Общие требования.
Студент должен освоить основные понятия курса: первообразная, неопределенный интеграл; определенный интеграл, несобственный интеграл; сумма числового ряда, сходимость (расходимость) числового ряда; абсолютная и условная сходимости знакопеременных рядов; равномерная и поточечная сходимости функционального ряда; степенной ряд, его область сходимости; предельная точка множества А
, предел ф. н.п. в предельной точке; частная производная ф. н.п. в точке; дифференциалы первого и высших порядков функции нескольких переменных; производная по направлению; локальный экстремум функции нескольких переменных; и точка локального экстремума; наибольшее и наименьшее значение функции нескольких переменных в замкнутой области.
Основные виды задач.
1. Нахождение неопределенных интегралов с использованием таблицы первообразных и замены переменной.
2. Интегрирование с помощью метода интегрирования по частям.
3. Интегрирование дробно-рациональных функций.
4. Интегрирование некоторые иррациональностей и функций, рациональных относительно cosx и sinx.
5. Вычисление определенных интегралов с использованием формулы Ньютона-Лейбница и навыков нахождения первообразных, перечисленных в 1. ‑ 4.
6. Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенных интегралов.
7. Вычисление объемов тел вращения и длин кривых с помощью определенного интеграла.
8. Вычисление несобственных интегралов по определению.
9. Исследование сходимости несобственных интегралов с помощью признака сравнения.
10. Исследование на сходимость знакопостоянные рядов с помощью признаков сравнения, Даламбера, Коши, интегрального.
11. Исследование на сходимость знакочередующихся рядов с помощью признака Лейбница.
12. Разложение функций, дифференцируемых бесконечно много раз в точке х=а, в ряд Тейлора по степеням (х-а) с помощью: а) определения ряда Тейлора; б) известных разложений в ряд Тейлора; в)формулы суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
13. Определение радиуса и интервала сходимости заданного степенного ряда; исследование его на сходимость на концах интервала.
14. Определение и изображение на плоскости и в пространстве областей определения функций двух и трех переменных.
15. Исследование на непрерывность функции двух переменных.
16. Вычисление частных производных первого и второго порядков и дифференциалов первого и второго порядков функций двух и трех переменных.
17. Составление уравнений касательной плоскости и нормали к заданной поверхности в заданной точке.
18. Вычисление производной функции в заданном направлении.
19. Разложение по формуле Тейлора в окрестности точки функции двух переменных.
20. Исследование на экстремум функции двух и трех переменных.
21. Нахождение наименьшего и наибольшего значений функции двух переменных в заданной замкнутой области.
22. Нахождение точек условного экстремума с помощью метода Лагранжа.
Более детально требования к уровню освоения материала изложены в следующей таблице.
Список требований
№ | Тема | Основные требования Студент должен: |
1 | Неопределенный интеграл. Определение и простейшие свойства. Таблица неопределенных интегралов. Замена переменных в неопределенном интеграле. Интегрирование по частям. | Знать определения первообразной, неопределенного интеграла; простейшие свойства интеграла, таблицу основных интегралов, формулы замены переменной и интегрирования по частям. Уметь находить первообразные, используя простейшие свойства, таблицу интегралов, замену переменной и интегрирование по частям. |
2 | Интегрирование дробно-рациональных функций. | Знать определение дробно-рациональной функции. Уметь раскладывать многочлен на множители, рациональную дробь в сумму простейших дробей, интегрировать простейшие дроби. |
3 | Интегрирование некоторых иррациональных и тригонометрических функций | Знать формулы замен переменной, приводящие к рационализации подинтегрального выражения. Уметь интегрировать некоторые виды иррациональностей и функции вида |
