если X1, Х2, ..., Хn – взаимно независимые случайные величины.
3. М(Х1 + Х2 + ... + Хn) = М(Х1) + М(Х2) + ... + М(Хn).
4. М(Х) = nр,
где X – дискретная случайная величина;
n – число испытаний с биномиальным законом распределения;
р – вероятность появления события в одном испытании.
Математическое ожидание характеризует среднее значение случайной величины.
Рассеяние случайной величины около среднего значения характеризуют дисперсия и среднее квадратичное отклонение.
Дисперсией случайной величины X называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:
D(X) = М(Х – М(Х))2.
Дисперсию целесообразно вычислять по формуле
D(X) = М(Х2) – (М(Х)
Свойства дисперсии:
1. D(C) = 0; D(CX) = C2D(X),
где С – произвольная постоянная.
2. D(Х1 + Х2 + ... + Хn) = D(X1) + D(X2) + ... + D(Xn),
где Xi – независимые случайные величины.
3. D(X) = npq,
где X – дискретная случайная величина с биномиальным законом распределения;
n – число испытаний;
р, q – вероятность появления и вероятность непоявления события в одном испытании соответственно.
4. 
(Х) = 
,
где (Х) – среднее квадратичное отклонение.
2.5. Даны законы распределения двух независимых случайных величин:
X | 2 | 4 | 6 | 8 |
р | 0,4 | 0,2 | 0,1 | 0,3 |
Y | 0 | 1 | 2 | |
Р | 0,5 | 0,2 | 0,3 | |
Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Z = 2Х + 3Y.
Решение. Используя свойства математического ожидания и дисперсии, а также учитывая, что X и Y – независимые случайные величины, имеем:
M(Z) = М(2Х + 3Y) = М(2Х) + М(3Y) = 2М(Х) + 3М(Y);
D(Z) = D(2X + 3Y) = D(2X) + D(3Y) = 4D(X) + 9D(Y).
По формуле (2.2) вычислим М(X) и M(Y):
М(Х) = 2 · 0,4 + 4 · 0,2 + 6 · 0,1 + 8 · 0,3 = 4,6;
М(Y) = 0 · 0,5 + 1 · 0,2 + 2 · 0,3 = 0,8.
Тогда:
M(Z) = 2 · 4,6 + 3 · 0,8 = 11,6.
По формуле (2.3) вычислим D(X) и D(Y). Вначале найдем М(Х2) и M(Y2):
М(Х2) = 4 · 0,4 + 16 · 0,2 + 36 · 0,1 + 64 · 0,3 = 27,6;
М(Y2) = 0 · 0,5 + 1 · 0,2 + 4 · 0,3 = 1,4.
Затем определим D(X) и D(Y):
D(X) = M(X2) – (М(Х))2 = 27,6 – 4,62 = 6,44;
D(Y) = M(Y2) – (М(Y))2 = 1,4 – 0,82 = 0,76.
Окончательно получим
D(Z) = 4 · 6,44 + 9 · 0,76 = 32,6.
2.6. Два консервных завода поставляют продукцию в магазин в пропорции 2 : 3. Доля продукции высшего качества на первом заводе составляет 90 %, а на втором – 80 %. В магазине куплено 3 банки консервов. Найти математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение числа банок с продукцией высшего качества.
Решение. Вначале составим закон распределения случайной величины X – числа банок с продукцией высшего качества среди купленных трех банок. Вероятность появления события А – куплена банка с продукцией высшего качества – найдем по формуле полной вероятности:
Р(А) = 0,9(2/5) + 0,8(3/5) = 0,84.
Закон распределения случайной величины X можно определить, используя формулу Бернулли:
.
Случайная величина X может принимать значения 0, 1, 2, 3. Закон ее распределения (с учетом того, что p = 0,84, q = 0,16) примет вид:
X | 0 | 1 | 2 | 3 |
р | 0,004 | 0,066 | 0,337 | 0,593 |
Тогда:
М(Х) = 0 · 0,004 + 1 · 0,066 + 2 · 0,337 + 3 · 0,593 = 2,519,
D(X) = 1 · 0,066 + 4 · 0,337 + 9 · 0,593 – 2,5192 = 0,406,
.
3. НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
3.1. Функция распределения вероятностей и плотность вероятности
Непрерывные случайные величины характеризуются тем, что их значения могут сколь угодно мало отличаться друг от друга.
Вероятность события X < х (где X – значение непрерывной случайной величины, а х – произвольно задаваемое значение), рассматриваемая как функция от х, называется функцией распределения вероятностей:
F(x) = Р(Х <х).
Производная от функции распределения вероятностей называется функцией плотности распределения вероятностей или плотностью вероятности:
f(x) = F'(x).
Функция распределения вероятностей выражается через плотность вероятности в виде интеграла:
.
