Линейные автоматические системы регулирования (стр. 3 )

(2.9)

Составим матрицы:

Транспонируем матрицу L:

Используя метод наименьших квадратов, решим систему (2.9):

Находим произведение :

Находим произведение :

Находим постоянную времени Т:

Для оценки полученной постоянной времени вычислим аналитические значения функции по формуле (2.7) и сравним их с экспериментальными данными, а так же найдем ошибку.

Результаты сведем в таблицу 9.

Таблица 9-Результаты расчета

I	1	2	3	4	5	6	7	8	9
	0	1	2	3	4	5	6	7	9
	0	0.01	0.04	0.1 6	0.42	0.83	0.91	0.96	1
	0	0.545	0.93	1.2	1.4	1.5	1.6	1.69	1.77
	0	0.535	0.89	1.04	0.98	0.67	0.69	0.73	0.77

Найдем сумму квадратов отклонений.

2.2 Ручной расчет коэффициентов для полинома первого порядка с запаздывание

Отличие математической модели с запаздыванием от математической модели без запаздывания выражается во времени запаздывания, τ.

Системой с запаздыванием называется система, в которой имеется звено, обладающее таким свойством, что реакция на его выходе отстает по времени на некоторую величину .

Звено первого порядка с запаздыванием описывается уравнением вида:

Решением дифференциального уравнения (2.10) запишем в виде:

(2.11)

где:

Найдем постоянную времени Т и время запаздывания τ методом наименьших квадратов. Преобразуем выражение (2.12).

(2.12)

(2.13)

Прологарифмируем выражение (2.14)

(2.14)

где: , значение смотри в таблице 6.

Составим систему алгебраических уравнений первого порядка, причем число уравнений равно числу состояний объекта в эксперименте, кроме точек, так как в этом значении , а так же точку , так как в этой точке не существует.

(2.15)

Составим матрицы:

Транспонируем матрицу L:

Используя метод наименьших квадратов, решим систему (2.17):

Находим произведение

Находим произведение

Найдем главный определитель Δ:

Находим вспомогательные определители: и подставляя матрицу поочередно в первый и второй столбцы матрицысоответственно

Находим Т и τ:

Для оценки полученных значений вычислим аналитические значения функции, воспользовавшись формулой (2.12) и сравним их с экспериментальными данными. Результаты сведем в таблицу 8.

При этом: исключаем из таблицы (< ), а также не учитываем при расчете суммы квадратов отклонений.

Таблица 10 - Результаты расчета

I	1	2	3	4	5	6	7	8	9
	0	1	2	3	4	5	6	7	9
	0	0.01	0.04	0.16	0.42	0.83	0.91	0.96	1
	0	0	0	1.758	1.793	1.813	1.824	1.831	1.837
	0	0	0	1.598	1.373	0.983	0.914	0.871	0.837

Найдем сумму квадратов отклонений.

2.3 Построение динамической модели объекта с помощью ЭВМ

2.3.1 Модель объекта первого порядка без запаздывания

Рисунок 3 – Динамическая характеристика объекта первого порядка без запаздывания

2.3.2 Модель объекта первого порядка c запаздыванием

Рисунок 4 – Динамическая характеристика объекта первого порядка с запаздыванием

2.3.3 Модель объекта второго порядка без запаздывания

Рисунок 5 – Динамическая характеристика объекта второго порядка без запаздывания

2.3.4 Модель объекта второго порядка с запаздыванием

Рисунок 6 – Динамическая характеристика

3 Построение математической модели объекта

Для того чтобы получить математическую модель исследуемого объекта необходимо исследовать поведение объекта в статистических и динамических режимах. Произведя оценку результатов динамических характеристик первого и второго порядков, выбираем модель наиболее адекватно отражающую поведение объекта в заданном диапазоне (сравним суммы квадратов отклонений). Пусть имеем передаточную функцию в виде свернутого степенного полинома, который необходимо представить в обычной форме.

,

где T – постоянная времени; определена при обработке данных;

k – коэффициент передачи объекта.

Звено запаздывания, реально имеющееся в большинстве объектов, оставляет некоторые неудобства при расчетах систем управления. Являясь, в общем случае, нелинейным звеном, его передаточная функция не может быть в исходном виде использована, например, для исследования систем на устойчивость, для построения переходных процессов и т. п. Поэтому часто выбирают приближенное представление передаточной функции этого звена в виде степенного ряда.

Передаточная функция звена запаздывания имеет вид:

,

где – время запаздывания.

Разложение этой функции в степенной ряд будет иметь вид:

,

Где O(p) - остаток.

Разложение выше третьего порядка не рекомендуются, так как при определенных значениях k,τ,T возникают значительные фазовые искажения, которые могут привести к неустойчивости системы.

Однако на практике требуется разложение в виде отношения полиномов числителя и знаменателя. Тогда:

W(p)=

Перемножив объект и звено запаздывания, получим искомую передаточную функцию: