Общие требования.
Студент должен освоить основные понятия курса: функция и ее основные свойства; последовательность и ее свойства; предел числовой последовательности, предел функции в точке, производная и дифференциал функции в точке. Студент должен знать графики базисных элементарных функций, владеть техникой вычисления пределов последовательностей и функций, техникой дифференцирования, уметь применять основные теоремы дифференциального исчисления для исследования функций и построения графиков функций, решения экстремальных задач.
Основные виды задач.
1. Элементарное исследование функций (область определения, множество значений, четность-нечетность, периодичность)
2. Вычисление пределов функций и последовательностей.
3. Исследование функций на непрерывность, нахождение асимптот графика функции.
4. Вычисление производных и дифференциалов функции одной переменной.
5. Нахождение производных и дифференциалов высших порядков.
6. Нахождение приближенных значений функции в точке с помощью дифференциала, с помощью формулы Тейлора.
7. Исследование функции на монотонность и ограниченность с помощью производной.
8. Исследование функции на выпуклость и точки перегиба с помощью второй производной.
9. Полное исследование и построение графика функции.
10. Решение экстремальных задач.
Более детально требования к уровню освоения материала изложены в следующей таблице.
Список требований
№ | Тема | Основные требования Студент должен: |
1 | Множества и операции над ними, их свойства. Основные числовые множества: N, Z, Q, I, R. | Знать определения основных операций над множествами, основных числовых множеств. Уметь доказывать принадлежность числа соответствующему числовому множеству; доказывать равенства или включения числовых множеств; находить объединение, пересечение, разность, дополнение числовых множеств. |
2 | Понятие отображения, область определения и множество значений отображения. Мощность множества, счетные и несчетные множества | Знать определения равномощных множеств, счетных и несчетных множеств. Уметь находить область определения и множество значений для заданных отображений; устанавливать равномощность множеств в простейших случаях. |
3 | Геометрическая интерпретация множества R. Расширенная числовая прямая. Ограниченность числовых множеств, понятие верней и нижней граней множества. Теорема о существовании верхней (нижней) грани. Окрестности точек расширенной числовой прямой. | Знать определения основных числовых промежутков на числовой прямой; точной верхней (нижней) грани; ограниченного множества. Уметь записывать окрестности любой точки произвольного радиуса; исследовать числовые множества на ограниченность. |
4 | Понятие числовой функции. Область определения, множество значений функции. Ограниченность функции, четность, нечетность, периодичность, монотонность. Обратимая, обратная и сложная функции. Элементарные функции и их графики. | Знать определения функции, равных функций, основных свойств функций, обратимой и обратной функций, сложной функции; знать графики и свойства базисных элементарных функций. Уметь находить область определения элементарной функции, исследовать функции на четность-нечетность, периодичность, ограниченность; составлять композиции функций, находить обратную к заданной функции, если она существует. |
5 | Числовая последовательность, операции над числовыми последовательностями. Монотонность и ограниченность последовательности. Теорема о вложенных отрезках. Предел числовой последовательности, бесконечно малые (б. м.) и бесконечно большие (б. б.) последовательности. Свойства б. м. и б. б. последовательностей. | Знать определения числовой последовательности, ее основных свойств, бесконечно малой и бесконечно большой последовательностей; предела числовой последовательности. Уметь исследовать последовательность на монотонность и ограниченность, доказывать, что последовательность является б. м. или б. б. по определению и с использованием основных теорем. |
6 | Сходящиеся и расходящиеся последовательности, основные свойства пределов сходящихся последовательностей. | Знать определения сходящейся и расходящейся последовательностей, основные свойства пределов сходящихся последовательностей. Уметь находить пределы последовательностей, применяя основные свойства пределов. |
7 | Подпоследовательности, частичный предел. Теорема Больцано-Вейерштрасса. Фундаментальные последовательности, критерий Коши. Число е. | Знать определения фундаментальной последовательности; подпоследовательности, частичного предела; теоремы о связи предела последовательности с ее частичными пределами, второй замечательный предел. Уметь выделять из последовательности различные подпоследовательности, применять второй замечательный предел при вычислении пределов последовательностей. |
