Общие требования.
Студент должен освоить основные понятия курса: двойной интеграл; полярные координаты; сферические и цилиндрические координаты; дифференциальное уравнение n-го порядка; решение д. у.; общее и частное решения д. у.; разностное уравнение, его решение. Студент должен знать формулировку задачи Коши для д. у. n-го порядка, основные методы интегрирования д. у. первого порядка и линейных д. у. с постоянными коэффициентами высших порядков.
Основные виды задач.
1. Расстановка пределов интегрирование в двойном интеграле. Изменение порядка интегрирования в двойном интеграле.
2. Вычисление двойных интегралов, переход к полярным координатам.
3. Вычисление тройных интегралов, переход к цилиндрическим, сферическим координатам.
4. Вычисление объемов цилиндроидов с помощью двойных интегралов.
5. Вычисление объемов тел с помощью тройных интегралов.
6. Решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными.
7. Решение дифференциальных уравнений в полных дифференциалах.
8. Решение дифференциальных уравнений первого порядка.
9. Решение уравнений Бернулли.
10. Решение однородных дифференциальных уравнений.
11. Решение д. уравнений высших порядков, допускающих понижение порядка.
12. Решение однородных линейных дифференциальных уравнений высших порядков.
13. Решение неоднородных линейных дифференциальных уравнений высших порядков методом вариации произвольных постоянных.
14. Решение неоднородных линейных дифференциальных уравнений со специальной правой частью.
15. Приближенное решение д. у. с помощью рядов, методом трапеций,
методом Эйлера.
16. Решение простейших разностных уравнений.
Более детально требования к уровню освоения материала изложены в следующей таблице.
Список требований
№ | Тема | Основные требования Студент должен: |
1 | Двойные интегралы. Геометрический смысл. Свойства двойных интегралов. Сведение двойного интеграла к повторному. Тройной интеграл: его свойства, сведение к повторному. | Знать определение и свойства кратных интегралов. Уметь расставлять пределы интегрирования для заданной области из |
2 | Замена переменных в двойном и тройном интегралах. Приложения двойных и тройных интегралов. | Знать формулу замены переменных в кратных интегралах в общем виде, а также для случаев перехода к полярным, сферическим или цилиндрическим координатам. Уметь применять двойные и тройные интегралы для вычисления объемов тел |
3 | Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Дифференциальные уравнения n-го порядка. Понятия общего и частного решений, начальных условий, задачи Коши. Геометрическая интерпретация задачи Коши для уравнений первого и второго порядков. Метод изоклин приближенного решения д. у. первого порядка. | Знать определения д. у., его общего и частного решений; формулировку задачи и теоремы Коши. Уметь приближенно строить интегральные кривые для д. у. первого порядка методом изоклин. |
4 | Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными. Однородные д. у. первого порядка. Уравнения в полных дифференциалах. | Уметь распознавать д. у. с разделяющимися переменными, однородные уравнения, уравнения в полных дифференциалах, а также находить их общее и частные решения. |
5 | Линейные д. у. первого порядка и уравнения Бернулли. Метод вариации произвольной постоянной и метод Бернулли. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка. | Уметь интегрировать л. д.у. и уравнения Бернулли. Уметь понижать порядок д. у. для трех стандартных типов уравнений высших порядков. |
6 | Задачи прикладного характера, сводящиеся к решению дифференциального уравнения. | Уметь для простейших геометрических и физических задач составлять их математическую модель в виде д. у. одного из известных типов. |
7 | Линейные однородные д. у. n-го порядка. Линейная зависимость и независимость системы функций на множестве. Определитель Вронского. Свойства решений л. о.д. у., вид общего решения. | Знать вид общего решения однородного и неоднородного линейного д. у.; определение линейно зависимых и линейно независимых на множестве функций. Уметь определять линейную зависимость (независимость) функций по определению и с помощью определителя Вронского. |
8 | Линейные неоднородные д. у. n-го порядка, их общее решение. Метод вариации произвольных постоянных нахождения частного решения л. н.д. у. n-го порядка (на примере уравнения второго порядка). | Уметь находить частное решение неоднородного л. д.у. методом вариации произвольных постоянных (на примере уравнения второго порядка) |
9 | Линейные однородные д. у. с постоянными коэффициентами, общее решение. Линейные неоднородные д. у. с постоянными коэффициентами со специальной правой частью. | Уметь решать л. о.д. у. и н. л.д. у. с постоянными коэффициентами второго порядка. |
10 | Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов. Некоторые приближенные методы решения д. у. (метод Эйлера, метод трапеций). | Уметь находить приближенные решения д. у. методом Эйлера, методом трапеций. |
11 | Функциональные уравнения, их типы и некоторые методы решения. Обыкновенные разностные уравнения. Линейный разностный оператор. Свойства решений однородного линейного разностного уравнения | Знать определение функционального уравнения, разностного уравнения, линейного разностного уравнения; общий вид однородного л. р.у. |
12 | Решение линейных однородных и неоднородных уравнений с постоянными коэффициентами первого и второго порядков. | Уметь решать линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами первого и второго порядков. |
; вычислять двойные и тройные интегралы, сводя их к повторным.3. Список литературы
Основная литература:
1. Берман задач по курсу математического анализа. – М.: Наука, 1985.
