Народное образование в ХХI веке (стр. 2 )

Б) В доме может быть больше 10 этажей.

В) Некоторые люди носят очки.

Г) У кошки четыре ноги.

Д) Иногда шторм длится более пяти дней.

Е) Есть люди, которые не умеют плавать.

Ж) Некоторые медведи зимой не спят.

З) Акулы - хищные рыбы.

И) Вороны иногда остаются зимовать в городе.

К) В пустыне Сахара иногда идёт дождь.

Л) Каждый охотник желает знать, где сидит фазан.

n  Придумайте различные способы формулировки высказываний:

1) Все птицы имеют крылья.

2) Некоторые птицы не умеют летать.

n  Придумай истинные и ложные высказывания типа «хотя бы один».

n  Докажи, что существует натуральное число Х, такое, что:

а) 3х>128

б)3x<28

в)42x>215

г)42x<215

д.)2x-4=92

е.)12x-7x=90

ж)(24+32x)/11=8

з.)x(6-x)=8

и)(x-1)*(x+11)=0

к)35/x-35(x-2)=2

л)x+(x+1)+(x+2)=18

м)(2x-1)*(3x-2)*(4x-3)=1

Домашнее задание.

1) Докажи, что существует такое натуральное число х, что:

-38x<1569

-38x>1569

-(x+1)*(x+2)*(x+3)=60

-x*(x+1)*(x+2)=210

-3x-1=935

-5x+x=1308

2) Докажи следующие утверждения:

Существует натуральное решение неравенства .

Произведение двух натуральных чисел может быть меньше четырёх.

Иногда сумма цифр двузначного числа больше их произведения.

Некоторые делители числа 18 являются также делителями числа 15.

3) Проверь истинность неравенства:

Занятие 4.

Тема: О доказательстве общих утверждений.

Цель: Научить доказывать ложность общих утверждений, понятие контр примера.

Урок можно начать с математического диктанта.

1. Докажи следующие утверждения:

а) Существует трёхзначное число, больше 995.

б) Некоторые делители числа 28 нечётные числа.

в) Существует число, кратное одновременно 8 и 12.

2. Докажи, что существует натуральное число х такое, что:

а) x*(5-x)=6

б) 3x-1=8

в) 4x>100

3. Докажи или опровергни утверждения:

А) Все числа кратны 10

Б) Любое число, оканчивающееся цифрой 3, делится на 3.

В) Некоторые решения неравенства 2<x<=7

Г) Каждый делитель числа 10 является делителем числа 12.

Новая тема.

В математическом диктанте вы доказывали или опровергали утверждения. Вернёмся к последнему заданию. «Все числа кратны 10».

Это высказывание общего вида, оно ложно, поэтому достаточно привести контр пример: 11 и высказывание будет отвергнуто.

«Некоторые решения неравенства 2<x<=7 являются четными числами».

Это высказывание типа «Хотя бы один» истинно, что бы это доказать, достаточно назвать решения неравенства 4 и 6.

Таким образом, если общее высказывание ложно, то доказать это можно приведя один пример, если общее высказывание истинно, то что бы это доказать, надо перебрать все элементы множества и проверить их на истинность.

Например, высказывание «Все мальчики 5 класса посещают математический кружок» легко доказать, сверив список мальчиков 5 класса в журнале со списком мальчиков, посещающих математический кружок. Это нетрудно сделать, так как число мальчиков - конечное множество.

Но в математике дело обстоит не так просто - из-за того, что часто приходится иметь дело с бесконечными множествами, например, со всеми натуральными числами. Элементы бесконечного множества уже нельзя испытывать все, и при любом числе испытаний может оказаться, что ещё непроверенный элемент как раз и опровергает утверждение, которое мы хотим доказать. Вопрос, как доказать общее утверждение (если в нем говорится о бесконечном множестве) не имеет однозначно ответа. Есть разные способы, и мы будем о них говорить позднее. Но есть в математике утверждения, которые до сих пор не доказаны.

Закрепление.

Докажи методом перебора следующие утверждения:

1. При делении на 9 любого числа из множества (20; 56; 101) в остатке получается 2.

2. Все числа из множества (273, 343, 1505) делятся на 7.

3. Каждая фигура на рисунке имеет ось симметрии.

Ромб.