4 | Свойства определенного интеграла. Теоремы о среднем. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле. | Знать формулу Ньютона-Лейбница, основные свойства определенного интеграла, особенности применения замены переменной и интегрирования по частям в определенном интеграле. Уметь вычислять определенные интегралы, используя нахождение первообразных и формулу Ньютона-Лейбница. |
5 | Приложения определенного интеграла: вычисление площади криволинейной трапеции, вычисление площади криволинейного сектора, Вычисление объема тела вращения и длины дуги кривой. | Знать формулы для вычисления площадей криволинейных трапеций и криволинейных секторов, объемов тел вращения, длины кривой через определенный интеграл. Уметь находить площади плоских фигур, разбивая их на криволинейные трапеции или сектора, объемы тел вращения, длины кривых с помощью определенного интеграла. |
6 | Несобственный интеграл. Сходимость и расходимость несобственных интегралов. Признак сравнения для несобственных интегралов. | Знать определения несобственных интегралов первого и второго рода, формулировку признака сравнения сходимости несобственных интегралов. Уметь вычислять несобственные интегралы по определению; исследовать их на сходимость с помощью признака сравнения. |
7 | Определения числового ряда, сходящегося и расходящегося ряда. Критерий Коши сходимости ряда. Необходимое условие сходимости ряда. Признаки сходимости знакопостоянных рядов: сравнения, Даламбера, Коши, интегральный. | Знать определения понятий: частичная сумма ряда, сумма числового ряда, сходящийся числовой ряд, расходящийся числовой ряд. Знать формулировки критерия Коши сходимости ряда, необходимого условия сходимости, признаков сравнения, Коши, Даламбера, интегральный. Уметь исследовать на сходимость знакопостоянные числовые ряды. |
8 | Знакочередующиеся ряды. Абсолютная и условная сходимость. Признак Лейбница. Признаки Абеля и Дирихле. Теорема о перестановке членов абсолютно сходящегося ряда. Теорема Римана. | Знать определения знакопеременного и знакочередующегося рядов; абсолютной и условной сходимости, формулировки признаков Лейбница, Абеля и Дирихле. Уметь исследовать на сходимость знакочередующиеся ряды. |
9 | Понятие о функциональном ряде. Поточечная и равномерная сходимости рядов. Теорема Вейершрасса о равномерной и абсолютной сходимости ряда. Степенной ряд, его радиус и интервал сходимости.. | Знать определения функционального ряда, степенного ряда, поточечной и равномерной сходимости рядов, области сходимости ряда; формулировки теорем о радиусе и области сходимости степенного ряда, формулы для вычисления радиуса сходимости степенного ряда. Уметь находить радиус и интервал сходимости степенных рядов, исследовать их на сходимость на границах интервала сходимости. |
10 | Почленное дифференцирование и интегрирование рядов. Разложение элементарных функций в степенные ряды | Знать разложения в степенной ряд основных элементарных функций, формулировки теорем о почленном интегрировании и дифференцировании степенного ряда. Уметь раскладывать в степенной ряд элементарные функции, используя определение ряда Тейлора, основные разложения, почленное дифференцирование и интегрирование степенных рядов. |
11 | Пространство | Знать определения окрестности точки в Уметь находить области определения функции двух и трех переменных, изображать их. |
12 | Предел функции нескольких переменных в точке. Непрерывность ф. н.п. в точке и на множестве. Теоремы о свойствах функций, непрерывных на замкнутом, ограниченном множестве. | Знать определения предела функции н. п. в точке, непрерывности ф. н.п. в точке, свойства функций, непрерывных на замкнутом, ограниченном множестве. Уметь находить пределы ф. н.п. в точке, доказывать, что предел не существует (зависит от направления); исследовать ф. н.п. на непрерывность. |
13 | Частные производные ф. н.п. Дифференциал первого порядка ф. н.п. Дифференцируемость ф. н.п. | Знать определения частных производных, дифференциала первого порядка, дифференцируемости ф. н.п. в точке; необходимое и достаточное условие дифференцируемости ф. н.п. в точке. Уметь находить частные производные ф. н.п. первого и второго порядков, дифференциалы первого и второго порядков; исследовать ф. н.п. на дифференцируемость. |