2. , Никольский уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. – М.: Наука, 1989.
3. и др. Математика. Общий курс. – CПб.: Лань, 2002.
4. , , Кожевникова математика в упражнениях и задачах. Части II и III. – М.: Высшая школа, 1986.
5. Лихтарников введение в функциональные уравнения. – СПб.: Лань, 1997.
6. Матвеев уравнения. – М.:Просвещение, 1988.
7. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике. Часть 2/ , и др. – Минск: Выш. Шк., 1991.
8. Филиппов задач по дифференциальным уравнениям. – М.:Наука, 1973.
Дополнительная литература:
1. Общий курс высшей математики для экономистов: Учебник / Под ред. . – М.: ИНФРА
2. Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учебное пособие / Под ред. . – М.: ИНФРА-М, 2002.
3. Шипачев высшей математики: Учебник. – М.: ТК Велби, ПРОСПЕКТ, 2004.
4. Шипачев по высшей математике: Учебное пособие для вузов. – М.: Высшая школа, 2001.
5. Конспект лекций по высшей математике. Часть 2. – М.: Рольф, 2000.
4. Контрольно-измерительные материалы
В третьем семестре предусмотрены следующие контрольные мероприятия: контрольная работа №1 (вторая неделя октября) по теме «Кратные интегралы»; вторая контрольная работа (третья неделя декабря) по теме «Дифференциальные уравнения»; экзамен. По желанию преподавателя студентам могут быть предложены индивидуальные домашние задания ИДЗ 11.1+ИДЗ 11.2.+ИДЗ 11.3 по пособию (7) из списка обязательной литературы.
Контрольная работа №1
Вариант 1
1. Расставить двумя способами пределы интегрирования в двойном интеграле от функции f(x, y) по заданной области G, ограниченной линиями
.
2. Вычислить двойной интеграл по заданной области
3. Найти с помощью двойного интеграла объем тела, ограниченного поверхностями (можно, если необходимо, переходить к полярным координатам):
4. Переходя к полярным координатам в двойном интеграле, вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми 
.
Вариант 2
1. Расставить двумя способами пределы интегрирования в двойном интеграле от функции f(x, y) по заданной области G, ограниченной линиями
2. Вычислить двойной интеграл по заданной области
3. Найти с помощью двойного интеграла объем тела, ограниченного поверхностями (можно, если необходимо, переходить к полярным координатам):
4. Переходя к полярным координатам в двойном интеграле, вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми 
Контрольная работа № 2
Вариант 1
1. Найти общее решение д. у. 
.
2. Найти решение д. у. 
, удовлетворяющее условию y(0)=-1.
3. Найти общее решение д. у. второго порядка 
4. Найти уравнение линии касательные к которой отсекают на осях координат отрезки, сумма которых равна 2а.
5. Записать в виде степенного ряда общее решение уравнения 
Ограничиться шестью первыми членами.
Вариант 2
1. Найти общее решение д. у. 
.
2. Найти решение д. у. 
, удовлетворяющее условию y(1)=1.
3. Найти общее решение д. у. второго порядка 
4. Найти линию, для которой произведение расстояний любой касательной до двух данных точек постоянно.
5. Записать в виде степенного ряда общее решение уравнения 
Ограничиться шестью первыми членами.
Примерный список вопросов к экзамену
1. Определение и свойства двойного интеграла.
2. Сведение двойного интеграла к повторному. Случай прямоугольной области.
3. Сведение двойного интеграла к повторному. Случай криволинейной области.