4. Докажи или отвергни следующее утверждение:

n  Все летние месяцы состоят из 31 дня.

n  При переводе в неправильную дробь любого смешанного из множества в числителе получается 83.

n  Уравнение x*(x-5)*(x-7)*(x+11)=0 имеет натуральные корни.

n  Между числами 200 и 220 имеет 6 чисел, кратных 3.

n  Во множестве чисел от 40 до 50 каждое число имеет больше двух делителей.

n  49 шаров можно уложить в виде квадрата так, как показано на рисунке для 4, 9, 16 шаров:

Домашнее задание.

1). Любую из звёздочек в записи 5*5*5*5 можно зачеркнуть или поставить вместо неё знак умножения. Какое из полученных числовых выражений имеет наибольшее значение?

2). Докажи или опровергни следующие утверждения:

-Все числа из множествакратны 25.

n  Каждое число из множества имеет ровно два делителя.

n  При делении всех чисел из множества на число 7 в остатке получается 3.

3). Если каждому из своих детей мама даст 13 тетрадей, то у неё останется 8 тетрадей, если же она им даст по 15 тетрадей, то все тетради будут розданы. Сколько тетрадей было у мамы?

Обучения математике в профильных математических классах

В связи с переходом к профильной школе для учителей-практиков актуализируется проблема выбора программы обучения тому или иному предмету исходя из задач педагогического процесса в старших классах определенного профиля.

В данной статье представлена одна из программ, реализующая принципы профильного обучения в математических классах (8 уроков математики в неделю). В ней в полном объеме отражены разделы стандарта по математике, тематическое планирование курса адаптировано под действующие учебники для классов с углубленным изучением математики. Также в программу включены дополнительные разделы и темы (последовательности и пределы, элементы прикладной математики и т. д.), благодаря которым обеспечивается не только корректное введение всех основных математических понятий, но и формируется более полное представление о роли математики в современной науке и жизни. Данная программа делает учебный курс более системным и последовательным, а ее реализация способствует более качественной подготовке старшеклассников к поступлению в высшие учебные заведения и быстрой адаптации учащихся к изучению систематического курса высшей математики в самом вузе.

Программа была успешно апробирована автором в МОУ лицей г. Лобня. Можно отметить следующие основные особенности этой программы.

1. Нацеленность на поступление в вузы.

Известно, что цель обучения математике в школе состоит в том, чтобы каждый учащийся овладел такой системой знаний, умений и навыков, которая давала бы ему возможность:

- правильно понимать особенности отражения математикой законов о количественных отношениях и пространственных формах в природе, обществе и производственной деятельности;

- строить математические модели простейших учебных и практических ситуаций и находить решения возникающих при этом задач;

- использовать полученную математическую подготовку в практической деятельности и при продолжении образования.

Применительно к учащимся, при обучении которых реализуется идея углубленного математического образования, общие цели можно дополнить следующими:

- приобретение учащимися устойчивых прочных знаний по основным разделам математики и творческое использование теоретических знаний и математических методов исследования для решения разнообразных задач, в том числе и нестандартных;

- формирование у учащихся необходимых элементов логического мышления и пространственного воображения, а также таких мыслительных умений, как сравнение, анализ, синтез, обобщение и т. п.;

- развитие у учащихся познавательной инициативы, стремления к самостоятельной творческой работе, развитие математической интуиции.

Поэтому в программе отражен весь спектр теоретических тем и практических заданий, необходимых для реализации данных дидактических задач, а, значит, и для успешной сдачи вступительных экзаменов в высшие учебные заведения.

2. Углубленное прохождение тем, изучаемых в среднем звене школы.

В старшие профильные классы поступают не только учащиеся гимназических классов, но и учащиеся общеобразовательных классов, да еще, возможно, из разных школ. Поэтому начальная подготовка десятиклассников различна.

Но не только этим фактором вызвано обращение к таким темам, как вычисления, упрощение выражений, решения рациональных уравнений и неравенств и т. д. Речь идет не об «освежении» памяти учащихся по принципу «повторение – мать учения», а об углубленном рассмотрении данных тем, в том числе и с новых позиций. Благодаря такому подходу учащиеся более качественно понимают числовые системы, происходит ликвидация часто встречающегося неверного представления о числовых множествах, а именно: отождествления иррациональных чисел и корней, восприятия целых чисел как не рациональных и т. п. Обобщение и систематизация видов и методов решения рациональных уравнений, неравенств и их систем дополняется новыми, нестандартными идеями при решении соответствующих заданий повышенной сложности.