14 | Касательная плоскость и нормаль к поверхности в трехмерном пространстве. Производная сложной функции. Производная по направлению. Градиент. | Знать определения касательной плоскости и нормали в точке к поверхности; производной по направлению; формулу для производных сложной функции. Уметь составлять уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности; находить производную по заданному направлению. |
15 | Частные производные высших порядков. Дифференциалы ф. н.п. высших порядков. Формула Тейлора для ф. н.п. с остаточным членом в форме Пеано и Лагранжа. | Знать формулу Тейлора для ф. н.п. с остаточными членами в виде Пеано или Лагранжа. Уметь разложить функцию двух переменных по формуле Тейлора; применить формулу Тейлора для вычисления приближенных значений функции двух переменных. |
16 | Локальный экстремум ф. н.п. Необходимые и достаточные условия локального экстремума. Наибольшее и наименьшее значение ф. н.п. в заданной замкнутой области. | Знать определения точек локального и глобального экстремумов ф. н.п.; формулировку необходимых и достаточных условий локального экстремума. Уметь исследовать ф. н.п. на локальный экстремум; находить наибольшее и наименьшее значения ф. н.п. в замкнутой области. |
17 | Неявная функция. Теорема о неявной функции. Условный локальный экстремум: необходимое условие локального экстремума. Метод неопределенных множителей Лагранжа | Знать определения неявно заданной функции, формулировку теоремы о неявном задании функции; определение точек условного экстремума; необходимое условие точки условного экстремума. Уметь применять метод неопределенных множителей Лагранжа для отыскания точек условного экстремума ф. н.п. |
. Окрестность точки в 3. Список литературы
Основная литература:
1. Берман задач по курсу математического анализа. – М.: Наука, 1985.
2. и др. Математика. Общий курс. – CПб.: Лань, 2002.
3. , , Кожевникова математика в упражнениях и задачах. Часть II. – М.: Высшая школа, 1986.
4. Демидович задач и упражнений по математическому анализу. – М.: Наука, 1977.
5. Кудрявцев задач по математическому анализу. Интегралы и ряды. М: Наука т.2, 1987г.
6. Общий курс высшей математики для экономистов: Учебник / Под ред. . – М.: ИНФРА
7. Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учебное пособие / Под ред. . – М.: ИНФРА-М, 2002.
8. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике. Части 2, 3/ , и др. – Минск: Выш. Шк., 1991.
9. Шипачев высшей математики: Учебник. – М.: ТК Велби, ПРОСПЕКТ, 2004.
10. Шипачев по высшей математике: Учебное пособие для вузов. – М.: Высшая школа, 2001.
11. Ярахмедов анализ. Определенный интеграл.-Новосибирск, 1992г.
Дополнительная литература.
1. Зорич анализ т.1,2 М: Наука,1984г.
2. , Позняк математического анализа, ч.2, М: Наука,1980г.
3. Кудрявцев курс математического анализа. Т.2. ‑ Висагинас, «Alfa», 1998.
4. Фихтенгольц дифференциального и интегрального исчисления т. 2,3, М: Наука, 2004г.
5. Кудрявцев задач по математическому анализу. Интегралы. Ряды. М: Наука, 1986г., т.2.
4. Контрольно-измерительные материалы
Во втором семестре предусмотрены следующие контрольные мероприятия: контрольная работа №1 (четвертая неделя марта); коллоквиум (середина апреля), контрольная работа №2 (третья неделя мая)); экзамен. По желанию преподавателя студентам могут быть предложены индивидуальные домашние задания (ИДЗ-9.1; ИДЗ-9.2; ИДЗ-10.1; ИДЗ-10.2 из части 2 пособия (5); ИДЗ 12.1-12.2 из части 3 пособия (5) из списка обязательной литературы).
Контрольная работа №1
Вариант 1
1. Найти неопределенные интегралы:
2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями 
3. Вычислить интеграл 
4. Исследовать на сходимость ряды
5. Разложить в ряд Маклорена функцию 
Вариант 2
1. Найти неопределенные интегралы:
2. Найти площадь фигуры, ограниченной линией 
3. Вычислить интеграл 
4. Исследовать на сходимость ряды
5. Разложить в ряд Маклорена функцию 
Вопросы к коллоквиуму по математическому анализу
1. Неопределенный интеграл, его свойства.