8 | Предел функции по Коши и по Гейне. Понятия бесконечно малой, бесконечно большой функции в точке. Свойства функций, имеющих предел. Предельный переход в неравенствах. Существование предела монотонной ограниченной функции. Односторонние пределы. Сравнение бесконечно малых. Два замечательных предела. | Знать определения предела функции по Коши и по Гейне; односторонних пределов; свойства функций, имеющих предел. Уметь вычислять пределы функций, используя свойства пределов, замечательные пределы, и свойства эквивалентных бесконечно малых функций. |
9 | Непрерывность функции в точке. Точки разрыва. Классификация точек разрыва. Арифметические действия над непрерывными функциями*. Непрерывность сложной функции, непрерывность элементарных функций. | Знать определения непрерывности справа слева в точке, непрерывности в точке; классификацию точек разрыва. Уметь исследовать функции на непрерывность. |
10 | Свойства функций, непрерывных на отрезке. Теорема Вейерштрасса. Первая и вторая теоремы Больцано-Коши. Теорема о неподвижной точке. Теорема о непрерывности обратной функции. Равномерная непрерывность. Теорема Кантора. | Знать формулировки теорем о функциях, непрерывных на отрезке; определение равномерно непрерывной на множестве функции. Уметь применять теоремы о непрерывных функциях к доказательству существования корней уравнения, находить этот корень приближенно с заданной точностью. |
11 | Производная функции в точке, ее геометрический и механический смыслы. Дифференцируемость функции в точке. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости. Непрерывность дифференцируемой функции. Правила дифференцирования. Производная сложной и обратной функций. Таблица простейших производных. | Знать определения производной и дифференциала, их геометрический смысл; Правила дифференцирования суммы, произведения, частного функций, сложной и обратной функции; таблицу простейших производных. Уметь находить производную и дифференциал любой элементарной функции; решать простейшие задачи на геометрический и механический смысл производной. |
12 | Производные параметрически заданной функции и неявной функции. Дифференциал первого порядка, его геометрический смысл. Инвариантность формы первого дифференциала. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница. Примеры функций в экономике: функции издержек, спроса, производственные функции одной переменной. | Знать определение дифференциала первого порядка, определение производной и дифференциала высших порядков. Уметь находить производные первого и второго порядков параметрически заданной функции и неявно заданной функции. Уметь находить по формуле Лейбница производные высших порядков произведения двух функций. |
13 | Основные теоремы дифференциального исчисления. Правила Лопиталя. Формула Тейлора* (Маклорена). Разложение по формуле Маклорена некоторых элементарных функций. Применение формулы Тейлора для приближенных вычислений. | Знать формулировки теорем Ролля, Лагранжа и Коши; правила Лопиталя; формулу Тейлора; разложения по формуле Маклорена основных пяти функций. Уметь раскрывать неопределенности, применяя правило Лопиталя; находить разложения по формуле Тейлора, используя известные разложения и теорему Тейлора; применять формулу Тейлора для приближенных вычислений. |
14 | Признаки возрастания и убывания функции. Понятия локального и глобального экстремума. Необходимые и достаточные условия экстремума. Направления выпуклости вверх (вниз) графика функции. Тока перегиба. Достаточные условия выпуклости и точки перегиба. Простейшие экстремальные задачи. Асимптоты графика функции. Исследование и построение графиков функций. | Знать определения локального и глобального экстремумов; выпуклости вверх (вниз) графика функции; точки перегиба; асимптоты графика функции; формулировки достаточных условий монотонности, точки экстремума; выпуклости; точки перегиба. Уметь проводить полное исследование функции и выполнять по нему эскизирование графика функции. |
3. Список литературы
Основная литература:
1. Берман задач по курсу математического анализа. – М.: Наука, 1985.
2. и др. Математика. Общий курс. – CПб.: Лань, 2002.
3. , , Кожевникова математика в упражнениях и задачах. Часть I. – М.: Высшая школа, 1986.
4. Зорич анализ т.1; М: Наука, 1984г.
5. Кудрявцев курс математического анализа. Т.1. ‑ Висагинас, «Alfa», 1998.
6. Общий курс высшей математики для экономистов: Учебник / Под ред. В. И.. Ермакова. – М.: ИНФРА-М, 2001.
7. Осипов анализ. Ч 1.Введение в анализ. Предел и непрерывность вещественных функций вещественной переменной. Изд-во НГПУ, 2003г.
8. Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учебное пособие / Под ред. . – М.: ИНФРА-М, 2002.
9. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике. Часть 1/ , и др. – Минск: Выш. Шк., 1991.
10. Шипачев по высшей математике: Учебное пособие для вузов. – М.: Высшая школа, 2001.
11. Шипачев высшей математики: Учебник. – М.: ТК Велби, ПРОСПЕКТ, 2004.
12. Ярахмедов анализ. Введение в математический анализ.- Новосибирск, 1992г.