3. Изучение тем программы с позиций курса высшей математики.

Включение в программу элементов высшей математики вызвано отнюдь не желанием помочь учащимся в будущем быстрее адаптироваться к условиям высшего учебного заведения (для этой задачи в программе предусмотрен элективный курс), а необходимостью корректного рассмотрения тем школьного курса. Например, в профильных классах автор считает целесообразным перед прохождением темы «Производная» изучить теорию пределов. А перед тем, как начать изучение конкретных видов функций (линейной, квадратичной и т. д.) и соответствующих уравнений и неравенств, нужно рассмотреть большую тему «Функции и ее характеристики». Это способствует лучшему усвоению как последующего материала, так и «функциональной терминологии» в целом.

4. Рассмотрение вопросов прикладной математики с использованием информационных технологий.

Рассмотрение тем прикладной математики должно включать в себя не только ознакомление с основами данной математической дисциплины, но и вопросы применения фундаментальных идей и методов при решении конкретных практических задач. Это позволяет выстроить целостную линию обучения: фундаментальные знания ® математические методы познания ® преобразование действительности. Именно в реализации этой цепочки автор видит главный подход к ответам на такие важные вопросы, как:

- адекватное отражение в учебном процессе роли прикладной математики как одной из магистральных линий в современной математике;

- реализация принципа прикладной направленности в обучении математике;

- сочетание абстрактно-логического, алгоритмического и продуктивно-практического мышления школьника.

При подобной модификации содержания образования обучение математике выполняет функции, имманентные современной математической науке, развивает все виды мышления школьника, формирует видение математических закономерностей в повседневной практике и их использование на основе математического моделирования и компьютерного программирования.

Несколько пояснений к тексту программы.

1. Обычным шрифтом (профильный уровень) выделены темы программы, изучаемые непосредственно на уроках.

Курсивом (элективный уровень) отмечены дополнительные темы программы, предназначенные для изучения на факультативе.

2. Наличие в тексте программы деления многих тем на теоретическую и практическую части (например, «Методы решения... уравнений» и «Практикум по решению... уравнений») подчеркивает необходимость отработки на уроках практических умений и навыков по данному блоку программы. Отсутствие практической части означает, что данная тема преподносится в ознакомительном плане (что, однако, не уменьшает ее важности), или же в изучении данной темы превалируют лекционные формы работы.

1. Множества. Основные числовые множества. Действия над числами.

1. Основные понятия алгебры множеств.

Понятие множества. Подмножество. Пустое множество. Операции над множествами (объединение, пересечение, разность, дополнение). Эквивалентность множеств.

Основные законы алгебры множеств. Решение задач теории множеств.

2. Основные числовые множества.

Множество натуральных чисел (N, +, ×). Позиционная запись натурального числа. Простые и составные числа. Каноническое разложение натурального числа на простые множители. Признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 9, 10, 11. Общий признак делимости. Делители и кратные, НОД и НОК. Алгоритм Евклида для нахождения НОД двух чисел. Взаимно простые числа.

Множество целых чисел (Z, +, ×, -).

Множество рациональных чисел (Q, +, ×, -, :). Различные формы записи рационального числа (обыкновенная дробь, смешанная дробь, бесконечная периодическая десятичная дробь), перевод числа из одной формы записи в другую. Сложение, вычитание, умножение и деление рациональных чисел. Сравнение рациональных чисел. Практикум по решению примеров на рациональные числа.

Недостаточность рациональных чисел для измерения отрезков числовой оси. Иррациональное число как бесконечная непериодическая десятичная дробь. Множество R действительных (вещественных) чисел. Упорядочение множества бесконечных десятичных дробей. Теорема об эквивалентности условий , если .

Некоторые конкретные множества действительных чисел (сегмент, интервал, полусегмент и полуинтервал, e-окрестность, полупрямая и т. д.), изображение множеств на числовой прямой.

Модуль числа, основные свойства модулей.

Приближение действительных чисел рациональными с любой степенью точности.

Мощность множества. Счетные множества. Равномощность множеств N, Z и Q. Несчетность множества R. Множества мощности континуум.

