решение, получим дифференциальное уравнение первого порядка:
где 
и 
произвольные постоянные.
Получили общее решение данного уравнения.
Ответ: 
Пример 3. Решить уравнение:
Решение. Это уравнение не содержит явно . Поэтому выполним замену:
Такая замена понижает порядок данного уравнения и приводит к дифференциальному уравнению первого порядка:
(**)
Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными, так как:
Получим его решение, разделяя переменные, а затем интегрируя:
Получили общее решение уравнения (**). Вернемся к переменным и 
Подставив 
в полученное решение, получим дифференциальное уравнение первого порядка c разделяющимися переменными:
где 
и 
произвольные постоянные.
Получили общий интеграл данного уравнения.
Ответ: 
.
Пример 4. Решить задачу Коши:
Решение. Данное уравнение не содержит явно 
Поэтому выполним замену:
Такая замена приводит к дифференциальному уравнению первого порядка:
(***)
Получили уравнение с разделяющимися переменными. Решим его, разделяя переменные, а затем интегрируя:
Получили общее решение уравнения (***). Вернемся к переменным и :
Подставив в полученное решение, получим дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными:
где 
и произвольные постоянные.
Получили общий интеграл данного уравнения. Используем начальные условия: 
чтобы найти значения и 
для частного решения данного уравнения.
Следовательно, решением задачи Коши является частное решение уравнения, получающееся из общего при подстановке в него значений 
и 
:
Ответ:
4. Примеры
Решить уравнения или задачи Коши:
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
5. Ответы
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
(или 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
Замечание. Дифференциальные уравнения вида 
не содержащие в явном виде как независимую переменную 
так и искомую функцию 
можно решать как уравнение вида 2) или 3).
§2. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка
1. Основные понятия
Определение 1. Уравнение, вида:
(1)
где 
непрерывные на промежутке 
функции, называется линейным дифференциальным уравнением (ЛДУ) второго порядка. Если 
для всех из промежутка , то уравнение (1) называют линейным однородным дифференциальным уравнением (ЛОДУ):
(2)
Если 
то уравнение (1) называют линейным неоднородным дифференциальным уравнением (ЛНДУ).
Определение 2. Две функции 
и 
называются линейно зависимыми на промежутке , если для всех
их отношение равно постоянной величине, т. е. 
В противном случае, если 
функции называются линейно независимыми на промежутке .
Определение 3. Если и 
линейно независимые решения ЛОДУ, то они образуют фундаментальную систему решений этого уравнения.
Теорема 1. Если и линейно независимые решения ЛОДУ (2) на промежутке ,то их линейная комбинация
где 
и 
произвольные постоянные, является общим решением этого уравнения.
Теорема 2. Общее решение ЛНДУ второго порядка (1) представляется в виде суммы общего решения 
соответствующего ЛОДУ (2) и любого частного решения 
ЛНДУ (1), т. е. 
общее решение ЛНДУ (1).
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 |
