Методические указания для самостоятельного изучения дисциплины «Математика» с контрольными заданиями. Раздел III «Теория вероятностей» (стр. 1 )

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОУ ВПО

УФИМСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ

ЭКОНОМИКИ И СЕРВИСА

Кафедра «Высшая математика»

Методические указания

для самостоятельного изучения

дисциплины «Математика»

с контрольными заданиями

Раздел III

«Теория вероятностей»

Уфа 2009

Составители: ,

УДК 51

М 54

Методические указания для самостоятельного изучения дисциплины «Математика» с контрольными заданиями. Раздел III «Теория вероятностей» / Сост.: , . – Уфа: Уфимская государственная академия экономики и сервиса, 2009. – 32 с.

Изложены основные понятия тем: «Случайные события», «Дискретные случайные величины», «Непрерывные случайные величины», «Системы случайных величин». Даны варианты заданий для контрольных работ. Методические указания предназначены для студентов специальностей «СКСиТ», «Связи с общественностью».

Рецензенты:

И., канд. физ.-мат. наук Уфимского филиала

Оренбургского государственного университета

М., канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры

«Экономическая теория и мировая экономика»

Уфимской государственной академии экономики и сервиса

© , , 2009

© Уфимская государственная академия

экономики и сервиса, 2009

1. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ

1.1. Множество событий.

Классическое определение вероятности события

В результате многократного повторения одних и тех же условий, которые носят название испытаний или опытов, можно наблюдать появление или непоявление в них некоторого события. Такое событие, которое может произойти или не произойти в результате опыта, называется случайным.

Во многих задачах рассматривается схема равновозможных событий. Например, при бросании игральной кости имеется одна и та же возможность появления любой из цифр от 1 до 6. Другим примером может служить выбор номера объекта при контрольной выборочной проверке.

Каждый из равновозможных результатов испытаний (опытов) называется элементарным исходом. Элементарный исход может быть рассмотрен либо как самостоятельное событие, либо как составляющая более сложного события.

На множестве всех элементарных исходов можно выделить подмножество, которое обладает заданными свойствами и определяет новое событие. Например, на множестве элементарных исходов при бросании игральной кости можно выделить подмножество таких исходов, которые соответствуют четному числу очков.

Исход называется благоприятствующим данному событию, если его появление влечет за собой наступление такого события. В частности, появлению четного числа очков при бросании игральной кости соответствуют элементарные исходы с цифрами 2, 4, 6.

Количественной мерой возможности появления некоторого случайного события служит вероятность.

При классическом определении за вероятность события А принимается отношение числа благоприятствующих этому событию элементарных исходов (m) к общему числу возможных исходов (n):

P(A) = .

Для вычисления числа благоприятствующих рассматриваемому событию исходов или общего числа элементарных исходов широко используются формулы комбинаторики.

Если составляются такие комбинации из n элементов по m, которые отличаются друг от друга только составом элементов, то они называются сочетаниями. Общее число сочетаний из n элементов по m определяется по формуле:

.

Если комбинации отличаются не только составом элементов, но и порядком их следования, то они называются размещениями. Их число находится по формуле:

Если комбинации берутся из всех n элементов и отличаются только порядком следования элементов, то они называются перестановками. Их число равно: Pn= n!

1.1. На станцию прибыли 10 вагонов разной продукции. Вагоны помечены номерами от одного до десяти. Найти вероятность того, что среди пяти выбранных для контрольного вскрытия вагонов окажутся вагоны с номерами 2 и 5?

Решение. Общее число возможных комбинаций для контрольного вскрытия равно числу сочетаний из 10 по 5, т. е. .

Число исходов, благоприятствующих данному событию, будет равно числу таких комбинаций, в которых две цифры будут 2 и 5, а остальные будут составлять сочетания, число которых равно . Тогда искомая вероятность найдется по формуле:

.

1.2. Из 20 акционерных обществ (АО) четыре являются банкротами. Гражданин приобрел по одной акции шести АО. Какова вероятность того, что среди купленных акций две окажутся акциями банкротов?

Решение. Общее число комбинаций выбора АО равно числу сочетаний из 20 по 6, т. е.. Число благоприятствующих исходов определяется как произведение , где первый сомножитель указывает число комбинаций выбора АО-банкротов из четырех. Но с каждой такой комбинацией могут встретиться АО, не являющиеся банкротами. Число комбинаций таких АО будет . Поэтому искомая вероятность запишется в виде

т. е. P = 0,28.

1.2. Теоремы сложения и умножения вероятностей

События называются несовместными, если они не могут появиться вместе в одном опыте.

Если одно из событий произойдет обязательно, то такие события образуют полную группу.

Суммой событий называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из рассматриваемых событий.

Теорема сложения вероятностей несовместных событий. Вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

.

Сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна единице.

Произведением событий называется событие, состоящее в появлении всех из рассматриваемых событий.

