Экономический анализ и статистическое моделирование аграрного производства (стр. 6 )

где x'1<x'2<…<x'm - элементы первой выборки x1,x2,…,xm , переставленные в порядке возрастания, а y'1<y'2<…<y'n - элементы второй выборки y1,y2,…,yn , также переставленные в порядке возрастания.

Разработаны алгоритмы и программы для ЭВМ, позволяющие рассчитывать точные распределения, процентные точки и достигаемый уровень значимости для двухвыборочной статистики Смирнова , разработаны подробные таблицы.

Однако у критерия Смирнова есть и недостатки. Его распределение сосредоточено в сравнительно небольшом числе точек, поэтому функция распределения растет большими скачками. В результате не удается выдержать заданный уровень значимости, реальный уровень значимости может в несколько раз отличаться от номинального (подробному обсуждению неклассического феномена существенного отличия реального уровня значимости от номинального посвящена работа [155]).

Критерий типа омега-квадрат (Лемана-Розенблатта). Статистика критерия типа омега-квадрат для проверки однородности двух независимых выборок имеет вид:

A = Fm(x) – Gn(x))2 dHm+n(x) ,

где Hm+n(x) – эмпирическая функция распределения, построенная по объединенной выборке,

Hm+n(x) = Fm(x) + Gn(x) .

Статистика A типа омега-квадрат была предложена Э. Леманом в 1951 г., изучена М. Розенблаттом в 1952 г., а затем и другими исследователями. Она зависит лишь от рангов элементов двух выборок в объединенной выборке. Пусть - первая выборка, - соответствующий вариационный ряд, -вторая выборка, - вариационный ряд, соответствующий второй выборке. Поскольку функции распределения независимых выборок непрерывны, то с вероятностью 1 все выборочные значения различны, совпадения отсутствуют. Статистика А представляется в виде (см., например, [151]):

где ri - ранг x'i и sj - ранг y'j в общем вариационном ряду, построенном по объединенной выборке.

Правила принятия решений при проверке однородности двух выборок на основе статистик Смирнова и типа омега-квадрат, т. е. таблицы критических значений в зависимости от уровней значимости и объемов значимости приведены, например, в таблицах [151].

Для критерия типа омега-квадрат нет выраженного эффекта различия между номинальными и реальными уровнями значимости. Поэтому рекомендуется для проверки однородности функций распределения (гипотеза H0) применять статистику А типа омега-квадрат. Если методическое, табличное или программное обеспечение для статистики Лемана-Розенблатта отсутствует, рекомендуем использовать критерий Смирнова. Для проверки однородности математических ожиданий (гипотеза H'0) целесообразно применять критерий Крамера-Уэлча. Статистики Стьюдента, Вилкоксона и др. допустимо использовать лишь в отдельных частных случаях.

Рассмотренные критерии проверки однородности могут успешно применяться при анализе одномерных данных. Экономические же объекты являются многомерными. В данном случае ситуация существенно усложняется, так как только совокупное взаимодействие признаков способно в той или иной степени отражать разбиение объектов на классы по актуальному критерию [156]. Разбиение исходной совокупности на однородные подмножества осуществляется методами (процедурами) кластерного анализа.

Термин «кластерный анализ» был предложен Р. Трионом в 1939г. (от англ. cluster – гроздь, скопление, пучок) [157]. Основная цель кластерного анализа – выделить в исходных многомерных данных такие однородные подмножества, чтобы объекты внутри групп были похожи в известном смысле друг на друга, а объекты из разных групп – не похожи. Под «похожестью» понимается близость объектов в многомерном пространстве признаков, и тогда задача сводится к выделению в этом пространстве естественных скоплений, которые и считаются однородными группами [158,159]. Согласно Эверетту, кластеры – это непрерывные области некоторого пространства с относительно высокой плотностью точек, отделенные от других таких же областей с относительно низкой плотностью точек [160].

