Следовательно, общее решение данной системы запишется в виде:
Пример 2. Решить систему:
Решение. Приведем данную систему к нормальному виду. Для этого сначала исключим 
(*)
Теперь 
из уравнения (*) подставим в первое уравнение данной системы:
(**)
Полученные уравнения (*) и (**) составят систему в нормальном виде:
Решим эту систему методом Эйлера:
Определитель этой системы должен быть равным нулю:
Получим характеристическое уравнение данной системы. Найдем его корни:
Значит, общее решение данной системы можно записать в виде:
где 
и 
произвольные постоянные, а 
и 
выразим через и 
при подстановке 
и 
в первое уравнение системы. Для этого найдем
Подставим 
в первое уравнение данной системы:
Разделим это равенство на 
Приравнивая коэффициенты при 
и 
, получим выражения и через и 
Следовательно, общее решение данной системы запишется в виде:
Пример 3. Решить задачу Коши:
Решение. Решим систему методом Эйлера:
Подставим 
в данную систему:
Определитель полученной системы должен быть равен нулю:
Получим характеристическое уравнение данной системы. Найдем его корни.
Значит, общее решение данной системы можно записать в виде:
где и произвольные постоянные, а и выразим через и при подстановке и в первое уравнение системы.
Для этого найдем 
Подставляем в первое уравнение данной системы:
Приравнивая коэффициенты при 
и 
, получим выражения и через и
Следовательно, общее решение данной системы запишется в виде:
Найдем решение задачи Коши при начальных условиях:
Подставим в общее решение 
Значит, частным решением системы, удовлетворяющим начальным условиям, являются функции:
Пример 4. Решить систему:
Решение. Эта система третьего порядка относительно неизвестных функций
Решим ее матричным способом.
Обозначим матрицы-столбцы:
и 
и матрицу из коэффициентов системы:
Тогда данную систему можно записать в матричном виде:
1) Найдем собственные значения 
матрицы А из характеристического уравнения:
, т. е. 
2) Найдем собственные векторы А, соответствующие 
Получим ступенчатый вид Гаусса матрицы А.
Решим систему 
Пусть 
тогда 
Значит, собственный вектор 
3) Найдем присоединенные векторы 
и 
к вектору 
Получим ступенчатый вид Гаусса.
Пусть 
тогда 
Пусть 
Итак, 
первый присоединенный вектор к 
Найдем еще один присоединенный к 
вектор
:
Получим ступенчатый вид Гаусса.
Пусть 
тогда 
Пусть 
Итак, 
второй присоединенный вектор к
Векторы 
линейно независимые.
4) Построим фундаментальную систему решений данной ЛОДС.
Следовательно, общее решение ЛОДС:
где 
произвольные постоянные.
Пример 5. Решить систему:
Решение. Эта система третьего порядка относительно неизвестных функций Решим ее матричным способом.
Обозначим матрицы-столбцы:
, и матрицу из коэффициентов системы:
Тогда данную систему можно записать в матричном виде:
1) Найдем собственные значения матрицы А из характеристического уравнения:
Получим 
кратности 2 и 
2) Найдем собственные векторы А, соответствующие 
Получим ступенчатый вид матрицы А.
свободные неизвестные, 
базисная неизвестная.
Пусть 
тогда 
Итак, 
Пусть 
тогда 
Итак, 
Получим 
и 
два линейно независимых собственных вектора, соответствующие значению 
3) Найдем собственный вектор матрицы А, соответствующий 
Получим ступенчатый вид Гаусса.
Пусть 
Тогда 
свободная неизвестная, 
базисные неизвестные.
Пусть 
, тогда 
Итак, 
третий собственный вектор, соответствующий
Полученные векторы 
линейно независимые.
4) Построим фундаментальную систему решений данной ЛОДС.
Следовательно, общее решение ЛОДС:
=
где произвольные постоянные.
4. Примеры
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
Решить задачу Коши:
16.
17.
18.
19.
20. 