13. Ярахмедов анализ. Одномерное дифференциальное исчисление. – Новосибирск, 1992г.
Дополнительная литература:
1. , , Чубариков по математическому анализу, М: Высшая школа, 1999г.
2. , , Садовничий и упражнения по математическому анализу. М: ,Высшая школа т.1, 2 2000г.
3. Демидович задач и упражнений по математическому анализу, М:Наука, 1969г.
4. , Позняк математического анализа ч.1, М: Наука, 1980г.
5. , , Сендов анализ т.1, Изд-во МГУ, 1977г.
6. Решетняк математического анализа ч.1,книга 1, Новосибирск, Изд-во института математики, 1999г.
7. Фихтенгольц дифференциального и интегрального исчисления т.1, М: Наука, 2004г.
4. Контрольно-измерительные материалы
В первом семестре предусмотрены следующие контрольные мероприятия: контрольная работа №1 (четвертая неделя октября); коллоквиум (середина ноября); вторая контрольная работа (третья неделя декабря); зачет; экзамен. По желанию преподавателя студентам могут быть предложены индивидуальные домашние задания (ИДЗ 6.1 ‑ ИДЗ 6.4) по пособию (9) из списка обязательной литературы.
Контрольная работа № 1
Вариант 1
1. Исследовать множество А на ограниченность
2. Найти область определения функции 
3. Выяснить, обратима ли функция 
. Если да, то найти обратную к ней функцию.
4. Исследовать функции на периодичность: 
5. Cоставить композиции 
, если 
6*. Найти образ и прообраз множества 
относительно отображения f.
Вариант 2
1. Исследовать множество А на ограниченность
2. Найти область определения функции 
3. Выяснить, обратима ли функция . Если да, то найти обратную к ней функцию.
4. Исследовать функции на периодичность 
5. Cоставить композиции , если 
6*. Найти образ и прообраз множества 
относительно отображения .
Критерии оценивания работ. За любые пять правильно решенных задач ставится отметка «5». За четыре правильно решенных – «4», за три – «3». Если решено менее трех задач, то ставится отметка «2».
Вопросы к коллоквиуму по математическому анализу
1. Понятие множества и его элемента. Отношения «
» и «=», их свойства. Пустое и универсальное множества. Способы задания множеств.
2. Операции над множествами их свойства.
3. Основные числовые множества. Аксиоматика множества R.
4. Понятие отображения. Способы задания отображений. Область определения и множество значений отображения. Виды отображений. Образы и прообразы точек при отображении.
5. Мощность множества. Счетные множества. Несчетные множества. Несчетность множеств R, 
.
6. Понятия верхней и нижней граней числового множества, наименьшего и наибольшего элемента множества. Ограниченность множеств, примеры.
7. Точные верхняя и нижняя грани множеств, их характеристические свойства. Теорема о существовании точной верхней (точной нижней) грани непустого ограниченного сверху множества.
8. Расширенная числовая прямая, операции и отношения в 
. Понятие окрестности точки в . Проколотые окрестности.
9. Числовая функция. Равенство функций. График функции. Способы задания функций. Примеры. Нестандартные функции и их графики.
10. Образы и прообразы точек и множеств относительно заданных числовых функций. Графический и аналитический способы отыскания образов и прообразов точек и множеств.
11. Четные и нечетные функции, их графики. Периодические функции, основной период. Построить отрицания определений, привести примеры.
12. Определения обратимой и обратной функций. Примеры. Алгоритм отыскания обратной функции. Достаточное условие обратимости функции.
13. Композиция функций. Некоммутативность, ассоциативность операции композиции. Примеры.
14. Монотонные функции. Разные типы монотонности. Связь монотонности и обратимости.
15. Класс элементарных функций. Графики и основные свойства базисных элементарных функций. Элементарные функции в экономике.
16. Ограниченные и неограниченные функции, их графики. Примеры.
17. Числовая последовательность(ч. п.) График ч. п. Операции над числовыми последовательностями. Монотонность и ограниченность ч. п. Построить отрицание этих определений. Теорема о вложенных отрезках.
18. Предел ч. п., его геометрическая интерпретация. Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности. Примеры.
19. Свойства бесконечно больших и бесконечно малых последовательностей.
20. Сходящиеся ч. п., их свойства. Арифметические операции над пределами.
21. Свойства пределов ч. п., связанные с неравенствами.
22. Необходимое и достаточное условие сходимости монотонной последовательности.
23. Число e.