Вероятность попадания случайной величины в интервал (х1, х2) равна приращению функции распределения вероятностей на этом интервале:
P(x1<X<x2) = F(x2) – F(x
3.1. Случайная величина X задана функцией распределения вероятностей:
Найти плотность вероятности f(x) и вероятность попадания случайной величины X в интервалы (1; 2,5), (2,5; 3,5).
Решение. Плотность вероятности находим по формуле f(x) = F'(x):
Вероятности попадания случайной величины X в интервалы вычисляем по формуле (3.1):
Р(1 < X < 2,5) = F(2,5) – F(1) = 0,52 – 0 = 0,25;
Р(2,5 < X < 3,5) = F(3,5) – F(2,5) = 1 – 0,25= 0,75.
3.2. Плотность вероятности непрерывной случайной величины X:
Найти функцию распределения F(х) и построить ее график.
Решение.
если 
,
,
если 
если х > 2.
График функции представлен на рис. 3.1.
Рис. 3.1
3.3. Плотность вероятности непрерывной случайной величины X задана в виде 
Найти параметр С.
Решение. На основании равенства
имеем:
.
3.2. Математическое ожидание и дисперсия. Мода и медиана
Средним значением или математическим ожиданием непрерывной случайной величины X называется значение интеграла
М(Х) = Мх = 
,
где f(x) – плотность вероятности.
Дисперсией непрерывной случайной величины X называется значение интеграла
D(X) = Dx= 
.
Для определения дисперсии может быть также использована формула
Dx=
.
Модой М0(Х) непрерывной случайной величины X называется такое значение этой величины, плотность вероятности которого максимальна.
Медианой Мe(Х) непрерывной случайной величины X называется такое ее значение, при котором выполняется равенство
Р(Х < Me) = Р(Х > Me).
3.4. Случайная величина X задана плотностью вероятности f(x) = х/2 в интервале (0; 2), вне этого интервала f(x) = 0. Найти математическое ожидание величины X.
Решение. На основании формулы
имеем:
3.5. Случайная величина X задана плотностью вероятности f(x) = x/8 в интервале (0; 4). Вне этого интервала f(x) = 0. Найти математическое ожидание.
3.6. Случайная величина X задана плотностью вероятности f(x) = 
при 
. Найти математическое ожидание.
3.7. Случайная величина X задана плотностью вероятности f(x) = С(х2 + 2х) в интервале (0; 1). Вне этого интервала f(x) = 0. Найти параметр С.
Решение. Так как
то:
Откуда С = 
.
3.3. Равномерное распределение
Непрерывная случайная величина называется равномерно распределенной на отрезке [а, b], если ее плотность вероятности имеет вид:
Математическое ожидание и дисперсия равномерно распределенной случайной величины определяются выражениями
3.8. Случайная величина X распределена равномерно на отрезке [1; 6]. Найти функцию распределения F(x), математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение величины.
Решение. Плотность вероятности для величины X имеет вид:
Следовательно, функция распределения, вычисляемая по формуле:
,
запишется следующим образом:
Математическое ожидание будет равно Мх = (1 + 6)/2 = 3,5. Находим дисперсию и среднее квадратичное отклонение:
Dx = (6 – 1)2/12 = 25/12, 
.
3.4. Нормальное распределение
Случайная величина X распределена по нормальному закону, если ее функция плотности распределения вероятностей имеет вид:
где Мх – математическое ожидание;
– среднее квадратичное отклонение.
Вероятность попадания случайной величины в интервал (а, b) находится по формуле
Р(а < X < b) = Ф
– Ф
= Ф(z2) – Ф(z1), (5)
где Ф(z) = 
– функция Лапласа.
Значения функции Лапласа для различных значений z приведены в Приложении 2.
3.9. Математическое ожидание нормально распределенной случайной величины X равно Мх = 5, дисперсия равна Dx = 9. Написать выражение для плотности вероятности.
3.10. Математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение нормально распределенной случайной величины X соответственно равны 12 и 2. Найти вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале (14; 16).
Решение. Используем формулу (21.2), учитывая, что Мх = 12, = 2:
Р(14 < X < 16) = Ф((16 – 12)/2) – Ф(14 – 12)/2) = Ф(2) – Ф(1).
По таблице значений функции Лапласа находим Ф(1) = 0,3413, Ф(2) = 0,4772. После подстановки получаем значение искомой вероятности:
Р(14 <Х < 16) = 0,1359.
3.11. Имеется случайная величина X, распределенная по нормальному закону, математическое ожидание которой равно 20, среднее квадратичное отклонение равно 3. Найти симметричный относительно математического ожидания интервал, в который с вероятностью р = 0,9972 попадет случайная величина.
Решение. Так как Р(х1 < Х < х2) = р = 2Ф((х2 – Мх)/ ), то Ф(z) = р/2 = 0,4986. По таблице функции Лапласа находим значение z, соответствующее полученному значению функции Ф(z) = 0,4986: z = 2,98. Учитывая то, что z = (х2 – Мх)/ , определяем 
= х2 – Мх = z = 3 · 2,98 = 8,94. Искомый интервал будет иметь вид (11,06; 28,94).