3. Степени и корни.

Степень. Возведение в натуральную степень, свойства степени с натуральным показателем.

Возведение в нулевую и отрицательную целую степени, свойства степени.

Корень. Арифметический корень. Основные свойства арифметических корней. Вынесение множителя из-под знака корня. Внесение множителя под знак корня. Приведение корней к одному показателю. Практикум по решению примеров на простейшие действия с корнями, на вынесение множителя из-под знака корня, на свойства корней .

Степень с дробным показателем, ее свойства. Практикум по решению примеров на действия со степенями.

Освобождение от иррациональностей в знаменателе дроби. Практикум по решению примеров на освобождение от иррациональностей в знаменателе дроби.

Сложные радикалы. Практикум по решению примеров на сложные радикалы.

Сравнение чисел. Свойства числовых неравенств, возведение неравенств в степень. Пропорции. Сравнение положительных дробей методом пропорции.

Возведение в действительную степень.

Рекомендации по решению арифметических примеров. Практикум по решению комбинированных примеров.

Решение нестандартных (олимпиадного типа) примеров.

4. Элементы теории погрешностей.

Виды погрешностей. Погрешность математической модели. Неточность исходной информации (неточность измерений). Погрешность метода. Вычислительная погрешность (округление).

Правила округления числа. Абсолютная и относительная погрешности числа. Верные значащие цифры.

Прямая задача теории погрешностей. Погрешность результатов арифметических операций. Накопление погрешности округления.

Обратная задача теории погрешностей.

Запись чисел в ЭВМ. Рекомендации для практической организации вычислений на компьютере.

5. Первоначальное ознакомление с комплексными числами.

Понятие комплексного числа. Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел (в алгебраической форме).

Сопряженное комплексное число, его свойства.

Извлечение квадратного корня из комплексного числа.

2. Упрощение алгебраических выражений, доказательство тождеств и неравенств.

1. Алгебраические выражения.

Алгебраические выражения, их виды. ОДЗ алгебраического выражения.

2. Многочлены.

Одночлен. Степень одночлена. Стандартный вид одночлена. Подобные одночлены.

Многочлен. Степень многочлена. Стандартный вид многочлена. Сумма, разность и произведение многочленов.

Однородные многочлены и их свойства.

Симметрические многочлены и их свойства. Выражение симметрических многочленов с двумя переменными х и у через х+у и ху.

Деление многочленов «уголком». Неполное частное и остаток. Деление многочленов методом неопределенных коэффициентов. Практикум по делению многочленов.

Алгоритм Евклида для нахождения НОД двух многочленов. НОК двух многочленов.

Теорема Безу, следствие из нее. Схема Горнера.

Корни многочлена. Кратные корни многочлена. Разложение многочлена на множители. Практикум по разложению многочленов на множители. Теорема Виета (и обратная к ней) для квадратного трехчлена. Теорема Виета для произвольного многочлена.

3. Методы упрощения алгебраических выражений и доказательства тождеств.

Упрощение целых и дробно-рациональных выражений с применением формул сокращенного умножения. Практикум по упрощению рациональных выражений.

Упрощение иррациональных выражений методом замены. Идея домножения на сопряженное выражение. Ветвления при упрощении иррациональных выражений. Практикум по упрощению иррациональных выражений.

Тождество. Связь между тождеством и равенством. Основные методы доказательства алгебраических тождеств. Практикум по доказательству тождеств.

Решение нестандартных заданий на упрощение выражений и доказательство тождеств.

4. Метод математической индукции.

Полная и неполная индукция. Метод математической индукции. Доказательство тождеств и неравенств методом математической индукции.

Формула бинома Ньютона и ее доказательство методом математической индукции.

5. Важнейшие алгебраические неравенства.

Неравенство при и при .

Неравенства, связанные с модулями.

Неравенство при .

Связь между средним арифметическим, средним геометрическим, средним квадратичным и средним гармоническим. Неравенства Коши-Буняковского и Чебышева.

3. Функции и последовательности.

1. Первоначальные сведения о функциях.

Постоянные и переменные величины. Числовая функция. Область определения и множество значений функции. Однозначная функция.

