Ковариацией или корреляционным моментом случайных величин X и Y называется математическое ожидание произведения отклонений этих величин от их математических ожиданий:
= М((Х – Mx)(Y – Му)).
Коэффициентом корреляции rxy случайных величин X и Y называется отношение ковариации к произведению средних квадратичных отклонений этих величин:
rxy = 
–1 
rху 1.
Линейной средней квадратической регрессией Y на X называется функция вида:
,
где mx = М(Х), my = M(Y),
, 
, 
.
4.2. Найти регрессию величины Y на X для двух значений x1 = 3 и х2 = 6 на основе заданной таблицы распределения двумерной случайной величины
X Y | 3 | 6 |
10 | 0,25 | 0,10 |
14 | 0,15 | 0,05 |
18 | 0,32 | 0,13 |
Решение. Условное математическое ожидание, или регрессия, величины Y на X находится на основе соотношения
M(Y /Х = xi) = 
.
Определяем Р(Х = 3) и Р(Х = 6):
Р(Х = 3) = 0,25 + 0,15 + 0,32 = 0,72;
Р(Х = 6) = 0,10 + 0,05 + 0,13 = 0,28.
Вычисляем условные вероятности:
Р(Y = 10 / Х = 3) = 0,25/0,72 = 0,35; P(Y = 10 / Х = 6) = 0,10/0,28 = 0,36;
P(Y = 14 / Х = 3) = 0,15/0,72 = 0,21; P(Y = 14 / X = 6) = 0,05/0,28 = 0,18;
Р(Y = 18 / Х= 3) = 0,32/0,72 = 0,44; Р(Y = 18 / Х= 6) = 0,13/0,28 = 0,46.
Находим условные математические ожидания:
M(Y / X = 3) = 10 · 0,35 + 14 · 0,21 + 18 · 0,44 = 14,4;
M(Y / X = 6) = 10 · 0,36 + 14 · 0,18 + 18 · 0,46 = 14,3.
4.3. Задан закон распределения двумерной случайной величины (X, Y)
Y X | 2 | 3 | 5 |
1 | 0,10 | 0,20 | 0,15 |
3 | 0,05 | 0,14 | 0,11 |
4 | 0,12 | 0,08 | 0,05 |
Найти условное математическое ожидание величины X для всех возможных значений величины Y.
4.4. Для заданного в задаче 4.3 закона распределения найти коэффициент корреляции между величинами X и Y.
Решение. Находим вероятности значений X = 1, X = 3, X = 4:
Р(Х = 1) = 0,10 + 0,20 + 0,15 = 0,45;
Р(Х = 3) = 0,05 + 0,14 + 0,11 = 0,30;
Р(Х = 4) = 0,12 + 0,08 + 0,05 = 0,25.
Определяем вероятности значений Y = 2, Y = 3, Y = 5:
P(Y = 2) = 0,10 + 0,05 + 0,12 = 0,27;
P(Y = 3) = 0,20 + 0,14 + 0,08 = 0,42;
P(Y = 5) = 0,15 + 0,11 + 0,05 = 0,31.
Находим M(Y):
M(Y) = 2 · 0,27 + 3 · 0,42 + 5 · 0,31 = 3,35.
Определяем М(Х):
М(Х) = 1 · 0,45 + 3 · 0,3 + 4 · 0,25 = 2,35.
Вычисляем М(Х2) и M(Y2):
М(Х2) = 1 · 0,45 + 9 · 0,3 + 16 · 0,25 = 7,15;
М(Y2) = 4 · 0,27 + 9 · 0,42 + 25 · 0,31 = 12,61.
Находим Dx, Dy:
Dx = 7,15 – 2,352 = 7,15 – 5,52 = 1,63;
Dy = 12,61 – 3,352 = 12,61 – 11,22 = 1,39.
Откуда 
= 1,28; 
= 1,18.
Ковариация величин X и Y может быть найдена по формуле
.
Итак,
M(XY) = 
= 1 · 2 · 0,1 + 1 · 3 · 0,2 + 1 · 5 · 0,15 + 3 · 2 · 0,05 + 3 · 3 · 0,14 + 3 · 5 · 0,11 +
+ 4 · 2 · 0,12 + 4 · 3 · 0,08 +4 · 5 · 0,05 = 7,68,
xy= 7,68 – 2,35 · 3,35 = – 0,19,
rxy = = – 0,19/(1,28 · 1,18) = – 0,126.
ПРАКТИКУМ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Задания
1. В партии из N изделий n изделий имеют скрытый дефект (табл. 2). Какова вероятность того, что из взятых наугад т изделий k изделий являются дефектными?
2. В магазине выставлены для продажи n изделий, среди которых k изделий некачественные (табл. 3). Какова вероятность того, что взятые случайным образом m изделий будут некачественными?
3. На сборочное предприятие поступили однотипные комплектующие с трех заводов в количестве: n1 с первого завода, n2 со второго, n3 с третьего (табл. 4). Вероятность качественного изготовления изделий на первом заводе p1, на втором р2, на третьем р3. Какова вероятность того, что взятое случайным образом изделие будет качественным?
4. Дано распределение дискретной случайной величины X (табл. 5). Найти математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение.
5. В городе имеется N оптовых баз (табл. 6). Вероятность того, что требуемого сорта товар отсутствует на этих базах одинакова и равна р. Составить закон распределения числа баз, на которых искомый товар отсутствует в данный момент.
6. Непрерывная случайная величина имеет нормальное распределение. Ее математическое ожидание равно Мх, среднее квадратичное отклонение равно (табл. 7). Найти вероятность того, что в результате испытания случайная величина примет значение в интервале (а, b).
7. Найти линейную среднюю квадратическую регрессию случайной величины Y на случайную величину X на основе заданного закона распределения двумерной случайной величины (табл. 8).
Таблица 2
Вариант | N | n | m | k | Вариант | N | n | m | k |
1 | 20 | 4 | 5 | 2 | 16 | 20 | 5 | 4 | 1 |
2 | 30 | 5 | 5 | 3 | 17 | 16 | 6 | 5 | 3 |
3 | 20 | 5 | 4 | 2 | 18 | 18 | 5 | 4 | 2 |
4 | 25 | 6 | 5 | 3 | 19 | 14 | 4 | 3 | 1 |
5 | 15 | 4 | 3 | 2 | 20 | 10 | 4 | 3 | 2 |
6 | 20 | 6 | 4 | 1 | 21 | 16 | 5 | 3 | 2 |
7 | 30 | 4 | 3 | 2 | 22 | 20 | 6 | 4 | 3 |
8 | 16 | 4 | 3 | 2 | 23 | 26 | 5 | 4 | 2 |
9 | 18 | 6 | 5 | 3 | 24 | 32 | 8 | 5 | 3 |
10 | 12 | 5 | 4 | 2 | 25 | 34 | 10 | 6 | 4 |
11 | 30 | 10 | 5 | 3 | 26 | 30 | 6 | 5 | 3 |
12 | 26 | 8 | 6 | 4 | 27 | 25 | 5 | 3 | 2 |
13 | 24 | 8 | 5 | 3 | 28 | 24 | 6 | 4 | 3 |
14 | 22 | 6 | 4 | 2 | 29 | 28 | 8 | 5 | 2 |
15 | 20 | 5 | 3 | 2 | 30 | 24 | 6 | 3 | 2 |
Таблица 3
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 |
