Народное образование в ХХI веке (стр. 3 )

7. Задания с параметрами.

Различные постановки заданий с параметрами. Прямое решение уравнения с параметром, алгоритм данного метода. Понятие частного случая. Определение числа решения уравнения с помощью линии параметра. Формы записи ответа.

Ветвления. Рациональные уравнения с параметром. Системы рациональных уравнений с параметром.

Графическое решение уравнений и неравенств с параметрами. Параллельный перенос в заданиях с параметрами. Поворот. Гомотетия и сжатие к прямой. Применение метода интервалов на координатной плоскости.

Рациональные неравенства и системы неравенств с параметрами. Графическое решение систем неравенств с параметрами.

Задания на теорему Виета. Исследование расположения корней квадратичной функции.

Решение более сложных заданий с параметрами.

11. Уравнения, неравенства и их системы высших степеней.

1. Методы решения уравнений высших степеней.

Алгебраические уравнения n-ой степени. Нахождение рациональных корней уравнения с целыми коэффициентами. Деление «столбиком».

Разложение уравнения на множители методом неопределенных коэффициентов при отсутствии рациональных корней.

Метод замены. Возвратные уравнения. Приведение к однородному уравнению. Использование монотонности функции. Метод выделения полного квадрата. Переход от системы уравнений к системе неравенств.

Уравнения вида . Уравнения вида , где . Уравнения вида , где . Уравнения вида , где . Уравнения вида (теорема о корне).

Дробно-рациональные уравнения.

Практикум по решению уравнений высших степеней.

Формула Кардана решения уравнений третьей степени. Метод Феррари решения уравнений четвертой степени. Проблема точного решения уравнения степени выше четвертой.

Решение нестандартных уравнений.

2. Рациональные неравенства высших степеней.

Решение рациональных неравенств методом интервалов.

Практикум по решению рациональных неравенств и их систем.

3. Системы уравнений высших степеней.

Основные методы решения систем уравнений высших степеней. Замена. Сложение, умножение и деление уравнений системы. Приведение уравнений системы к одному показателю степени. Применение теоремы о корне. Применение теоремы Виета. Метод мажорант. Практикум по решению систем уравнений высших степеней.

Решение более сложных систем уравнений высших степеней.

4. Уравнения, неравенства и их системы высших степеней с параметрами.

Аналитические приёмы решения основных уравнений и систем высших степеней с параметрами. Метод мажорант. Идея монотонности. Использование теоремы о корне.

Графическое решение уравнений с параметрами. Графические методы решения неравенств с параметрами.

Практикум по решению уравнений, неравенств и их систем высших степеней с параметрами.

12. Иррациональные уравнения, неравенства и их системы.

1. Иррациональные функции. Степенная функция с дробным показателем.

График функции , ее свойства. Функция , ее график и свойства (разбор случаев). График функции , ее свойства (разбор случаев).

2. Иррациональные уравнения и их системы.

Решение уравнений видов , , , . Решение иррациональных уравнений методом замены. Решение иррациональных уравнений вида методом возведения в квадрат. Случай сложных радикалов. Решение иррациональных уравнений методом замены корней и переходу к системе рациональных уравнений. Метод домножения на сопряженное выражение (сопряженные выражения).

Основные методы решения систем иррациональных уравнений. Замена переменной. Метод алгебраического сложения. Равносильные преобразования. Использование монотонности. Использование геометрических соображений.

Методы решения некоторых нестандартных иррациональных уравнений и их систем.

Решение степенных уравнений с дробным показателем.

Практикум по решению иррациональных уравнений и их систем.

3. Иррациональные неравенства.

Неравенства вида , , , . Неравенства . Неравенства .

Графическое решение иррациональных неравенств. Изображение плоских областей, заданных иррациональными неравенствами.

Метод интервалов решения иррациональных неравенств, его особенности.

Практикум по решению иррациональных неравенств и изображению плоских областей. Решение более сложных заданий на иррациональные неравенства и изображение плоских областей.

4. Иррациональные уравнения, неравенства и их системы с параметрами.

Аналитическое решение несложных иррациональных уравнений с параметрами. Применение теоремы о корне. Использование ОДЗ при решении уравнений и неравенств. Параметр как равноправная переменная.

Графическое решение иррациональных уравнений и неравенств с параметрами.

Практикум по решению иррациональных уравнений и неравенств с параметрами.

13. Задачи основных видов.

1. Простейшие задачи.

Задачи, решаемые по действиям. Составление линейных уравнений и их систем для решения задач.

2. Задачи на числа.