Выделенные с помощью кластерного анализа изолированные группы объектов часто могут трактоваться как качественно различные. Вообще алгоритм классификации состоит из двух основных шагов: вычисление метрики или показателей сходства и пошаговое построение классов. В отличие от комбинационных группировок кластерный анализ приводит к разбиению на группы с учетом всех группировочных признаков одновременно. Например, если каждый наблюдаемый объект характеризуется двумя признаками Х1 и Х2, то при выполнении комбинационной группировки вся совокупность объектов будет разбита на группы по Х1, а затем внутри каждой выделенной группы будут образованы подгруппы по Х2. Такой подход получил название монотетического. Определить принадлежность каждого объекта к той или иной группе можно, последовательно сравнивая его значения Х1 и Х2 с границами выделенных групп. Образование группы в этом случае всегда связано с указанием ее границ по каждому группировочному признаку отдельно.

В кластерном анализе используется иной принцип образования групп, так называемый политетический подход. Все группировочные признаки одновременно участвуют в группировке, т. е. они учитываются все сразу при отнесении наблюдения в ту или иную группу. При этом, как правило, не указаны четкие границы каждой группы, а также неизвестно заранее, какое количество групп следует выделить в исследуемой совокупности.

Методы кластерного анализа позволяют решать следующие задачи:

- проведение классификации объектов с учетом признаков, отражающих сущность, природу объектов. Решение такой задачи, как правило, приводит к углублению знаний о совокупности классифицируемых объектов;

- проверка выдвигаемых предположений о наличии некоторой структуры в изучаемой совокупности объектов, т. е. поиск существующей структуры;

- построение новых классификаций для слабоизученных явлений, когда необходимо установить наличие связей внутри совокупности и попытаться привнести в нее структуру [57, c. 468 – 469].

Анализ однородных совокупностей (кроме методологических требований) позволяет обнаружить тот факт, что внутри разных кластеров имеют место существенно различные взаимосвязи между анализируемыми признаками. В частности, анализируя с помощью производственных функций зависимости между величиной затраченных ресурсов и объемом производимой продукции, М. Интрилигатор утверждает, что производственная функция может характеризоваться постоянным доходом от расширения масштаба производства в одних точках пространства затрат и возрастающим или убывающим доходом от расширения масштаба производства в других [161]. Подобную точку зрения высказывают также Э. Хеди и Д. Диллон [89]. , изучая вопросы применения вероятностно-статистических моделей в агроэкономических исследованиях, делает вывод о том, что уравнение регрессии имеет смысл лишь в области, охваченной фактическими данными, использованными при его расчете [85]. За пределами данной области правильность и особенно точность уравнения являются сомнительными. Иначе говоря, как образно отметили Р. Сокэл и П. Снит, структура данных отражает процесс [162]. Мы, в свою очередь, считаем, что кластерный анализ должен предшествовать построению многофакторных вероятностно-статистических моделей.

Операцией, предшествующей проведению кластерного анализа, является стандартизация всех переменных. Эта процедура необходима, так как все признаки должны быть приведены к сопоставимому виду путем исключения единиц измерения. Процесс стандартизации осуществляется по формулам:

где хik – значение признака к для i-го объекта; - среднее арифметическое значение признака к; sk – стандартное отклонение признака к.

Одним из наиболее важных вопросов при проведении кластерного анализа является выбор тех признаков, по которым проводится классификация предприятий. Мы считаем, что в основу должны быть положены те факторы, которые определяют значение результативного показателя.

Алгоритмы кластерного анализа отличаются большим разнообразием, связанным с процедурами разбиения исходного множества на классы, а также с множеством различных критериев, отражающих те или иные аспекты автоматического группирования. Однако, многие авторы указывают на целый ряд преимуществ метода Уорда (Wards method) в сравнении с другими алгоритмами [156,158,163]. Наши исследования также показали преимущество этого метода.

В то же время мы считаем, что следует согласиться с точкой зрения , утверждающего, что если классы реальны, естественны, существуют на самом деле, четко отделены друг от друга, то любой алгоритм кластер-анализа их выделит. Следовательно, в качестве критерия естественности классификации следует рассматривать устойчивость относительно выбора алгоритма кластер-анализа [149].

Проверить устойчивость можно, применив к данным несколько подходов, например, столь непохожие алгоритмы, как «ближнего соседа» и «дальнего соседа». Если полученные результаты содержательно близки, то они адекватны действительности. В противном случае следует предположить, что естественной классификации не существует, задача кластер-анализа не имеет решения, и можно проводить только группировку.