5. Ответы
§3. Линейные неоднородные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
1. Основные понятия
Определение. Линейной неоднородной системой дифференциальных уравнений (ЛНДС) с постоянными коэффициентами называется система вида:
(1)
где 
заданные действительные числа, 
заданные непрерывные на промежутке 
функции, из которых хотя бы одна на не равна тождественно нулю.
Теорема 1 (структура общего решения ЛНДС).
Общее решение ЛНДС (1) на промежутке представляет собой сумму общего решения соответствующей ЛОДС и какого-нибудь частного решения ЛНДС (1), т. е.
2. Метод вариации произвольных постоянных
1) Рассмотрим этот метод для решения ЛНДС 2-го порядка:
(2)
Пусть общее решение соответствующей однородной системы получено в виде:
где 
произвольные постоянные.
Будем искать частное решение ЛНДС (2) в виде:
(3)
где 
функции, которые находятся из решения системы:
Решая систему, определим 
Пусть 
и 
Интегрируя эти выражения, получим 
Подставим найденные 
в формулы (3), получим частное решение ЛНДС (2):
Тогда общее решение ЛНДС (2) запишется в виде:
2) Пусть система (1) записана в матричной форме, причем:
Тогда:
(4)
Общее решение ЛНДС (4) можно записать в виде:
где с – матрица-столбец из произвольных постоянных 
, 
частное решение ЛНДС (4), 
фундаментальная матрица, ее столбцы линейно-независимые решения ЛОДС.
По методу вариаций произвольных постоянных частное решение ЛНДС (4) запишется в виде:
где 
обратная матрица для матрицы 
Теорема 2. Пусть в формуле (4)
где 
заданное действительное число, 
матрица, составленная из многочленов степени m c постоянными коэффициентами.
Тогда ЛНДС (4) имеет частное решение вида:
(5)
где s равно кратности числа 
как корня характеристического уравнения матрицы А; 
матрица, составленная из многочленов степени m+s с неопределенными коэффициентами, которые определяются путем подстановки функции (5) в (4) вместо Y(x) и приравнивания коэффициентов при подобных членах в правой и левой частях полученного равенства.
Теорема 3. Пусть в формуле (4)
где 
заданные действительные числа, 
матрицы, составленные из многочленов степени 
соответственно с постоянными коэффициентами. Тогда ЛНДС (4) имеет частное решение вида:
(6)
где 
равно кратности числа 
как корня характеристического уравнения матрицы А, 
матрицы, составленные из многочленов степени m+s c неопределенными коэффициентами, которые определяются путем подстановки функции (6) в (4) вместо Y(x) и приравнивания коэффициентов при подобных членах в правой и левой частях полученного равенства.
3. Примеры с решениями
Пример 1. Решить систему:
Решение. Решим эту систему методом вариации произвольных постоянных.
1) Найдем общее решение соответствующей ЛОДС:
Ее характеристическое уравнение имеет вид: 
Тогда общее решение ЛОДС составляют функции:
где 
произвольные постоянные, 
постоянные, которые надо выразить через 
с помощью подстановки 
во второе уравнение ЛОДС:
Приравнивая коэффициенты при подобных членах этого равенства, получим выражения для 
через :
Итак, общее решение ЛОДС имеет вид:
2) Найдем частное решение ЛНДС по методу вариации произвольных постоянных:
(*)
Для нахождения функций 
составим систему уравнений:
где 
любая постоянная, пусть 
тогда:
где 
любая постоянная, пусть 
тогда:
Подставим 
в (*):
Упростим 
и 
:
Итак, частное решение ЛНДС составляют функции:
3) Запишем общее решение ЛНДС:
Пример 2. Решить систему:
в матричном виде.
Решение.
Обозначения: 
Тогда данная система запишется в матричном виде:
1) Сначала решим однородную систему:
Ее характеристическое уравнение:
Найдем собственные векторы для каждого собственного значения матрицы А.
Пусть 
соответствует вектор 
Тогда 
Значит: 
т. е. 