Простейшие задачи на числа. Задачи на позиционную запись натурального числа. Задачи теории делимости. Нестандартные задачи на числа. Практикум по решению задач на числа.

3. Задачи по комбинаторике и теории вероятностей. Задания на бином Ньютона.

Перестановки, размещения, сочетания и их свойства. Перестановки, размещения, сочетания с повторениями.

Задачи на бином Ньютона.

Правила сложения и умножения. Решение уравнений и простейших задач. Более сложные задачи по комбинаторике (абитур-уровень и олимпиадные задачи).

Практикум по решению комбинаторных задач.

Классическое и статистическое определение вероятности. Геометрические вероятности. Простейшие вероятностные задачи.

Задачи на сложение и умножение вероятностей. Формула Бернулли. Задачи на формулу полной вероятности и формулу Бейеса.

Случайная величина. Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратичное отклонение. Закон распределения случайной величины. Понятие о нормальном законе распределения.

Генеральная совокупность и выборка. Параметры генеральной совокупности и их оценка по выборке. Понятие об уровнях значимости и достоверности. Оценка вероятности события по частоте. Понятие о проверке статистических гипотез.

Практикум по решению задач теории вероятностей.

4. Целочисленные задачи.

Постановки задач. Сведение решения к целочисленному уравнению, неравенству или их системе. Графический метод решения. Практикум по решению целочисленных задач.

5. Задачи на прогрессии.

Задания на арифметическую прогрессию. Задания на геометрическую прогрессию. Смешанные задания. Текстовые задачи на прогрессию. Практикум по решению задач на прогрессии.

6. Задачи на части и проценты.

Часть числа. Процент от числа. Нахождение части числа. Нахождение числа по заданной его части. Нахождение процентного отношения двух чисел. Сложные проценты, банковские задачи. Основные приемы решения задач на проценты. Практикум по решению задач на части и проценты.

7. Задачи на концентрации и смеси.

Задачи на растворы. Задача на переливаний. Задачи на сплавы и их соединения. Практикум по решению задач на концентрации и смеси.

8. Задачи на движение.

Движение одного тела. Равномерное и равноускоренное движение. Средняя скорость. Прямолинейное движение двух и более тел. Движение нескольких тел по кругу. Более сложные движения. Практикум по решению задач на движения.

9. Задачи на работу и производительность.

Задачи на работу. Аналогия с задачами на движение. Задачи на «бассейн». Практикум по решению задач на работу и производительность.

10. Задачи линейного программирования.

Задачи об использовании сырья, использовании оборудования. Транспортная задача. Задача о питании. Постановка основной задачи линейного программирования. Графический метод решения простейших задач, примеры решения задач. Понятие о симплекс-методе, простота его реализации на ЭВМ.

11. Текстовые задачи с параметрами.

Задачи с параметрами, учет ограничений при решении задач. Практикум по решению текстовых задач с параметрами.

14. Тригонометрия.

1. Тригонометрические функции.

Основные трансцендентные функции. Тригонометрические функции.

Геометрическое введение синуса, косинуса, тангенса и котангенса, связь между ними. Основные тригонометрические тождества. Значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса основных углов первой четверти.

Синус и косинус как координаты точек единичной окружности. Знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов в разных четвертях.

Вывод формул приведения. Сведение аргументов тригонометрических функций к углам промежутка .

Введение синуса, косинуса, тангенса и котангенса как функций числового аргумента. Графики функций , , , . Исследование тригонометрических функций по графикам.

Построение графиков функций , где - одна из тригонометрических функций, методом суперпозиций.

Практикум по простейшим тригонометрическим вычислениям, упрощению тригонометрических выражений. Практикум по построению графиков тригонометрических функций методом суперпозиций. Графики с модулями.

2. Основные формулы тригонометрии и их применение к упрощению выражений и доказательству тождеств.

Связь между и . Выражение через и .

Упрощение иррациональных тригонометрических выражений. Ветвления.

Выражение дробей вида через , где и могут быть приведены к однородным «многочленам» одной степени.

Исключение угла из параметрической системы уравнений.

Упрощение тригонометрических выражений по формулам приведения.

Формулы сложения. Формулы приведения как частный случай формул сложения. Формулы двойного и тройного аргументов.

Формула вспомогательного угла.

Формулы понижения степени. Упрощение выражений вида и .

Формулы половинного угла.

Формулы преобразования суммы и разности тригонометрических функций в произведение.

Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму.

Практикум по применению формул тригонометрии к вычислениям, упрощению тригонометрических выражений и доказательству тождеств.