3.2. Производственные функции как основа описания закономерностей сельскохозяйственного производства

Экономика – это система общественного производства, осуществляющая собственно производство, распределение, обмен и потребление необходимых обществу материальных благ. При этом в кибернетическом аспекте экономическую систему можно представить как пересечение двух систем более высокого уровня: суперсистемы: общество и суперсистемы ресурсы. С точки зрения общества в целом экономика выступает в качестве его питающего блока – функциональной подсистемы, преобразующей внешние, природные ресурсы в пригодные к потреблению блага и доводящей эти блага до потребителей [164].

При изучении экономики как подсистемы ресурсов на первый план выступают производственно-технологические аспекты ее анализа. В любой момент времени можно различить три функциональных входа в экономическую систему: природные ресурсы, средства производства и трудовые ресурсы. Их целенаправленное преобразование и является процессом производства, обеспечивающим выпуск потребительских благ.

Производственные возможности любого производственного объекта в любой момент времени определяются двумя группами факторов:

1) технологическими условиями производства, которые выражаются зависимостями между затратами различных ресурсов и выпуском продукции;

2) объемами и качеством наличных ресурсов. В целях же эффективного управления производством продукции необходимо, в первую очередь, знание количественных взаимосвязей между величиной затраченных ресурсов и объемом выпускаемой продукции. Эта проблема решается в результате построения производственных функций.

Производственной функцией называют модель, описывающую зависимость между величиной затраченных ресурсов и объемом выпускаемой продукции. Особо следует отметить, что данная экономико-математическая модель носит нелинейный и вероятностно-статистический характер. С позиций теории систем в основе понятия производственной функции лежит представление об изучаемом экономическом объекте как об открытой динамической системе, выходом которой является производимая продукция, а входом – затраты различных видов ресурсов производства.

Исследуя вопрос об эффективности использования производственных ресурсов, считаем необходимым рассматривать их как систему факторов производства, формирующих объем производства продукции. Основной принцип построения производственной функции требует, чтобы набор факторов был полон и непротиворечив, т. е. чтобы в функцию были включены все факторы, оказывающие существенное влияние на результат и чтобы среди них не было дублирования. Например, в производственную функцию сельскохозяйственного производства можно включить четыре основных фактора: землю, трудовые ресурсы, основные производственные фонды и оборотные средства. Если исключить любой из этих факторов, то набор их будет неполным. Использование же других дополнительных факторов будет излишним, т. к. приведет к искажению коэффициентов производственной функции, а, следовательно, и показателей эффективности. Вопрос о числе и составе аргументов производственной функции сводится к вопросу о показателях, характеризующих состояние производственной системы. Указанный набор является базисным для аргументов производственной функции. Это, однако, не исключает того, что в условиях функционирования конкретной агроэкономической системы в число аргументов производственной функции могут быть включены и другие факторы (дефицитные ресурсы, оборудование определенной группы и т. д.).

 

Рис. 3. Технологический процесс производства сельскохозяйственной продукции

На рисунке 3 пространство состояний производственной системы представлено четырьмя показателями и может рассматриваться как часть четырехмерного пространства R4. Следует, однако, учесть, что эти ресурсные показатели принимают не произвольные, а вполне определенные значения, например, они не могут быть отрицательными и, кроме того, между ними должна быть определенная взаимосвязь, обусловленная требованиями технологического процесса. Множество значений, которые могут принимать аргументы производственной функции, называется областью ее определения (множество значений показателей состояния системы).

Вопросы построения, интерпретации и применения производственных функций для решения целого ряда проблем, как в рамках национальной экономики, так и в различных его отраслях нашли отражение в трудах многих исследователей.

Производственные функции являются основным инструментом анализа и планирования производственно-экономических процессов в объектах, относящихся к различным уровням иерархии общественного производства. Поэтому к выбору типа функции, привлекаемой информации и методам ее обработки должны быть предъявлены высокие требования в отношении объективности отражения реальных закономерностей общественного производства. Связь между затратами ресурсов и выпуском продукции является характерной и относительно устойчивой для экономических систем любого уровня, технология производства в которых не претерпевает существенных скачков. Отражение и количественное определение этой связи и составляет экономическое содержание понятия производственной функции.