Контрольная работа № 2
Вариант 1
1. Исследовать функцию на непрерывность:
2. Вычислить пределы.
a) 
3. Найдите на графике функции 
все точки, в которых касательные, проведенные к графику, параллельны прямой y=0,5x-6.
Вариант 2
1. Исследовать функцию на непрерывность:
2. Вычислить пределы.
a) 
3. Найдите на графике функции 
все точки, в которых касательные, проведенные к графику, параллельны прямой y=-0,5x-6.
Примерный список вопросов к экзамену
1. Понятие множества и его элемента. Отношения «» и «=», их свойства. Пустое и универсальное множества. Способы задания множеств.
2. Операции над множествами, их свойства.
3. Основные числовые множества. Аксиоматика множества R.
4. Расширенная числовая прямая, операции и отношения в . Понятие окрестности точки в . Проколотые окрестности.
5. Понятия верхней и нижней граней числового множества, наименьшего и наибольшего элемента множества. Ограниченность множеств, примеры. Теорема о существовании точной верхней (точной нижней) грани непустого ограниченного сверху (снизу) множества.
6. Понятие отображения. Числовая функция. Равенство функций. График функции. Способы задания функций. Примеры. Нестандартные функции и их графики. Образы и прообразы точек и множеств относительно заданных числовых функций. Графический и аналитический способы отыскания образов и прообразов точек и множеств. Виды отображений.
7. Монотонные функции. Разные типы монотонности. Монотонные последовательности. Ограниченные и неограниченные функции, их графики. Примеры. Четные и нечетные функции, их графики. Периодические функции, основной период. Построить отрицания определений, привести примеры.
8. Композиция функций. Некоммутативность, ассоциативность операции композиции. Примеры. Определения обратимой и обратной функций. Примеры. Алгоритм отыскания обратной функции. Достаточное условие обратимости функции.
9. Класс элементарных функций. Графики и основные свойства базисных элементарных функций. Элементарные функции в экономике.
10. Числовая последовательность. График числовой последовательности. Операции над числовыми последовательностями. Монотонность и ограниченность последовательности. Построить отрицания этих определений. Теорема о вложенных отрезках.
11. Предел числовой последовательности, его геометрическая интерпретация. Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности. Примеры. Свойства бесконечно больших и бесконечно малых последовательностей.
12. Сходящиеся числовые последовательности, их свойства. Арифметические операции над пределами.
13. Свойства пределов числовых последовательностей, связанные с неравенствами.
14. Необходимое и достаточное условие сходимости монотонной последовательности.
15. Число e.
16. Предел функции в точке по Гейне и по Коши. Геометрический смысл предела. Понятия левого и правого пределов функции в точке. Связь односторонних пределов с пределом функции в точке.
17. Основные теоремы о пределах функций. Доказать одну из них с помощью определения по Гейне.
18. Первый замечательный предел, его следствия.
19. Второй замечательный предел, его следствия.
20. Бесконечно большие и бесконечно малые функции в точке. Сравнение бесконечно малых функций.
21. Непрерывность функции в точке. Односторонняя непрерывность. Теоремы о непрерывности суммы, разности, произведения, частного, композиции непрерывных функций. Теорема о непрерывности обратной функции.
22. Точки разрыва функции, их классификация.
23. Теорема о сохранении знака непрерывной функции. Доказать, что функция, непрерывная в точке х=а, ограничена в некоторой окрестности этой точки.
24. Функции, непрерывные на отрезке. Доказать, что функция, непрерывная на отрезке, ограничена на нем и достигает своих крайних значений (первая и вторая теоремы Вейерштрасса).
25. Функции, непрерывные на отрезке. Доказать теоремы о промежуточных значениях. (Первая и вторая теоремы Больцано-Коши).
26. Производная функции в точке, ее геометрический и физический смысл. Уравнения касательной и нормали.
27. Дифференцируемость функции в точке. Необходимое и достаточное условия дифференцируемости.
28. Понятия правой и левой производных функции в точке. Связь непрерывности и дифференцируемости.
29. Дифференциал функции в точке, его геометрический смысл. Применение дифференциала для приближенных вычислений.
30. Правила дифференцирования.
31. Производная обратной функции. Производная сложной функции.
32. Таблица простейших производных. Доказать, что 
33. Производные высших порядков. Формула Лейбница. Вывести формулу для 
. Найти производную 15-го порядка функции 
.
34. Основные теоремы дифференциального исчисления. Доказать теоремы Ферма и Ролля.
35. Основные теоремы дифференциального исчисления. Доказать теоремы Лагранжа и Коши.