3. Доказательство тригонометрических неравенств.

Применение ограниченности функций и для доказательства тригонометрических неравенств. Применение формул вспомогательного угла для нахождения наибольшего и наименьшего значений выражения. Нахождение наибольшего и наименьшего значений «многочленов» , сведением к системе рациональных неравенств с эквивалентной заменой , . Применение формул тригонометрии к доказательству неравенств.

Практикум по доказательству тригонометрических неравенств.

4. Нахождение периодов периодических функций.

Главные периоды тригонометрических функций , , , . Методы доказательства непериодичности функций.

Период функции , где - одна из тригонометрических функций.

Теорема об общем периоде функций с рациональными периодами . Алгоритм нахождения периода тригонометрической функции. Более сложные задания на периоды.

5. Производные тригонометрических функций. Вычисление значений тригонометрических функций на ЭВМ.

Производная функции . Производная функции . Производные функций и . Практикум по дифференцированию тригонометрических функций. Решение заданий, связанных с производными.

Разложение функций и в ряд Маклорена. Оценка остаточного члена при . Вычисление значений тригонометрических функций на ЭВМ.

6. Тригонометрические уравнения.

Уравнения , , , , частные случаи. Формы записи ответов.

Простейшие уравнения. Уравнения с дополнительными условиями, отбор корней. ОДЗ тригонометрического уравнения, изменение ОДЗ при применении формул , , и т. д. Посторонние корни, их учет при записи ответов. Схема решения тригонометрического уравнения.

Уравнения, сводящиеся к квадратным. Метод замены.

Разложение на множители.

Решение однородных тригонометрических уравнений.

Уравнения, решаемые с помощью формул преобразования суммы тригонометрических функций в произведение.

Уравнения, решаемые с помощью формул понижения степени.

Уравнения, решаемые с помощью формул преобразования произведения тригонометрических функций в сумму.

Уравнения, при решении которых используются формулы двойного и тройного аргументов.

Уравнения, решаемые с помощью универсальной тригонометрической подстановки.

Уравнения, решаемые через введение вспомогательного угла.

Уравнения, решаемые с помощью умножения на некоторую тригонометрическую функцию.

Применение ограниченности тригонометрических функций при решении уравнений. Метод мажорант.

Нестандартные приемы в решении тригонометрических уравнений.

Практикум по решению тригонометрических уравнений.

7. Решение тригонометрических неравенств.

Простейшие тригонометрические неравенства, их решение на единичной окружности. Графическое решение тригонометрических неравенств. Решение неравенств методом замены. Метод интервалов при решении тригонометрических неравенств, его особенности. Нестандартные задания на неравенства.

Практикум по решению тригонометрических неравенств.

8. Построение графиков функций с помощью производной. Изображение плоских областей.

Построение графиков тригонометрических функций с помощью производной. Практикум по построению графиков тригонометрических функций.

Доказательство тригонометрических неравенств с помощью производной. Графическое доказательство тригонометрических неравенств.

Изображение плоских областей, заданных тригонометрическими уравнениями и неравенствами.

9. Системы тригонометрических уравнений.

Системы уравнений, в которых одно уравнение - алгебраическое. Метод подстановки.

Системы вида и подобные им. Метод сложения.

Системы вида и подобные им. Метод возведения в квадрат.

Решение систем других видов. Решение нестандартных систем уравнений.

Практикум по решению систем тригонометрических уравнений.

10. Тригонометрические задания с параметрами.

Основные методы решения тригонометрических уравнений, неравенств и их систем с параметрами. Использование ограниченности функций и . Эквивалентные замены. Нестандартные задания с параметрами.

Практикум по решению тригонометрических уравнений, неравенств и их систем с параметрами.

11. Тригонометрические подстановки в решении алгебраических уравнений.

Тригонометрическая подстановка в заданиях, содержащих выражения вида , и т. д. Нестандартные тригонометрические подстановки.

12. Тригонометрическая форма комплексных чисел.

Геометрическое изображение комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числа. Тригонометрическая форма комплексных чисел.

Умножение, возведение в степень и деление комплексных чисел в тригонометрической форме. Формула Муавра, ее применение к выводу формул, выражающих и через и .

Извлечение корня n-ой степени из комплексного числа.

Основная теорема алгебры (без доказательства), следствия из нее.

Практикум по решению заданий на комплексные числа, записанных в тригонометрической форме.

15. Обратные тригонометрические уравнения и неравенства.

1. Обратные тригонометрические функции.

