Учебная программа курса «Математический анализ» (стр. 1 )

Федеральное агентство по образованию Российской федерации

ГОУ ВПО «Новосибирский государственный педагогический университет»

Математический факультет

УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА КУРСА

«Математический анализ»

по специальности 061800 «Математические методы в экономике»

Код стандарта: ЕН. Ф.01

Кафедра:	18
Курс	1-2
семестр:	1-3
Распределение часов:
Лекции:	102
Практические занятия	34
Лабораторные занятия	68
Самостоятельная работа	176
Зачетные мероприятия
Зачет	1
Экзамен	1, 2, 3
Курсовая работа	4
Всего часов по уч. плану	312

Разработчик: к. п. н., доцент

Утверждено на заседании кафедры

от «23» апреля 2007 г.

Протокол № 6

Зав. кафедрой _________

Новосибирск 2007 г.

1. Выписка из ГОС

ЕН. Ф.01

Математический анализ Множества. Окрестность точки. Функциональная зависимость. Предел числовой последовательности. Предел функции. Эквивалентные функции. Непрерывность функции в точке. Числовые множества и последовательности. Непрерывные функции. Производная и дифференциал. Дифференцируемые функции. Выпуклость функции. Неопределенный, определенный и несобственные интегралы. Функции нескольких переменных. Приложения к общей экономической теории. Кратные интегралы. Неявная функция. Выпуклые функции. Функциональные последовательности и ряды. Степенные ряды. Дифференциальные уравнения. Обыкновенные разностные уравнения.

312

2. Пояснительная записка

В соответствии с государственным образовательным стандартом математическая подготовка будущего математика-экономиста в течение первых 3-х семестров обучения состоит из изучения базовых математических дисциплин. Наибольшую нагрузку из этих дисциплин несет курс математического анализа, поскольку он содержит в себе основы многих теоретических вопросов других дисциплин, а также обоснование теоретических вопросов, возникающих в дисциплинах, связанных с применениями математических методов в экономике. Приложения математического анализа применяются в ряде экономических дисциплин.

Будущий математик-экономист должен обладать достаточно высокой математической культурой, иметь развитое математическое мышление, владеть математическим языком, уметь корректно выражать, и аргументированно обосновывать положения предметной области знания. Курс математического анализа имеет общеобразовательное и прикладное значение, содержит богатый материал для формирования диалектического мышления студентов.

Все вышесказанное обосновывает необходимость глубокого изучения курса математического анализа для формирования математического образование будущего математика-экономиста

Настоящая программа определяет объем знаний по разделам математического анализа, необходимый для математиков-экономистов. Программа реализуется в соответствии с государственным стандартом Министерства образования Российской Федерации в рамках объема часов, отведенных на лекции, практические занятия и самостоятельную работу. Контрольные мероприятия (контрольные работы, индивидуальные задания, коллоквиумы, зачеты, экзамены и т. д.) проводятся согласно графику учебного процесса.

Цели дисциплины

Преподавание дисциплины «Математический анализ» имеет цели:

‑ сформировать у студентов знания разделов математического анализа, а также умения и навыки решения задач и проведения простейших доказательств, необходимые для изучения таких математических курсов, как теория вероятностей, математические методы исследования операций, а также ряда экономико-математических дисциплин; для написания курсовых и дипломных работ;

‑ ознакомить студентов с основами математического аппарата, необходимого для решения теоретических и практических задач экономики;

‑ привить студентам умение самостоятельно работать с математической литературой;

‑ развить логическое и алгоритмическое мышление;

‑ воспитать умение строго излагать свои мысли;

‑ выработать у студентов навыки к математическому исследованию прикладных вопросов: умение перевести прикладную (экономическую) задачу на математический язык; с помощью математических методов решить ее; дать экономическую трактовку полученных результатов.

3. Требования к уровню освоения содержания дисциплины.

Общие требования

Специалист должен:

-  владеть культурой мышления, уметь в письменной и устной речи кратко, последовательно и логично оформлять и излагать изучаемый учебный материал по математическому анализу;

-  уметь анализировать собственную деятельность с целью ее совершенствования и повышения своей квалификации;

-  уметь использовать математический аппарат и математические методы при изучении и количественном описании реальных процессов и явлений, в том числе экономических;

-  иметь целостное представление о математике как науке, ее месте в современном мире и системе наук, о ее взаимосвязях с экономическими науками.

