Следовательно, частное решение данного ЛОДУ, удовлетворяющее заданным начальным условиям, задается функцией:
Ответ: 
Пример 5. Решить уравнение:
Решение. Это ЛНДУ третьего порядка.
1) Решим соответствующее ЛОДУ:
Его характеристическое уравнение имеет вид:
Следовательно, корнями характеристического уравнения являются числа:
Значит, функции 
составляют фундаментальную систему решений ЛОДУ. Поэтому общее решение ЛОДУ можно записать в виде:
где 
произвольные постоянные.
2) Найдем частное решение 
данного ЛНДУ. Правая часть 
Поэтому частное решение ищем в виде:
Подставим 
в данное уравнение вместо 
Отсюда следует, что 
3) Запишем общее решение данного ЛНДУ:
Ответ: 
5. Примеры
Решить уравнения и задачи Коши
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
6. Ответы
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
Глава 3. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
n-го ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
§1. Линейные дифференциальные системы n-го порядка с постоянными коэффициентами. Метод исключения
1. Основные понятия
Определение 1. Линейной дифференциальной системой n-го порядка с постоянными коэффициентами называется система вида:
(1)
где 
неизвестные функции; 
заданные числа, называемые коэффициентами; 
непрерывные функции на промежутке 
Если для всех 
то система (1) принимает вид:
(2)
и называется линейной однородной дифференциальной системой (ЛОДС).
Если для всех 
хотя бы одна из функций 
не равна нулю, то система (1) называется линейной неоднородной дифференциальной системой (ЛНДС).
Определение 2. Порядком системы называется число 
неизвестных функций, относительно которых дана система.
Определение 3. Система функций 
определенных на 
и удовлетворяющих на всем уравнениям (1), называется решением системы (1).
Определение 4. Задача нахождения 
удовлетворяющих начальным условиям:
где 
заданные числа, называется задачей Коши.
2. Метод исключения
Путем исключения неизвестных функций
систему (1) из линейных уравнений можно привести к дифференциальному уравнению n-го порядка. При этом, если система (1) была линейной неоднородной (или однородной), то и полученное уравнение относительно одной из функций, например
будет линейным неоднородным (или однородным). Метод исключения довольно трудоемкий, поэтому им можно пользоваться для 
или 
3. Примеры с решениями
Пример 1. Решить систему уравнений:
Решение. Это линейная однородная дифференциальная система второго порядка относительно функций 
Решаем ее методом исключения неизвестных.
Из первого уравнения выразим 
и подставим 
во второе уравнение:
Получим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка. Его характеристическое уравнение имеет вид:
Следовательно, фундаментальную систему решений для этого уравнения составляют функции:
Общее решение запишется в виде:
Для нахождения 
используем выражение:
Так как 
то
Тогда 
Значит, общим решением данной системы уравнений будут функции 
Пример 2. Решить систему уравнений:
Решение. Это линейная неоднородная дифференциальная система относительно 2-х неизвестных функций 
и 
Будем решать ее методом исключения.
Из первого уравнения выразим 
и подставим функцию 
во второе уравнение:
(*)
Получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение.
1) Решим сначала ЛОДУ:
Его характеристическое уравнение имеет вид:
Фундаментальную систему решений ЛОДУ составляют функции:
Тогда общее решение ЛОДУ запишется в виде:
2) Правая часть ЛНДУ (*): 
позволяет подобрать его частное решение. Так как 
то
Подставим 
вместо 
в ЛНДУ (*):
Разделим это уравнение на 
Следовательно, 
3) Запишем общее решение уравнения (*):
4) Найдем 
используя выражение: 
Так как 
то 
Находим 
Итак, общим решением системы является система двух функций:
Пример 3. Решить задачу Коши:
Решение. Это линейная неоднородная дифференциальная система относительно неизвестных функций и Будем решать ее методом исключения.
Из первого уравнения выразим 
и подставим функцию во второе уравнение:
(**)
Получим линейное неоднородное дифференциальное уравнение.
1) Решиим сначала ЛОДУ:
Его характеристическое уравнение имеет вид:
Фундаментальную систему решений ЛОДУ составляют функции:
Общее решение ЛОДУ запишется в виде:
2) Правая часть ЛНДУ 
т. е. 