2. Интегрирование по частям и с помощью замены переменной.
3. Определенный интеграл, определение и геометрический смысл.
4. Свойства определенного интеграла, выражаемые равенствами.
5. Свойства определенного интеграла, выражаемые неравенствами.
6. Определенный интеграл как функция переменного верхнего предела. Формула Ньютона-Лейбница.
7. Приложения определенного интеграла.
8. Несобственные интегралы первого рода, определение примеры.
9. Несобственные интегралы второго рода, определение примеры.
10. Числовой ряд. Сходимость числового ряда. Необходимое условие сходимости ряда.
11. Знакопостоянные ряды. Признаки сравнения.
12. Знакопостоянные ряды. Признак Даламбера.
13. Знакопостоянные ряды. Признак Коши.
14. Знакопостоянные ряды. Интегральный признак Коши.
14. Знакочередующиеся ряды. Абсолютная и условная сходимость ряда.
15. Знакочередующиеся ряды. Признак условной сходимости Лейбница.
16. Степенные ряды. Теорема об интервале сходимости степенного ряда.
17. Ряды Тейлора и Маклорена. Разложения в ряд Маклорена некоторых элементарных функций.
Контрольная работа № 2
Вариант 1
1. Изобразить на плоскости область определения функции 
2. Найти предел или доказать, что предел не существует
а) 
б)
3. Составить уравнения нормали и касательной плоскости к поверхности в заданной точке
4. Найти все точки экстремума функции 
5. Найти наименьшее и наибольшее значения функции в заданной области D: 
Вариант 2
1. Изобразить на плоскости область определения функции 
2. Найти предел или доказать, что предел не существует
а) 
б)
3. Составить уравнения нормали и касательной плоскости к поверхности в заданной точке
4. Найти все точки экстремума функции 
5. Найти наименьшее и наибольшее значения функции в заданной области D: 
Примерный список вопросов к экзамену
1. Первообразная и неопределенный интеграл. Основные свойства неопределенного интеграла.
2. Таблица простейших интегралов.
3. Основные методы интегрирования. Интегрирование по частям.
4. Основные методы интегрирования. Замена переменной в неопределенном интеграле.
5. Интегрирование рациональных функций.
6. Интегрирование тригонометрических функций.
7. Интегрирование некоторых иррациональностей.
8. Определенный интеграл: определение и геометрический смысл. Необходимое и достаточные условия существования определенного интеграла.
9. Свойства определенного интеграла.
10. Свойства определенного интеграла.
11. Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница.
12. Замена переменной в определенном интеграле. Интегрирование по частям в определенном интеграле.
13. Геометрические приложения определенного интеграла: Площадь плоской фигуры.
14. Геометрические приложения определенного интеграла: объем тела вращения.
15. Геометрические приложения определенного интеграла: длина дуги кривой. Площадь поверхности тела вращения.
16. Несобственные интегралы первого рода: определение сходимости, примеры.
17. Несобственные интегралы второго рода: определение сходимости, примеры.
18. Признаки сходимости несобственных интегралов.
19. Понятие числового ряда. Сходящиеся и расходящиеся ряды. Примеры.
20. Свойства сходящихся рядов.
21. Необходимое условие сходимости числового ряда.
22. Ряды с неотрицательными членами. Критерий сходимости. Признак сравнения.
23. Ряды с неотрицательными членами. Предельная форма признака сравнения.
24. Ряды с неотрицательными членами. Признак Даламбера.
25. Ряды с неотрицательными членами. Признак Коши.
26. Ряды с неотрицательными членами. Интегральный признак.
27.Знакопеременные и знакочередующиеся ряды. Абсолютная и условная сходимости, связь между ними.
28. Знакопеременные и знакочередующиеся ряды. Достаточное условие сходимости знакочередующегося ряда (признак Лейбница).
29. Свойства сходящихся знакопеременных рядов.