4 Замена переменных в двойном интеграле. Формулы замены переменных при переходе к полярным координатам.
5. Замена переменных в тройных интегралах. Переход к цилиндрическим и сферическим координатам.
6. Приложения двойных интегралов.
7. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Основные понятия и определения. Уравнения с разделяющимися переменными.
8. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли.
9. Однородные уравнения.
10. Уравнения в полных дифференциалах.
11. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка.
12. Однородные линейные дифференциальные уравнения, свойства их решений. Теорема о структуре общего решения однородного линейного дифференциального уравнения.
13. Общее решение однородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.
14. Теорема об общем решении линейного неоднородного дифференциального уравнения n-го порядка.
15. Метод вариации произвольных постоянных нахождения частного решения неоднородного линейного дифференциального уравнения второго порядка.
16. Функциональные уравнения. Линейный разностный оператор. Свойства решений однородного линейного разностного уравнения.
17. Решение линейных разностных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами.
18. Решение линейных разностных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.
IV семестр
В четвертом семестре предусмотрена курсовая работа по курсу математического анализа.
Примерные темы курсовых работ
1. Элементарное исследование функций. Функциональные зависимости в экономике.
2. Обратные функции. Теорема об обратной функции. Обратные тригонометрические функции.
3. Преобразования графиков элементарных функций.
4. Функциональные зависимости в экономике.
5. Числовые последовательности и их свойства. Числовые последовательности в экономических задачах.
6. Предел числовой последовательности.
7. Предельный анализ в экономике.
8. Различные способы введения понятия действительного числа.
9. Приложения производной функции одной действительной переменной.
10. Исследование функций и построение графиков функций.
11. Исследование и построение кривых, заданных параметрически или в полярной системе координат.
12. Задачи прикладного характера на наибольшее и наименьшее значения.
13. Интегрирование иррациональностей. (Подстановки Эйлера, их геометрическая трактовка; биномиальные дифференциалы)
14. Различные способы введения определенного интеграла.
15. Математические приложения определенных интегралов (В том числе формула Валлиса, трансцендентность числа е и др.)
16. Физические приложения определенного интеграла.
17. Производная и интеграл в производственных задачах.
18. Приближенные вычисления определенных интегралов.
19. Признаки сходимости знакоположительных числовых рядов. Применения в экономике.
20. Абсолютно и условно сходящиеся ряды.
21. Бесконечные произведения.
22. Степенные ряды. Приближенные вычисления с помощью рядов.
23. Функциональные ряды. Равномерно сходящиеся ряды, их свойства.
24. Несобственные интегралы первого и второго родов. Признаки сходимости.
25. Несобственные интегралы, их свойства.
26. Простейшие дифференциальные уравнения, методы их интегрирования. Прикладные задачи, сводящиеся к д. у.
27. Исследование функций нескольких переменных на наибольшее и наименьшее значения. Примеры прикладных задач.
28. Предел и непрерывность функции нескольких переменных.
29. Непрерывность и дифференцируемость функций нескольких переменных.
30. Метод наименьших квадратов, его обоснование.
31. Условный экстремум функции нескольких переменных, его применения в экономике.
32. Комплексные числа, их свойства. Простейшие функции комплексной переменной.
33. Криволинейные интегралы первого типа, их свойства.
34. Криволинейные интегралы второго типа, условие независимости интеграла от пути интегрирования.
35. Двойные и тройные интегралы. Замена переменных в кратном интеграле.
36. Метрические пространства.
37. Задачи линейного программирования.
38. Метод математической индукции и его применения.
39. Треугольник Паскаля и его свойства.
40. Метод последовательных приближений решения уравнений.
41. Замечательные кривые третьего и четвертого порядков.
42. Трансцендентные кривые.
43. Неравенство Коши и его применения.
44. Рекуррентные последовательности.
45. Числа Фибоначчи, их применение.
46. «Золотое сечение» в математике, экономике, природе и искусстве.
47. Элементы теории графов. Экономические приложения.
48. Задача четырех красок.
49. Задачи на экстремум в планиметрии.
50. Пример и контрпример в математике.
51. Различные способы введения тригонометрических функций.
52. Различные способы введения показательной и логарифмической функций.
53. Принцип Кавальери и определенный интеграл.
54. Различные способы доказательства неравенств.
55. Олимпиадные задачи по одному из разделов математического анализа или алгебры (тема на выбор).
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 |