Пусть 
соответствует вектор
Тогда 
Значит: 
т. е. 
Итак, фундаментальная система решений ЛОДС:
Тогда фундаментальная матрица Ф(x) для ЛОДС имеет вид:
Следовательно, общее решение ЛОДС запишется в виде:
где 
и 
– произвольные постоянные.
2) Методом вариации произвольных постоянных найдем частное решение ЛНДС:
Тогда
Вычислим
Значит:
Вычислим интегралы:
В результате получим:
Получили частное решение ЛНДС:
Следовательно, можно записать общее решение ЛНДС:
Пример 3. Решить систему:
Решение.
1) Решим соответствующую ЛОДС:
Ее характеристическое уравнение имеет вид: 
Пусть общим решением ЛОДС будут функции:
где произвольные постоянные, постоянные, которые надо выразить через с помощью подстановки 
в первое уравнение ЛОДС:
Приравняем коэффициенты при 
и 
Следовательно, общее решение ЛОДС составляют функции:
2) Найдем частное решение ЛНДС методом неопределенных коэффициентов.
где 
матрица-столбец из многочленов первой степени (m=1).
Подставляя 
,
,
,
в заданную систему (ЛНДС) и приравнивая в полученных равенствах коэффициенты при подобных слагаемых, получим систему относительно неизвестных 
,
,,
:
Разделим оба уравнения на 
3) Следовательно, общее решение данной ЛНДС составят функции:
Пример 4. Решить систему:
Решение. В данной системе неизвестных функций три:
1) Найдем общее решение соответствующей однородной системы:
Ее характеристическое уравнение имеет вид:
кратности 2
Пусть 
фундаментальная система решений ЛОДС.
Тогда общее решение ЛОДС можно записать следующим образом:
где ,,
произвольные постоянные.
Итак, общее решение ЛОДС составляют три функции:
2) Найдем частное решение ЛНДС методом неопределенных коэффициентов.
Отсюда следует, что частное решение ЛНДС будем подбирать следующим образом:
где 
и 
неизвестные матрицы-столбцы из различных чисел.
Найдем и 
подставляя в ЛНДС.
Так как 
то
Значит, частное решение ЛНДС найдено:
3) Запишем общее решение ЛНДС:
Пример 5. Решить задачу Коши:
Решение.
1) Решим соответствующую ЛОДС:
Ее характеристическое уравнение имеет вид:
Если 
, то 
Если 
, то 
Тогда 
Общее решение ЛОДС запишется в виде:
Следовательно, общее решение ЛОДС составляют функции:
где и произвольные постоянные.
2) Найдем частное решение ЛНДС.
Так как 
то
Подставим 
и 
в ЛНДС (матричного вида):
(*)
где 
,
Пусть 
тогда 
(**)
Пусть
тогда 
Значит, 
Частное решение ЛНДС запишется в виде:
3) Следовательно, общее решение ЛНДС задается двумя функциями:
4) Найдем решение задачи Коши. Подставим условия 
в общее решение:
Найденные значения 
подставим в общее решение:
решение задачи Коши.
4. Примеры
Решить ЛНДС методом неопределенных коэффициентов:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
Решить ЛНДС методом вариации:
16.
17.
18.
Решить задачу Коши:
19.
20.
5. Ответы
11.
Учебное издание
РУДАКОВСКАЯ Елена Георгиевна
РУШАЙЛО Маргарита Федоровна
РИГЕР Татьяна Викторовна
ХЛЫНОВА Татьяна Вячеславовна
КАЗАНЧЯН Манушак Сережаевна
СИТИН Артем Геннадьевич
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
И СИСТЕМЫ (ПРИМЕРЫ И ЗАДАЧИ)
Редактор
Подписано в печать 01.06.2013 г. Формат 60х84 1/16.
Усл. печ. л. 6.63. Уч.-изд. л. 6,45. Тираж 1000 экз. Заказ
Российский химико-технологический университет им.
Издательский центр
Адрес университета и издательского центра:
Москва, Миусская пл., 9
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 |