Подставим в уравнение (**) вместо 
Следовательно, 
3) Запишем общее решение уравнения (**):
4) Найдем используя выражение: 
Так как 
то 
Тогда:
Итак, общим решением системы будут функции:
5) Найдем 
такими, чтобы 
удовлетворяли заданным начальным условиям:
Подставим 
в полученное общее решение системы:
При полученных значениях 
запишем частное решение системы:
4. Примеры
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10. 
5. Ответы
§2. Линейные однородные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
1. Метод Эйлера для решения ЛОДС второго порядка с постоянными коэффициентами
Пусть дана ЛОДС второго порядка:
(1)
где 
неизвестные функции, которые надо найти; 
заданные действительные числа.
Метод Эйлера для решения системы (1)
Решение (1) ищется в виде:
Получим 
и 
и подставим функции 
и 
в уравнения системы (1):
Разделим оба полученных уравнения на 
Запишем систему в виде:
(2)
Получим однородную систему с неизвестными 
и 
Чтобы эта система имела ненулевое решение, ее определитель должен быть равен нулю:
(3)
Уравнение (3) называется характеристическим уравнением системы (1), а его корни – характеристическими числами системы (1).
Различают три случая:
1) Оба корня уравнения (3) действительные и различные: 
Подставляя 
в одно из уравнений системы (2), например, в первое:
определим 
и 
с точностью до константы, откуда получим первое решение системы (1):
То же самое проводим со вторым корнем 
и в результате получим второе решение, линейно независимое на промежутке с первым:
Следовательно, общим решением системы (1) будет семейство функций:
2) Если 
два комплексно-сопряженных корня уравнения (3), тогда общее решение системы (1) в этом случае следует представить в виде:
где 
и 
произвольные постоянные, а 
и 
необходимо выразить через и 
с помощью подстановки 
и 
в одно из уравнений системы (1) –например, в первое.
3) Если 
корни уравнения (3) действительные и равные, то в этом случае общее решение системы (1) следует представить в виде:
где и произвольные постоянные, а и необходимо выразить через и с помощью подстановки и в одно из уравнений системы (1) - например, в первое.
2. Системы однородных дифференциальных уравнений более высоких порядков с постоянными коэффициентами
Рассмотрим ЛОДС n-го порядка:
, (4)
где 
неизвестные функции от переменной 
заданные действительные числа, называемые коэффициентами системы (4).
Обозначим матрицы:
Тогда система (4) может быть записана в матричной форме:
(5)
Матрица А называется матрицей системы (4). Общее решение системы (5) записывается через линейно независимых решений системы: 
следующим образом:
где 
произвольные постоянные.
Алгоритм построения общего решения системы (5)
1) Найти все собственные значения матрицы A, т. е. числа 
, удовлетворяющие уравнению:
Это уравнение имеет ровно корней с учетом их кратности.
2) Найти все линейно независимые собственные и присоединенные к ним векторы матрицы А (их всего должно быть ).
3) Найти функции 
линейно независимые решения системы (5). При этом используют следующие случаи.
а) Случай простого собственного значения
Если 
простое собственное значение матрицы А и 
соответствующий ему собственный вектор А, тогда числу в фундаментальной системе решений ЛОДС (5) соответствует функция-столбец:
б) Случай кратного собственного значения
Если кратное собственное значение матрицы А (кратности l) и 
собственный 
и присоединенные к нему линейно независимые векторы 
(
, тогда числу в фундаментальной системе решений системы (5) соответствуют функции-столбцы:
(6)
Замечание. Если 
то матрица А имеет собственное значение 
той же кратности 
, что и число . Построенные по формулам (6) функции будут в этом случае комплекснозначными. Выделив в каждой из них действительную и мнимую части, получим набор из 
действительных линейно независимых решений ЛОДС (5), отвечающих паре собственных значений 
в фундаментальной системе решений.
3. Примеры с решениями
Пример 1. Решить систему:
Решение. Это ЛОДС второго порядка. Решим по методу Эйлера:
Подставим в заданную систему:
Получим однородную систему линейных уравнений относительно и 
. Чтобы эта система имела ненулевое решение, определитель ее должен быть равен нулю:
Это характеристическое уравнение данной системы. Найдем его корни.
Значит, общее решение данной системы можно записать в виде:
где и произвольные постоянные, а и выразим через и при подстановке и в первое уравнение системы. Сначала найдем:
Подставим 
в первое уравнение данной системы:
Разделим это равенство на 
Приравнивая коэффициенты при 
и 
, получим выражения для и через и 
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 |