Частные требования

Студент, изучивший курс математического анализа, должен:

-  владеть основными идеями и понятиями математического анализа;

-  владеть понятием функции, уметь находить области определения функций;

-  уметь представлять функцию в виде композиции функций, находить области определения композиции функций;

-  уметь исследовать функции на четность, нечетность, периодичность, монотонность;

-  уметь исследовать функции на возрастание, убывание;

-  уметь исследовать функции на выпуклость, вогнутость;

-  знать понятие предела функции, предела числовой последовательности;

-  уметь находить пределы функций, пределы числовых последовательностей, используя алгебраические свойства предела функции, предела последовательности;

-  уметь использовать порядковые свойства предела функции, предела последовательности;

-  знать определение точек разрыва функции, определение односторонних пределов функции, связь существования односторонних пределов с существованием предела функций;

-  уметь исследовать функции на непрерывность;

-  знать роль и место замечательных пределов в процедуре нахождения пределов функций;

-  знать свойства функций, непрерывных на отрезке;

-  знать определение дифференцируемости функции в точке и связь между дифференцируемостью функции в точке и существованием производной функции в точке;

-  знать определение дифференциала функции в точке; уметь применять понятие дифференциала к приближенным вычислениям;

-  знать определение производной функции в точке, ее геометрический смысл, уметь составлять уравнения касательных к кривой в точке.

-  уметь находить производные элементарных функций;

-  знать правило Лопиталя и уметь его применять к нахождению пределов функций;

-  знать формулу Тейлора и ее приложения: разложение функций по формуле Тейлора, исследование рядов на сходимость, исследование функций на минимум, максимум, нахождение пределов функций;

-  знать определение и свойства показательной, логарифмической, степенной, тригонометрических и обратных тригонометрических функций, уметь строить их графики;

-  знать схему исследования функции и построения графиков и уметь ее применять при построении графиков функций;

-  уметь строить графики кривых в полярной системе координат;

-  знать понятие неопределенного интеграла, основные приемы и методы вычисления интегралов: табличный, способ подстановки, интегрирование по частям;

-  знать определение и свойства определенного интеграла, основные способы вычисления определенных интегралов;

-  уметь применять аппарат интегрального исчисления к вычислению различных физических и механических величин;

-  знать определения понятий ряда, суммы ряда; сходящегося и расходящегося ряда;

-  знать основные признаки сходимости числовых рядов;

-  знать понятие условной и абсолютной сходимости ряда и связь между ними;

-  знать основные сведения о степенных рядах, формулу для нахождения радиуса сходимости степенного ряда;

-  знать теоремы о почленной дифференцируемости и почленной интегрируемости степенного ряда, теорему о единственности разложения функции в степенной ряд;

-  знать разложение функций e x, sin x, cos x, ln (1 + x), (1 + x) a в степенные ряды, уметь применять эти разложения для нахождения разложения функций в степенные ряды;

-  знать определение функции нескольких переменных; уметь находить ее область определения;

-  знать определение непрерывности и дифференцируемости функции нескольких переменных и основные правила дифференцирования;

-  знать теорему о дифференцируемости сложной функции;

-  знать определение понятия частной производной, связь между существованием частных производных и дифференцируемостью функции в точке;

-  знать достаточные условия дифференцируемости функции нескольких переменных, условия независимости частных производных от порядка дифференцирования;

-  уметь исследовать функции нескольких переменных на экстремум и уметь обосновывать характер точек экстремума;

-  знать определение, основные свойства двойного и тройного интегралов;

-  уметь сводить кратный интеграл к повторным для вычисления кратных интегралов;

-  уметь применять кратные интегралы к вычислению площадей фигур, объемов тел, площадей поверхностей, вычислению физических и механических величин;

-  знать определение обыкновенных дифференциальных уравнений первого и второго порядков, их решений.

-  уметь решать дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными, однородные, линейные, уравнения Бернулли, уравнения в полных дифференциалах;

-  уметь решать линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

4. Объем и виды учебной работы

Виды учебной работы	Всего часов	Семестры
I 18	II 17	III 18
Общая трудоемкость курса	380	128	128	124
Аудиторные занятия	204	68	68	68
Лекции	102	34	34	34
Практические занятия	34	-	-	34
Лабораторные занятия	68	34	34	-
Самостоятельная работа	176	60	60	56

I семестр

1. Формы проведения занятий и контрольных мероприятий

Основными формами проведения занятий являются лекции, практические занятия и самостоятельная работа студентов.