3.5. Показательное распределение
Распределение непрерывной случайной величины X называется показательным (экспоненциальным), если плотность вероятности этой величины описывается функцией:
где 
– положительное число.
Соответственно, функция распределения вероятностей имеет вид:
3.12. Случайная величина X задана функцией распределения вероятностей
Найти математическое ожидание и дисперсию величины X.
Решение. Для решения задачи используем формулы математического ожидания и дисперсии непрерывной случайной величины:
, 
Учтем, что f(x) = F'(x). Тогда получим:
Подставим в выражение для математического ожидания
.
Интегрируя по частям, получаем Мх = 1/, или Мх = 1/0,1.
Для определения дисперсии проинтегрируем по частям первое слагаемое. В результате получим:
.
Учтем найденное выражение для Мх. Откуда
.
В данном случае Мх = 10, Dx = 100.
4. СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
4.1. Законы распределения двумерной случайной величины
Двумерной называют случайную величину (X, У), каждое возможное появление которой представляет собой пару чисел (х, у).
Случайные величины X и Y, рассматриваемые совместно, образуют систему двух случайных величин.
Общей характеристикой двумерной случайной величины является функция распределения вероятностей, которая представляет собой вероятность события (X < х, Y <y):
F(x, y) = P(X < x,Y <y).
Для дискретной случайной величины распределение может быть задано в виде таблицы распределения, в которой каждой паре значений (xi, yj) (i = 1, 2, ..., n; j = 1, 2, ..., m) ставится в соответствие вероятность появления этой пары Р(Х = xi, Y = уj).
Функция распределения вероятностей непрерывной случайной величины выражается через двумерную плотность вероятности по формуле:
.
Вероятность совместного появления пары дискретных случайных величин (xi, уj) можно записать в виде:
p(xi, уj) = p(xi)p(yj/xi) = p(yj)p(xi/yj),
где p(yj/xi), p(xi/yj) – условные вероятности.
Для непрерывных случайных величин плотность вероятности записывается в виде:
f(x, у) = f(x)f(y/x) = f(y)f(x/y).
4.1. Фирма выпускает мини-заводы по производству хлеба. На рекламу может быть израсходовано определенное количество средств.
В табл. 1 приведены возможное количество проданных в течение месяца заводов (X) и объем средств, израсходованных на рекламу (Y). Каждой паре (xi, yj) случайных величин (X, Y) поставлена в соответствие вероятность p(xi, yj) появления этой пары.
Таблица 1
X Y | 0 | 1 | 2 |
1 | 0,12 | 0,15 | 0,10 |
2 | 0,08 | 0,10 | 0,12 |
3 | 0,05 | 0,10 | 0,18 |
Требуется составить таблицы распределения вероятностей для каждой из величин X и Y и выразить условный закон распределения вероятностей величины Y при X = 2.
Решение. Так как с каждым значением xi встречается ровно три значения уj, т. е. имеет место полная группа событий, сумма вероятностей которых равна единице, то:
.
Таким образом, вероятность события р(хi) равна сумме вероятностей p(xi, yj) в каждой колонке.
В результате получаем таблицу распределения вероятностей величины X:
X | 0 | 1 | 2 |
р | 0,25 | 0,35 | 0,4 |
Аналогично получаем таблицу распределения для величины Y:
Y | 1 | 2 | 3 |
p | 0,37 | 0,3 | 0,33 |
Сумма вероятностей для каждой из величин должна быть равна единице. Проведем проверку:
= 0,25 + 0,35 + 0,4 = 1;
= 0,37 + 0,3 + 0,33 = 1.
Находим условные вероятности величины Y при X = 2:
P(Y = 1 / X = 2) = P(Y = 1, X = 2)/Р(Х = 2) = 0,10/0,4 = 0,25;
P(Y = 2 / X = 2) = P(Y = 2, X = 2)/Р(Х = 2) = 0,12/0,4 = 0,30;
p(Y = 3 / X = 2) = P(Y = 3, X = 2)/P(X = 2) = 0,18/0,4 =0,45.
4.2. Числовые характеристики системы двух случайных величин
Среди числовых характеристик двумерной случайной величины важнейшими являются условное математическое ожидание и ковариация.
Условным математическим ожиданием дискретной случайной величины Y при X = х называют сумму произведений возможных значений Y на их условные вероятности
M(Y /X = x) = 
.
Для непрерывных случайных величин условное математическое ожидание определяется интегралом:
M(Y /X = x) = 
Условное математическое ожидание M(Y/ X = х) называется также регрессией величины Y на X.
Аналогично определяется регрессия X на Y:
-для дискретной случайной величины:
М(Х /Y = y) = 
;
-для непрерывной случайной величины:
M(X/Y = y) = 
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 |