30. Понятие функции нескольких переменных. Линии уровня.
31. Предел функции нескольких переменных в точке. Предел по направлению. Основные свойства предела.
32. Непрерывность функции в точке. Непрерывность по направлению.
33. Частные производные функции нескольких переменных. Дифференцируемость функции нескольких переменных в точке. Связь непрерывности и дифференцируемости.
34. Необходимое и достаточное условия дифференцируемости функции нескольких переменных в точке.
35. Дифференциал функции нескольких переменных. Геометрический смысл частных производных и дифференциала. Уравнения касательной плоскости нормали.
36. Производная функции нескольких переменных по направлению Градиент.
37. Дифференцирование сложной функции.
38. Частные производные второго порядка. Достаточные условия равенства смешанных производных. Дифференциал второго порядка. Частные производные и дифференциалы высших порядков.
39. Формула Тейлора.
40. Необходимые и достаточные условия экстремума функции нескольких переменных.
41. Условный экстремум. Метод Лагранжа нахождения точек условного экстремума.
III семестр
1. Формы проведения занятий и контрольных мероприятий
Основными формами проведения занятий являются лекции, практические занятия и самостоятельная работа студентов.
Текущий контроль в течение семестра осуществляется посредством оценки выполнения еженедельных домашних работ, защит индивидуальных заданий, а также при проведении аудиторных контрольных работ. Итоговый контроль предполагает зачет и экзамен в конце семестра.
2. Содержание дисциплины
В третьем семестре излагается интегральное исчисление функции нескольких переменных, теория обыкновенных дифференциальных уравнений, элементы теории разностных уравнений.
Тематический план
№ | Тема | Лекции | Практ. зан. | Сам. раб. |
1 | Двойные интегралы. Геометрический смысл. Свойства двойных интегралов. Сведение двойного интеграла к повторному. Тройной интеграл: его свойства, сведение к повторному. | 2 | 2 | 6 |
2 | Замена переменных в двойном и тройном интегралах. Приложения двойных и тройных интегралов. | 3 | 3 | 6 |
3 | Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Дифференциальные уравнения n-го порядка. Понятия общего и частного решений, начальных условий, задачи Коши. Геометрическая интерпретация задачи Коши для уравнений первого и второго порядков. Метод изоклин приближенного решения д. у. первого порядка. | 2 | 2 | 4 |
4 | Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными. Однородные д. у. первого порядка. Уравнения в полных дифференциалах. | 3 | 3 | 4 |
5 | Линейные д. у. первого порядка и уравнения Бернулли. Метод вариации произвольной постоянной и метод Бернулли. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка. | 4 | 4 | 6 |
6 | Задачи прикладного характера, сводящиеся к решению дифференциального уравнения. | 3 | 3 | 6 |
7 | Линейные однородные д. у. n-го порядка. Линейная зависимость и независимость системы функций на множестве. Определитель Вронского. Свойства решений л. о.д. у., вид общего решения. | 2 | 2 | 4 |
8 | Линейные неоднородные д. у. n-го порядка, их общее решение. Метод вариации произвольных постоянных нахождения частного решения л. н.д. у. n-го порядка (на примере уравнения второго порядка). | 3 | 3 | 4 |
9 | Линейные однородные д. у. с постоянными коэффициентами, общее решение. Линейные неоднородные д. у. с постоянными коэффициентами со специальной правой частью. | 4 | 4 | 4 |
10 | Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов. Некоторые приближенные методы решения д. у. (метод Эйлера, метод трапеций). | 3 | 3 | 6 |
11 | Функциональные уравнения, их типы и некоторые методы решения. Обыкновенные разностные уравнения. Линейный разностный оператор. Свойства решений однородного линейного разностного уравнения. | 2 | 2 | 3 |
12 | Решение линейных однородных и неоднородных уравнений с постоянными коэффициентами первого и второго порядков. | 3 | 3 | 3 |
Итого | 34 | 34 | 56 |
Требования к уровню усвоения дисциплины
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 |