Если через xj (j = 1,2,…,n) обозначить количество j-го ресурса, участвующего в производстве, то набор всех n ресурсов будет описываться вектором X = (x1, x2,…, xn). Рассматривая производственную функцию с одним продуктом, будем иметь

Y = f (X, A), (9)

где Y – объем произведенной продукции, A = (a1, a2,…, ak) – вектор параметров. Более часто принята запись производственной функции в виде

Y = f (x1, x2 ,…, xn)

Рассмотрим основные предположения, используемые при построении производственных функций.

1. Первое предположение. Производство невозможно при отсутствии хотя бы одного ресурса, т. е.

f(0, x2, …, xn) = 0,

f(x1, 0, …, xn) = 0,

………………….

f(x1, x2, …,xn) = 0

2. Второе предположение. При увеличении затрат производственных ресурсов выпуск продукции не уменьшается. Из указанного предположения следует, что функция Y = f (x1, x2 ,…, xn) = f(X) т. е.

f(X2) ³ f(X1) при X2 > X1 (10)

Следует отметить, что это, казалось бы, очевидное предположение выполняется не всегда. В частности, в сельскохозяйственном производстве с увеличением площади сельскохозяйственных угодий при неизменности всех других производственных ресурсов может происходить снижение качества обработки земли и нарушение требований технологии производства из-за снижения обеспеченности земельных ресурсов другими видами производственных ресурсов. Все это может привести к снижению валового производства. Поэтому могут быть построены и производственные функции, не удовлетворяющие данному предположению.

Множество всех векторов Х, для которых соотношение (10) выполняется, называется экономической областью. Вне ее дополнительные затраты экономически невыгодны.

Если функция (9) имеет все частные производные, то данное предположение эквивалентно выполнению условия

Частная производная ¶f/¶xj, называемая предельной производительностью j-го ресурса равна той дополнительной продукции, которая может быть получена при увеличении количества j-го ресурса на единицу. В терминах предельных производительностей указанное свойство дифференцируемой производственной функции формулируется следующим образом: предельные производительности всех ресурсов неотрицательны. Экономическую область можно теперь определить как такое множество в пространстве ресурсов производства X = (x1, x2,…, xn), где выполняются условия:

Если предположить непрерывность функций ¶f/¶xj (j = 1,2,…n), то границей экономической области будут поверхности, на которых

Эти поверхности часто называют разделяющими поверхностями.

3. Третье предположение. По мере увеличения количества одного ресурса при постоянных количествах других предельная эффективность (производительность) этого ресурса не возрастает. В том случае, когда производственная функция является дважды непрерывно дифференцируемой, данное предположение эквивалентно условию:

По мнению , выполнение третьего предположения означает, что рост вооруженности средствами производства приводит к росту выпуска продукции, но темп роста выпуска продукции все время падает. В случае экстенсивного роста производства, т. е. роста только за счет количества ресурсов, без повышения эффективности их использования на основе достижений научно-технического прогресса, вышеприведенное соотношение имеет разумную интерпретацию: поскольку каждая следующая единица производственного ресурса, количество которого возрастает, должна соединяться со все меньшим приходящимся на нее количеством других ресурсов, эффективность использования этого ресурса уменьшается [165, c. 72 – 73].

4. Четвертое предположение. Производственная функция характеризуется определенной отдачей от расширения масштабов производства. Отдача от расширения масштабов производства характеризует производственную функцию с точки зрения изменения выпуска при пропорциональном изменении затрат ресурсов. Предположим, что все координаты некоторой точки Х пространства затрат умножаются на число t (t > 0) достигая значений tX = (tx1, tx2, …, txn). Производственная функция характеризуется постоянной отдачей от расширения масштабов производства, если выпуск возрастает в той же пропорции, что и затраты:

f(t×X) = t×f(X)

Производственная функция дает возрастающую отдачу от расширения масштаба производства, если она возрастает в большей степени, чем все затраты:

f(t×X) > t×f(X)

Производственная функция дает убывающую отдачу от расширения масштаба производства, если она возрастает в меньшей степени, чем все затраты:

f(t×X) < t×f(X)

Функция f(X) называется однородной, если

f(t×X) = tg×f(X) для любого t > 0.