Определение арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса. Функции , , , , их графики и свойства.

Производные обратных тригонометрических функций.

Разложение обратных тригонометрических функций в ряд Маклорена.

Практическое решение заданий на производные. Практикум по построению графиков функций.

2. Основные формулы обратной тригонометрии.

Формулы для , , , .

Формулы, выражающие одни тригонометрические функции через другие, основные тождества.

Формулы для , где - одна из обратных тригонометрических функций.

Практикум по доказательству тождеств.

3. Вычисления, связанные с обратными тригонометрическими функциями.

Простейшие примеры. Примеры на вычисление значений , , и т. п., где - тригонометрическая функция, а - обратная тригонометрическая функция. Примеры на применение формул . Практикум по вычислениям.

4. Методы решения обратных тригонометрических уравнений и неравенств.

Метод подстановки. Использование монотонности обратных тригонометрических функций. Равносильные переходы с применением формул обратной тригонометрии. Использование ограниченности обратных тригонометрических функций. Графическое решение обратных тригонометрических уравнений и неравенств. Задания с параметрами.

Практикум по решению обратных тригонометрических уравнений и неравенств.

16. Показательные и логарифмические уравнения, неравенства и их системы.

1. Логарифмы и их свойства. Вычисления и упрощение логарифмических выражений.

Логарифмирование, его связь с возведением в степень. Логарифм , условия, накладываемые на величины и . Натуральный и десятичный логарифмы. Основное логарифмическое тождество.

Логарифм произведения и частного. Логарифм степени с натуральным показателем. Логарифм степени с рациональным показателем. Логарифм степени с действительным показателем. Переход к другому основанию. Формула . Применение свойств логарифмов к логарифмическим вычислениям и упрощению логарифмических выражений.

Практикум по вычислениям и упрощению логарифмических выражений.

2. Степенная, логарифмическая и показательная функции.

Степенная функция с действительным показателем, ее свойства. Эскизы графиков для функций , , (разбор случаев).

Логарифмическая функция, ее график и свойства. Производная логарифмической функции. Производная функции .

Методы сравнений значений логарифмических выражений.

Показательная функция, ее график и свойства. Производная показательной функции. свойства. Производная функции .

Производная функции с действительным показателем. Степенно-показательная функция и ее производная.

Разложение функций и в ряд Маклорена. Приближенное вычисление числа . Иррациональность числа .

Сравнение роста логарифмической, степенной и показательной функций.

Практикум по вычислению производных и построению графиков функций.

3. Показательные уравнения, неравенства и их системы.

Уравнения, сводящиеся к одному основанию. Уравнения, сводящиеся к линейным. Уравнения, сводящиеся к квадратным и высших степеней. Уравнения с двумя основаниями. Однородные уравнения. Уравнения, решаемые методом разложения на множители. Уравнения вида . Метод замены в показательных уравнениях. Уравнения вида , случай . Графическое решение уравнений. Логарифмирование уравнений вида . Метод мажорант в показательных уравнениях. Использование монотонности показательной функции. Задания с параметрами. Показательные неравенства. Метод замены при решении показательных неравенств. Метод интервалов, его особенности. Изображение плоских областей.

Основные приемы при решении систем показательных уравнений.

Решение нестандартных показательных уравнений, неравенств и их систем (в том числе и с параметрами).

Практикум по решению показательных уравнений, неравенств и их систем.

4. Логарифмические уравнения, неравенства и их системы.

Логарифмические уравнения, решаемые по определению логарифма. Применение свойств логарифмов. Применение основного логарифмического тождества. Метод разложения на множители. Замена, сведение уравнений к рациональным. Графическое решение логарифмических уравнений. Метод мажорант в логарифмических уравнениях. Использование монотонности логарифмической функции. Задания с параметрами.

Логарифмические неравенства. Метод замены при решении логарифмических неравенств. Метод интервалов, его особенности. Изображение плоских областей.

Основные приемы при решении систем логарифмических уравнений.

Решение нестандартных логарифмических уравнений, неравенств и их систем (в том числе и с параметрами).

Практикум по решению логарифмических уравнений, неравенств и их систем.

17. Интегралы и дифференциальные уравнения.

1. Первообразная функция и неопределенный интеграл.

Определение первообразной функции на интервале и сегменте. Основное свойство первообразной. Неопределенный интеграл.

Основные свойства неопределенного интеграла.

Таблица основных неопределенных интегралов, некоторые особенности, связанные с изменением ОДЗ.

2. Основные методы интегрирования.

Метод подстановки. Основные виды подстановок.