Аналитическое задание функции. Кусочное задание функции. Функции, заданные словесным описанием, примеры. Параметрический способ задания функции. Табличный способ задания функции. Наглядные способы задания функции. График функции.

Арифметические операции над функциями. Сложная функция.

2. Числовые последовательности.

Числовая последовательность как числовая функция, заданная на множестве натуральных чисел. Способы задания последовательности. Рекуррентные последовательности. Арифметическая и геометрическая прогрессии.

3. Преобразование графиков функций.

Координатное задание геометрических преобразований. Сдвиг, параллельный перенос. Гомотетия. Растяжение и сжатие.

Построение графиков функций f(x±a), f(x)±a, - f(x), a×f(x), f(-x), f(ax), f(ax+b), , . Метод суперпозиции при построении графиков функции.

4. Элементарное исследование функций.

Четные и нечетные функции, их свойства. Периодические функции, их свойства.

Возрастающие, убывающие, невозрастающие, неубывающие функции. Монотонные функции.

Обратная функция, условие обратимости однозначных функций.

Ограниченные сверху (снизу) функции. Ограниченные и неограниченные функции.

4. Введение в теорию пределов.

1. Последовательность и ее предел.

Арифметические операции над последовательностями. Ограниченные и неограниченные последовательности. Верхняя и нижняя грани. Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности. Основные свойства бесконечно малых последовательностей.

Сходящиеся последовательности. Предел последовательности. Задания на доказательство и нахождение . Основные свойства сходящихся последовательностей. Основные теоремы о пределах. Предел суммы, разности, произведения и частного двух последовательностей. Решение заданий на нахождение пределов последовательностей.

Особые случаи пределов и неопределенности. Решение заданий на раскрытие неопределенностей вида .

Монотонные последовательности. Сходимость монотонной ограниченной последовательности. Теорема о вложенных отрезках. Число . Решение заданий на вычисление пределов рекуррентно заданных последовательностей.

Подпоследовательность. Предельные точки. Верхний и нижний пределы. Теорема Больцано-Вейерштрасса.

2. Предел функции.

Предел функции в точке (по Коши), пояснения к определению, графическая интерпретация. Задания на доказательство (на языке ). Предел функции по Гейне, их эквивалентность. Правый и левый пределы функции в точке. Предел функции на бесконечности.

Арифметические операции над функциями, имеющими предел. Задания на вычисление пределов. Предел дробно-рациональной функции при . Задания на раскрытие неопределенностей.

Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших. Эквивалентные величины. Главная часть бесконечно малой. Задания на эквивалентные замены в пределах.

5. Непрерывность и разрывы функции.

1. Основные понятия.

Непрерывность функции в точке. Односторонняя непрерывность. Непрерывность функции на промежутке.

Точки разрыва функции, разные подходы к определению точки разрыва. Классификация точек разрыва, примеры.

2. Свойства непрерывных функций.

Непрерывность суммы, разности, произведения и частного двух функций. Непрерывность сложной функции. Непрерывность обратной функции.

Первая теорема Больцано-Вейерштрасса. Вторая теорема Больцано-Вейерштрасса. Первая теорема Вейерштрасса. Вторая теорема Вейерштрасса.

3. Применения свойств непрерывных функций.

Существование корней уравнения. Нахождение корней уравнения методом деления отрезка пополам. Метод интервалов при решении неравенств. Корректность определения степени с иррациональным показателем.

4. Замечательные пределы.

Первый замечательный предел. Второй замечательный предел.

Задания на применение замечательных пределов.

6. Основы дифференциального исчисления.

1. Производная и дифференциал.

Приращение аргумента. Приращение функции. Разностная форма условия непрерывности функции в точке.

Определение производной. Правая и левая производные. Физический и геометрический смысл производной.

Определение дифференцируемости функции, критерий дифференцируемости. Связь между дифференцируемостью и непрерывностью.

Производная постоянной. Производная линейной функции. Производные функций , . Производная функции . Производная дробно-линейной функции. Производная функции .

Дифференциал функции, его геометрический смысл. Дифференциал аргумента, равенство в случае независимой переменной.

Производная сложной функции. Производная обратной функции.

Производная суммы, разности, произведения и частного функций.

Практикум по дифференцированию многочленов, дифференцированию дробно-рациональных и иррациональных функций. Практикум по дифференцированию сложных функций.