Число g называется степенью однородности. Если производственная функция f(X) является однородной, то показатель g характеризует эффект от расширения масштаба производства: если g > 1, то одновременное увеличение всех ресурсов в t раз приводит к возрастанию объема выпуска более, чем в t раз, т. е. эффект от расширения масштаба положителен; при g = 1 имеем случай постоянной отдачи от расширения масштаба производства; при g < 1 – убывающей отдачи.

Рассмотрим наиболее распространенные типы производственных функций и логические предпосылки, лежащие в основе их построения. Очень точный и образный пример одной из производственных функций приведен В. Леонтьевым: «Кулинарный рецепт, утверждающий, что для выпечки двух батонов хлеба нужно использовать два фунта муки, две чашки молока, два яйца и четверть фунта масла, представляет собой типичную производственную функцию»[166,c.73].

В общем же случае производственная функция Леонтьева (функция с постоянными пропорциями) имеет вид:

Y = min {x1/a1, x2/a2,…, xn/an}

Рассмотрим «чистое» предприятие (т. е. предприятие выпускающее один продукт). Обозначим объем выпускаемой продукции через Y. Для производства продукции затрачиваются m видов ресурсов, причем предприятие располагает ресурсом i-го вида в объеме xi единиц, а для производства одной единицы продукта расходуется ai единиц ресурса i-го вида. Нами было доказано, что в данной ситуации производственная функция Леонтьева представляет собой оптимальное решение задачи линейного программирования по определению максимального объема выпускаемой продукции при ограниченности использования имеющихся ресурсов. Основное отличие данной производственной функции – наличие единственной рациональной структуры производственных ресурсов, задаваемой технологическим вектором A = (a1, a2,…, an).

Наиболее распространенной является производственная функция Кобба-Дугласа, имеющая вид:

Y = (11)

Появление этой функции, впрочем, как и возникновение общей теории производственных функций, принято относить к 1928г., когда появилась статья американских ученых математика Д. Кобба и экономиста П. Дугласа «Теория производства» [167]. В этой статье была предпринята попытка определить эмпирическим путем влияние величины затрачиваемого капитала и труда на объем выпускаемой продукции в обрабатывающей промышленности США. Были использованы статистические данные за 1899 – 1922гг. и поставлены следующие задачи:

1. Определить параметрический класс функций, наиболее точно приближающий количественные соотношения между тремя выбранными характеристиками производственной деятельности.

2. Найти числовые параметры, задающие конкретную функцию этого класса.

3. Сравнить результаты, получаемые как значения функций, с фактическими данными.

Построенная зависимость дала хорошее приближение к действительности. Более того, данная функция хорошо описывает производственно-технологические зависимости в самых различных областях производственной деятельности. Поэтому естественно предположить, что логические предпосылки, лежащие в основе ее построения, адекватно отражают производственно-технологические особенности производства продукции. На наш взгляд суть этих логических предпосылок состоит в следующем [168].

Пусть для выпуска продукции требуются n видов ресурсов. Обозначим через Y объем выпускаемой продукции, а через xj (j = 1,2,…, n) – затраты ресурса j-го вида. Тогда

Y = f (x1, x2,…, xn)

Предполагается, что имеет место определенная взаимозаменяемость ресурсов, т. е. одно и то же количество продукции может быть произведено при различных затратах ресурсов и нехватка одного ресурса может быть покрыта избытком другого. Если увеличить затраты j-го ресурса на величину Dxj, то при неизменных объемах других ресурсов количество выпускаемой продукции будет равно f(x1, x2,…, xj + Dxj,…, xn), а прирост объема выпускаемой продукции, обусловленный дополнительным увеличением затрат ресурса j-го вида

DY = f (x1, x2,…, xj + Dxj,…, xn) – f (x1, x2,…, xj,…, xn)

Как известно, величина Y/xj представляет собой среднюю производительность j-го ресурса. В этом случае естественно предположить наличие равенства

, (12)

т. е. прирост продукции, обусловленный дополнительным увеличением затрат ресурса j-го вида прямо пропорционален произведению средней производительности этого ресурса на величину дополнительных затрат. Коэффициент пропорциональности aj Î (0;1). Это означает, что при увеличении затрат ресурса j-го вида выпуск продукции возрастает, но в то же время прирост DY меньше своего «естественного» уровня , так как дополнительное увеличение затрат ресурса j-го вида происходит при неизменной производственной базе.