Интегрирование по частям. Основные виды интегралов, берущихся посредством интегрирования по частям.

Интегрирование рациональных дробей. Специальные приемы вычисления тригонометрических интегралов. Интегрирование дробно-линейных иррациональностей. Интегрирование квадратных иррациональностей. Интегрирование биномиальных дифференциалов.

Практикум по интегрированию.

3. Дифференциальные уравнения.

Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Решение дифференциального уравнения. Общее и частное решения дифференциального уравнения, геометрическая интерпретация.

Уравнения с разделяющимися переменными. Однородные дифференциальные уравнения. Линейные дифференциальные уравнения.

Однородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка. Методы решения неоднородных линейных дифференциальных уравнений второго порядка.

4. Определенный интеграл Римана.

Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла.

Определение определенного интеграла. Геометрический смысл интегральной суммы. Примеры неинтегрируемых на сегменте функций, условия существования определенного интеграла.

Свойства определенного интеграла. Оценки интегралов. Интегрирование неравенства. Теорема о среднем, ее геометрический смысл.

Определенный интеграл как функция верхнего предела. Теорема о равенстве , где - непрерывная функция.

Формула Ньютона-Лейбница. Алгоритм нахождения определенного интеграла.

Понятие о несобственных интегралах.

Практикум по вычислению определенных интегралов.

5. Приближенные вычисления определенных интегралов.

Трудности вычисления определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница. Правило прямоугольников. Метод трапеций. Правило Симпсона. Метод Монте-Карло.

6. Геометрические и механические приложения определенного интеграла.

Вычисление площадей плоских фигур. Вычисление объемов тел вращения. Работа переменной силы. Длина дуги кривой, случай параметрического задания кривой. Вычисление площадей поверхностей тел вращения. Статический момент и центр тяжести плоской фигуры. Практикум по решению прикладных задач, связанных с определенным интегралом. Решение нестандартных задач с параметрами на применение интеграла.

18. Итоговое повторение.

Решение более сложных и комбинированных заданий. Задания-«монстры».

Правила проведения письменных экзаменов. Правила проведения устных экзаменов.

Правила оформления письменных работ по математике. Критерии устного ответа абитуриента.

Решение заданий выпускных экзаменов прошлых лет.

Решение вариантов вступительных экзаменов в различные высшие учебные заведения прошлых лет. Олимпиады для абитуриентов.

19г. Углубленное повторение планиметрии.

1. Основные понятия.

Геометрия как наука. Планиметрия и стереометрия. Основные (неопределяемые) понятия в планиметрии. Неопределяемые отношения. Понятие определения геометрической фигуры.

Сущность аксиоматического подхода в геометрии. Аксиома и теорема. Аксиомы планиметрии. Теорема и ее части. Обратная, противоположная и противоположная к обратной теоремы. Эквивалентные теоремы. Сущность метода доказательства теорем от противного. Теорема-свойство и теорема-признак. Характеристическое свойство геометрического объекта (фигуры, тела и т. д.). Связь между терминами «характеристическое свойство объекта» и «определение объекта». Требования к системе аксиом. Евклидова и неевклидовы геометрии.

Сущность аналитического подхода в геометрии. Декартова и аффинная системы координат. Векторный подход в геометрии.

Сущность группового подхода в геометрии. Инвариант.

2. Основные теоремы планиметрии.

Свойство вертикальных углов.

Признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними. Признак равенства треугольников по стороне и двум углам. Основные свойства равнобедренного треугольника. Признак равнобедренного треугольника. Признак равенства треугольников по трем сторонам.

Признаки параллельности прямых. Свойства параллельных прямых. Сумма углов треугольника.

Теорема о внешнем угле треугольника.

Признаки равенства прямоугольных треугольников.

Теорема о единственности перпендикуляра, проведенного через точку к данной прямой.

Положение центра описанной около треугольника окружности. Положение центра вписанной в треугольник окружности.

Свойство касательной к окружности.

Свойства параллелограмма. Признаки параллелограмма. Свойства и признаки прямоугольника. Свойства и признаки ромба. Свойства и признаки квадрата.

Теорема Фалеса. Обобщенная теорема Фалеса (теорема о пропорциональных отрезках). Свойство точки пересечения медиан.

Свойства средней линии треугольника. Свойства средней линии трапеции.

Теорема Пифагора и обратная к ней.

Сравнение длин наклонных и перпендикуляра.

Неравенство треугольника.

Движения. Основные свойства движений.

Вектор. Координаты вектора. Равенство векторов. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число.