Производные и дифференциалы высших порядков. Физический смысл второй производной.

Практикум по нахождению производных высших порядков некоторых функций.

Дифференцирование функции, заданной параметрически.

Решение более сложных заданий на нахождение производных. Формы записи ответов.

2. Основные теоремы о дифференцируемых функциях.

Достаточное условие возрастания (убывания) дифференцируемой функции в точке. Локальные максимумы и минимумы, локальные экстремумы.

Теорема Ферма. Теорема Ролля, ее геометрический смысл. Теорема Лагранжа. Понятие касательной. Геометрический смысл теоремы Лагранжа. Запись утверждения теоремы Лагранжа в виде формулы конечных приращений. Постоянство функции, имеющей на интервале равную нулю производную. Критерий неубывания (невозрастания) дифференцируемой функции на интервале.

Теорема Коши. Правило Лопиталя. Вычисление пределов по правилу Лопиталя.

Формула Тейлора. Остаточный член в форме Лагранжа. Формула Маклорена. Разложение функции в ряд Тейлора, примеры. Вывод формулы бинома Ньютона.

7. Приложения производной.

1. Исследование функций и построение их графиков.

Недостатки метода построения графика функции «по точкам».

Критические точки функции. Первое достаточное условие экстремума функции в точке. Второе и третье достаточные условия экстремума функции в точке.

Выпуклость графика функции, исследование направления выпуклости с помощью второй производной.

Точки перегиба. Необходимое условие перегиба графика функции, дважды дифференцируемой в точке. Первое достаточное условие перегиба. Второе и третье достаточные условия перегиба.

Вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты графика функции. Асимптоты более сложного вида.

Схема исследования функции. Практикум по построению графиков алгебраических функций. Решение более сложных заданий на построение графиков функций.

2. Написание уравнений касательных к графику функции.

Уравнение касательной к графику функции в точке. Методы построения касательных к параболе и гиперболе. Уравнение касательной, проведенной к графику функции из точки, не лежащей на графике. Уравнение общей касательной к графикам функций. Решение практических заданий на касательные.

3. Задачи на экстремум.

Глобальные и локальные свойства функций. Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции на сегменте.

Краевой экстремум. Необходимое и достаточное условия краевого экстремума.

Решение алгебраических и геометрических задач на отыскание наибольшего и наименьшего значений некоторой функции. Сложные задачи на экстремум.

4. Приближенное решение уравнений.

Постановка задачи. Отделение корней.

Метод простой итерации, геометрическая интерпретация метода. Достаточные условия сходимости метода.

Метод касательных (Ньютона), условия его сходимости.

Метод хорд (секущих).

Понятие о скорости сходимости методов.

5. Практическое вычисление значений аналитически заданной функции.

Постановка задачи. Применение ряда Тейлора для решения задачи. Вычисление значений многочлена по правилу Горнера. Реализация вычисления функций на ЭВМ.

6. Практическое вычисление значений таблично заданной функции.

Постановка задачи интерполирования. Узлы интерполяции. Экстраполяция. Основная задача теории прогнозов.

Полином Лагранжа. Общие понятия о системе функций Чебышева. Понятие об интерполировании сплайнами. Влияние различных постановок проблемы на выбор численных методов.

7. Производные и доказательство неравенств.

Основная идея метода. Практикум по доказательству алгебраических неравенств с применением производной.

8. Применения дифференциалов для приближенных вычислений.

Вычисление приближенного значения функции вблизи точки путем замены на .

Получение приближенных формул в окрестности точки.

Применение дифференциалов к оценке погрешности расчетов по точным формулам с неточными исходными данными.

8. Матрицы и определители.

1. Основные понятия.

Определение матрицы. Строки и столбцы матрицы. Квадратная матрица. Главная диагональ матрицы. Единичная матрица. Равенство матриц.

2. Операции над матрицами.

Сложение матриц. Умножение матрицы на число. Умножение матриц. Основные свойства операций над матрицами.

3. Определители.

Определитель. Минор. Алгебраическое дополнение. Свойства определителей. Практикум по вычислению определителей.

4. Обратная матрица.

Транспонированная матрица. Обратная матрица. Методы нахождения обратной матрицы.

9. Уравнения, неравенства и их системы первой степени.

1. Линейная функция.