Такого рода характер влияния дополнительного увеличения затрат одного из ресурсов на прирост продукции отмечается многими исследователями. В частности, П. Самуэльсон указывает, что если мы оставляем неизменным один вид затрат или группу затрат и изменяем остальные затраты, то видим, что изменяющиеся затраты соединяются со все меньшим и меньшим количеством фиксированных затрат. Поэтому не удивительно, что такие дополнительные изменяющиеся затраты дают все меньше и меньше дополнительной продукции [70].

Поделив уравнения (12) на Dxj и переходя к пределу при Dxj ® 0, получим:

(13)

Нами доказано, что решение системы уравнений (13) дает функцию (11), т. е. зависимость между объемом выпускаемой продукции и используемыми производственными ресурсами описывается производственной функцией Кобба-Дугласа [168].

Изложенные логические предпосылки, как правило, хорошо согласуются с особенностями функционирования производственных систем. В частности эти функции применялись нами для анализа сельскохозяйственного производства.

Кинетическая производственная функция имеет вид:

Эта функция основана на следующих логических предпосылках. Пусть для выпуска продукции требуются n видов ресурсов. Обозначим через Y объем выпускаемой продукции, а через xj (j = 1,2,…, n) – затраты ресурса j-го вида. Тогда

Y = f (x1, x2,…, xn)

Предполагается, что имеет место определенная взаимозаменяемость ресурсов, т. е. одно и то же количество продукции может быть произведено при различных затратах ресурсов и нехватка одного ресурса может быть покрыта избытком другого. Если увеличить затраты j-го ресурса на величину Dxj, то при неизменных объемах других ресурсов количество выпускаемой продукции будет равно f(x1, x2,…, xj + Dxj,…, xn), а прирост объема выпускаемой продукции, обусловленный дополнительным увеличением затрат ресурса j-го вида

DY = f (x1, x2,…, xj + Dxj,…, xn) – f (x1, x2,…, xj,…, xn)

Однако, в отличие от функции Кобба – Дугласа,

, (15)

т. е. прирост продукции, обусловленный дополнительным увеличением затрат ресурса j-го вида прямо пропорционален произведению средней производительности этого ресурса на величину дополнительных затрат и достигнутому уровню валового производства.

Поделив уравнения (15) на Dxj и переходя к пределу при Dxj ® 0, получим:

(16)

Нами было доказано, что решение системы (16) приводит к зависимости (14), т. е. взаимосвязь между объемом производимой продукции и величиной затраченных ресурсов описывается кинетической производственной функцией [169].

Иногда рассматривают кинетическую функцию вида

(17)

Легко видеть, что функция (17) является частным случаем производственной функции (14) при аj = c; j=1,2,…n.

Производственная функция с постоянной эластичностью замещения имеет следующий общий вид:

Как отметил , благодаря большей гибкости (по сравнению с производственной функцией Кобба – Дугласа) производственная функция с постоянной эластичностью замещения имеет неоспоримые преимущества [166].

Для того, чтобы исследовать замещаемость ресурсов, рассмотрим поверхности фиксированного выпуска – изокванты. Множество точек X пространства затрат, необходимых для одного и того же уровня выпуска Y0, то есть

{X: f(X) = Y0}

называют изоквантой. Дифференцирование функции f(X) вдоль изокванты дает следующее соотношение:

Если в данной точке предельные производительности отличны от нуля или бесконечности, то ресурсы взаимозаменяемы. Зафиксируем все затраты кроме затрат i-го и j-го ресурсов. Тогда получим:

откуда имеем вдоль изокванты:

т. е., при неизменном выпуске, отношение между изменениями ресурсов обратно отношению их предельных производительностей.