36. Раскрытие неопределенностей. Доказать правило Лопиталя для случая 
Показать, что остальные неопределенности могут быть сведены к двум основным.
37. Формула Тейлора.
38. Формулы Тейлора-Маклорена для основных элементарных функций. Применения формул Тейлора для приближенных вычислений, для нахождения пределов.
39. Применение производной для исследования функций. Достаточное условие монотонности функции.
40. Применение производной для исследования функций. Необходимое условие локального экстремума. Достаточное условие локального экстремума.
41. Применение производной для исследования функций. Достаточное условие выпуклости вверх (вниз) функции. Необходимое и достаточное условия точки перегиба.
42. Общая схема исследования функции.
II семестр
1. Формы проведения занятий и контрольных мероприятий
Основными формами проведения занятий являются лекции, практические занятия и самостоятельная работа студентов.
Текущий контроль в течение семестра осуществляется посредством оценки выполнения еженедельных домашних работ, защит индивидуальных заданий, а также при проведении аудиторных контрольных работ. Итоговый контроль предполагает экзамен в конце семестра.
2. Содержание дисциплины
Во втором семестре излагается интегральное исчисление функции одной переменной, теория рядов, дифференциальное исчисление функций нескольких переменных.
Тематический план
№ | Тема | Лекции | Лабор. зан. | Сам. раб. |
1 | Неопределенный интеграл. Определение и простейшие свойства. Таблица неопределенных интегралов. Замена переменных в неопределенном интеграле. Интегрирование по частям. | 2 | 2 | 6 |
2 | Интегрирование дробно-рациональных функций. | 2 | 2 | 4 |
3 | Интегрирование некоторых иррациональных и тригонометрических функций. | 2 | 2 | 2 |
4 | Определение определенного интеграла от ограниченной функции. Критерий интегрируемости функций. Классы интегрируемых функций. | 2 | 2 | 2 |
5 | Свойства определенного интеграла. Теоремы о среднем. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле. | 2 | 2 | 4 |
6 | Приложения определенного интеграла: вычисление площади криволинейной трапеции, вычисление площади криволинейного сектора, Вычисление объема тела вращения и длины дуги кривой. | 2 | 2 | 6 |
7 | Несобственный интеграл. Сходимость и расходимость несобственных интегралов. Признак сравнения для несобственных интегралов. | 2 | 2 | 3 |
8 | Определения числового ряда, сходящегося и расходящегося ряда. Критерий Коши сходимости ряда. Необходимое условие сходимости ряда. Признаки сходимости знакопостоянных рядов: сравнения, Даламбера, Коши, интегральный. | 2 | 2 | 4 |
9 | Знакочередующиеся ряды. Абсолютная и условная сходимость. Признак Лейбница. Признаки Абеля и Дирихле. Теорема о перестановке членов абсолютно сходящегося ряда. Теорема Римана. | 2 | 2 | 2 |
10 | Функциональные последовательности и ряды. Поточечная и равномерная сходимости рядов. Теорема Вейершрасса о равномерной и абсолютной сходимости ряда. Степенной ряд, его радиус и интервал сходимости. | 2 | 2 | 4 |
11 | Почленное дифференцирование и интегрирование рядов. Разложение элементарных функций в степенные ряды | 2 | 2 | 3 |
12 | Пространство | 2 | 2 | 3 |
13 | Предел функции нескольких переменных в точке. Непрерывность ф. н.п. в точке и на множестве. Теоремы о свойствах функций, непрерывных на замкнутом, ограниченном множестве. | 2 | 2 | 3 |
14 | Частные производные ф. н.п. Дифференциал первого порядка ф. н.п. Дифференцируемость ф. н.п. Касательная плоскость и нормаль к поверхности в трехмерном пространстве. Производная сложной функции. Производная по направлению. Градиент. | 2 | 2 | 4 |
15 | Частные производные высших порядков. Дифференциалы ф. н.п. высших порядков. Формула Тейлора для ф. н.п. с остаточным членом в форме Пеано и Лагранжа. | 2 | 2 | 3 |
16 | Локальный экстремум ф. н.п.. Необходимые и достаточные условия локального экстремума. Наибольшее и наименьшее значение ф. н.п. в заданной замкнутой области. | 2 | 2 | 4 |
17 | Неявная функция. Теорема о неявной функции. Условный локальный экстремум: необходимое условие локального экстремума. Метод неопределенных множителей Лагранжа. | 2 | 2 | 3 |
Итого | 34 | 34 | 60 |
. Окрестность точки в Требования к уровню усвоения дисциплины
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 |