Линейная функция и ее график. Свойства линейной функции. Построение графиков функции, сводящихся к линейным. Методы суперпозиции и разбора случаев.

2. Уравнения первой степени.

Уравнения. Равносильные уравнения. Уравнения-следствия.

Линейное уравнение. Уравнения, сводящиеся к линейным, и содержащие модули, аналитические и графические методы их решения. Практикум по решению уравнений первой степени.

3. Системы уравнений первой степени.

Системы и совокупности уравнений. Равносильные системы. Системы линейных уравнений. Однородная и неоднородная системы линейных уравнений.

Метод подстановки. Метод Гаусса. Правило Крамера (вывод на примере системы двух уравнений). Число решений системы линейных уравнений, графическая интерпретация. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений.

Матричная форма записи системы линейных уравнений. Решение системы матричным способом.

Практикум по решению систем линейных уравнений и систем уравнений первой степени.

Итерационный метод (Гаусса-Зейделя) приближенного решения систем линейных уравнений, его геометрическое представление для случая системы с двумя переменными. Условие сходимости метода. Приведение матрицы к виду с диагональным преобладанием.

4. Неравенства первой степени и их системы.

Неравенство. Неравенство-следствие. Линейное неравенство. Неравенства, сводящиеся к линейным, и содержащие модули, аналитические и графические методы их решения. Системы неравенств первой степени. Изображение плоских областей, заданных неравенствами первой степени и их системами. Практикум по решению неравенств первой степени и их систем. Практикум по изображению плоских областей.

5. Уравнения, неравенства первой степени и их системы с параметрами.

Понятие параметра. Аналитические и графические методы решения уравнений, неравенств и их систем первой степени с параметрами. Формы записи ответов. Практикум по решению заданий с параметрами. Решение более сложных заданий с параметрами.

6. Дробно-линейная функция. Дробно-линейные уравнения и неравенства.

Дробно-линейная функция, ее график. Свойства дробно-линейной функции. Дробно-линейные уравнения. Решение дробно-линейных неравенств методом интервалов. Изображение плоских областей. Решение дробно-линейных уравнений и неравенств с параметрами. Решение более сложных заданий с параметрами.

7. Уравнения первой степени в целых числах.

Неопределенные уравнения. Линейные уравнения в целых числах. Метод подбора. Метод графической решетки. Метод последовательного деления в более сложных случаях. Применение формул теории сравнений.

10. Уравнения, неравенства и их системы второй степени.

1. Квадратичная функция.

Квадратичная функция, ее график. Свойства квадратичной функции. Построение графиков квадратичных функций, содержащих модули.

2. Квадратные и сводящиеся к ним уравнения.

Квадратные уравнения. Формула корней квадратного уравнения. Исследование числа корней квадратного уравнения, графическая интерпретация. Решение квадратных уравнений, содержащих модули. Дробно-рациональные уравнения, сводящиеся к квадратным. Практикум по решению рациональных уравнений.

3. Уравнения второй степени с двумя неизвестными.

Общий вид уравнения второй степени с двумя неизвестными. Решение уравнения второй степени с двумя (и более) неизвестными методом выделения полного квадрата. Решение уравнения второй степени с двумя неизвестными методом выделения главной переменной по формуле корней квадратного уравнения.

Исследование уравнений второго порядка с двумя неизвестными. Классификация кривых второго порядка.

Уравнение второго порядка с тремя неизвестными. Классификация поверхностей второго порядка.

4. Уравнения второй степени в целых числах.

Решение уравнений второй степени в целых числах методом разложения на множители. Метод выделения целой части. Нестандартные приемы решения уравнения в целых числах.

5. Квадратные и дробно-рациональные неравенства.

Квадратные неравенства. Дробно-рациональные неравенства. Решение дробно-рациональных неравенств методом интервалов. Изображение плоских областей. Практикум по решению неравенств и изображению плоских областей.

6. Системы уравнений второй степени и методы их решения.

Система уравнений второй степени. Равносильные переходы. Метод подстановки и исключения неизвестных. Метод разложения уравнения системы на множители. Метод замены переменных. Симметрические системы уравнений и метод их решения. Системы, содержащие однородные многочлены, метод их решения. Методы сложения, умножения и деления уравнений системы. Практикум по решению систем уравнений. Решение нестандартных систем уравнений второй степени.