Величина hij, равная отношению предельных затрат со знаком «минус», носит название предельной нормы замещения. Она показывает, сколько единиц j-го ресурса требуется для замещения одной единицы i-го ресурса при постоянном выпуске продукции. Знак «минус» показывает, что при уменьшении затрат одного ресурса необходимо увеличить затраты другого ресурса.

Средняя производительность (или норматив затрат) определяется как отношение f(X)/xi. Величина xi / f(X), обратная средней производительности, определяет средние затраты i-го ресурса в расчете на единицу продукции (емкость продукции по отношению к данному ресурсу: трудоемкость, если этот ресурс - труд; фондоемкость, если это - фонды; материалоемкость, энергоемкость и т. д.).

Эластичность выпуска представляет собой отношение предельной производительности i-го ресурса к его средней производительности:

ei(x) =

Другими словами, эластичность выпуска по отношению к i-му ресурсу - это отношение процентного прироста продукции к процентному приросту затрат или произведение предельного продукта на средние затраты.

Эластичностью производства называют величину

Она является локальным показателем изменения выпуска при расширении масштаба производства в точке X. Легко видеть, что

Таким образом, эластичность производства в некоторой точке X равна сумме эластичностей выпуска по отношению к затратам различных ресурсов в этой точке.

Введем понятие эластичности замещения ресурсов sij:

Она равна процентному изменению соотношения затрат i-го и j-го ресурсов, деленному на процентное изменение соотношения их предельных производительностей.

В частном случае, когда предельная норма замещения не зависит от соотношения используемых ресурсов, имеем

т. е. эластичность замещения sij бесконечно велика. В этом случае ресурсы считаются полностью взаимозаменяемыми. При sij =0 ресурсы незаменяемы.

Производственные функции находят широкое применение при решении задач оптимизации. Например, физические объемы затрат ресурсов, максимизирующих величину продукта могут быть найдены как решения системы уравнений:

При заданных ценах продукта Py и ресурсов P1,P2,...,Pn задача может заключаться в максимизации величины прибыли. Если не учитывать постоянную составляющую затрат (ее величина не влияет на оптимальное решение), то прибыль для предприятия, производство которого описывается производственной функцией вида Y=f(x1,x2,...,xn) равна

Для определения затрат ресурсов, максимизирующих прибыль, необходимо решить систему из n уравнений:

Из приведенных соотношений непосредственно следует

Отсюда:

Итак, при оптимальном использовании ресурсов цена предельного продукта любого ресурса равна цене этого ресурса за единицу его физического объема.

Итак, при оптимальном использовании ресурсов цена предельного продукта любого ресурса равна цене этого ресурса за единицу его физического объема.

Следовательно, для любых двух ресурсов i и j имеем соотношение:

Таким образом, в оптимальном решении предельные производительности ресурсов относятся как их цены. Предельная норма замещения j-го ресурса i-м ресурсом равна обратному отношению их цен. Для любого ресурса на каждую дополнительную единицу его затрат приходится один и тот же предельный продукт. Легко понять, что любое иное решение не может быть оптимальным: если в каком-либо варианте плана один из ресурсов на рубль затрат дает больше приращения, чем другие ресурсы, то план можно улучшить увеличив затраты этого ресурса за счет других, менее эффективных. Но план, который можно улучшить, не является оптимальным. И лишь в оптимальном решении устанавливается одинаковое отношение предельного эффекта и цены каждого из ресурсов:

Эти выводы могут иметь определенное значение для решения вопросов ценообразования.

3.3. Методы вероятностно-статистического моделирования в оценке

ресурсного и производственного потенциалов

По своей сути ресурсный потенциал представляет собой обобщающий показатель ресурсообеспеченности сельского хозяйства и его расчет заключается в определении суммарной оценки всех ресурсов. Основная трудность в построении такого показателя заключается в несоизмеримости различных видов ресурсов: земельных, трудовых и материальных. Теоретической основой их соизмерения является концепция взаимозаменяемости разных видов ресурсов в процессе производства.