Текущий контроль в течение семестра осуществляется посредством оценки выполнения еженедельных домашних работ, защит индивидуальных заданий, а также при проведении аудиторных контрольных работ. Итоговый контроль предполагает зачет и экзамен в конце семестра.

2. Содержание дисциплины

Курс математического анализа первого семестра включает небольшую вводную часть (сведения о множествах и свойства основных числовых множеств), подробное освещение элементарных функций, их свойств и графиков, а также классические разделы математического анализа: теорию пределов, дифференциальное исчисление функций одной переменной.

Тематический план

№	Тема	Лекции	Лабор. зан.	Сам. раб.
1	Множества и операции над ними, их свойства. Основные числовые множества: N, Z, Q, I, R.	3	2	4
2	Понятия отображения, области определения и множества значений отображения. Мощность множества, счетные и несчетные множества	2	2	3
3	Геометрическая интерпретация множества R. Расширенная числовая прямая. Ограниченность числовых множеств, понятия верней и нижней граней множества. Теорема о существовании верхней (нижней) грани. Окрестности точек расширенной числовой прямой.	2	2	3
4	Понятие числовой функции. Область определения, множество значений функции. Ограниченность функции, четность, нечетность, периодичность, монотонность. Обратимая, обратная и сложная функции. Элементарные функции и их графики.	2	3	6
5	Числовая последовательность, операции над числовыми последовательностями. Монотонность и ограниченность последовательности. Теорема о вложенных отрезках. Предел числовой последовательности, бесконечно малые (б. м.) и бесконечно большие (б. б.) последовательности. Свойства б. м. и б. б. последовательностей.	3	3	4
6	Сходящиеся и расходящиеся последовательности, основные свойства пределов сходящихся последовательностей.	2	2	4
7	Подпоследовательности, частичный предел. Теорема Больцано-Вейерштрасса. Фундаментальные последовательности, критерий Коши. Число е.	2	2	2
8	Предел функции по Коши и по Гейне. Понятия бесконечно малой, бесконечно большой функции в точке. Свойства функций, имеющих предел. Предельный переход в неравенствах. Существование предела монотонной ограниченной функции. Односторонние пределы. Сравнение бесконечно малых функций. Два замечательных предела. Эквивалентные бесконечно малые.	4	4	4
9	Непрерывность функции в точке и на множестве. Точки разрыва. Классификация точек разрыва. Арифметические действия над непрерывными функциями. Непрерывность сложной функции, непрерывность элементарных функций.	3	3	6
10	Свойства функций, непрерывных на отрезке. Теорема Вейерштрасса. Первая и вторая теоремы Больцано-Коши. Теорема о неподвижной точке. Теорема о непрерывности обратной функции. Равномерная непрерывность. Теорема Кантора.	2	1	4
11	Производная функции в точке, ее геометрический и механический смыслы. Дифференцируемые в точке функции. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости. Непрерывность дифференцируемой функции. Правила дифференцирования. Производная сложной и обратной функций. Таблица простейших производных.	2	2	3
12	Производные параметрически заданной функции и неявной функции. Дифференциал первого порядка, его геометрический смысл. Инвариантность формы первого дифференциала. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница. Примеры функций в экономике: функции издержек, спроса, производственные функции одной переменной.	2	2	3
13	Основные теоремы дифференциального исчисления. Правило Лопиталя. Формула Тейлора (Маклорена). Разложение по формуле Маклорена некоторых элементарных функций. Применение формулы Тейлора для приближенных вычислений.	2	2	4
14	Признаки возрастания и убывания функции. Понятия локального и глобального экстремума. Необходимые и достаточные условия экстремума. Направления выпуклости вверх (вниз) графика функции. Точка перегиба. Достаточные условия выпуклости и точки перегиба. Простейшие экстремальные задачи. Асимптоты графика функции. Исследование и построение графиков функций.	3	4	6
	Итого	34	34	60

Требования к уровню усвоения дисциплины