Вероятность события В, вычисленная при условии, что произошло событие А, называется условной вероятностью события В относительно события А. Эта вероятность обозначается Р(В/А).

Теорема умножения вероятностей двух событий. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго относительно первого:

Р(АВ) = Р(А)Р(В/А) = Р(В)Р(А/В).

Эта теорема обобщается на любое конечное число событий:

P(ABC···LM) = P(A)P(B/A)P(C/AB) ···P(M/AB ···L).

Если появление одного из событий не влияет на вероятность появления другого, то такие события называются независимыми.

Для независимых событий вероятность их произведения равна произведению вероятностей этих событий. Для двух независимых событий

Р(АВ) = Р(А)Р(В).

События называются совместными, если они могут появиться одновременно в одном опыте.

Теорема сложения вероятностей двух совместных событий. Вероятность сложения двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ).

1.3. На полке находится 10 книг, расставленных в произвольном порядке. Из них три книги по теории вероятностей, три – по математическому анализу и четыре – по линейной алгебре. Студент случайным образом достает одну книгу. Какова вероятность того, что он возьмет книгу по теории вероятностей или по линейной алгебре?

Решение. Вероятности того, что студент взял книгу по теории вероятностей (А) и по линейной алгебре (В), соответственно таковы:

P(А) = ,

Р(В) =.

События А и В несовместны. Поэтому искомая вероятность находится как сумма вероятностей

Р(А + В) = 0,3 + 0,4 = 0,7.

1.4. Контролер проверяет изделия на соответствие стандарту. Известно, что вероятность соответствия стандарту из­делий равна 0,9.

а) какова вероятность того, что из двух проверенных изделий оба будут стандартными, если события появления стандартных изделий независимы?

б) какова, вероятность того, что из двух проверенных изделий только одно стандартное?

Решение. а) учитывая то, что события А1 (первое изделие стандартное) и А2 (второе изделие стандартное) независимы, используем формулу

P(A1A2) = Р(А1)В(А2), т. е. Р(А1А2) = 0,9 · 0,9 = 0,81.

б) пусть В1 – событие, состоящее в том, что только первое изделие стандартное; В2 – только второе изделие стандартное. Событие B1 можно рассматривать как произведение двух событий:

В1 = A1,

т. е. появилось первое событие и не появилось второе. Аналогично:

В2 = А2.

События B1 и В2 несовместные, поэтому

Р(В1 + В2) = Р(В1) + Р(В2) = Р(А1)Р() + Р()Р(А2).

Если обозначить вероятность появления стандартного изделия через р, а вероятность противоположного события через q = 1 – р, то получим:

Р(В1 + В2) = pq + qp = 2pq.

В данном случае:

Р(В1 + В2) = 2 – 0,9 · 0,1 = 0,18.

1.5. В районе 100 поселков. В пяти из них находятся пункты проката сельхозтехники. Случайным образом отобраны два поселка. Какова вероятность того, что в них окажутся пункты проката?

Решение. Пусть А – событие, состоящее в том, что в первом выбранном поселке находится пункт проката; В – событие, состоящее в том, что во втором выбранном поселке находится пункт проката.

Вероятность события А:

P(A) = .

Рассмотрим событие В при условии, что событие А произошло. Найдем условную вероятность:

P (B/A) = .

Искомая вероятность найдется как вероятность произведения двух событий:

Р(АВ) = .

1.3. Вероятность появления хотя бы одного события

В некоторых случаях вероятность события удобнее подсчитывать как вероятность противоположного другому событию.

Пусть события А1, А2,..., Аn независимы и известны вероятности этих событий:

Р(А1)=р1, Р(А2) = р2, ..., Р(Аn) = рn.

Обозначив вероятности противоположных событий

Р() = q1, Р() = q2, ..., Р() = qn,

найдем вероятность того, что ни одно из событий А1, А2, ..., Аn в опыте не наступит:

Р(В) = q1q2 ·· qn.

В этом случае искомая вероятность, т. е. вероятность появления хотя бы одного события, определяется как вероятность противоположного события:

Р() = 1 – Р(В) = 1 – q1q2 ·· qn.

1.6. Предприятие обеспечивает регулярный выпуск продукции при безотказной поставке комплектующих от двух смежников. Вероятность отказа в поставке продукции от первого из смежников равна 0,05, от второго – 0,08. Найти вероятность сбоя в работе предприятия.

1.7. Вероятности своевременного выполнения задания тремя независимо работающими предприятиями соответственно равны 0,5; 0,6; 0,7. Найти вероятность своевременного выполнения задания хотя бы одним предприятием.

1.4. Формула полной вероятности и формула Байеса

Если некоторое событие В совершается с одним из n несовместных событий A1, А2, ..., Аn, образующих полную группу событий, то для определения вероятности этого события может быть использована формула полной вероятности:

P(B) = ,

где P(Ai) – вероятность события Ai;

P(B/Ai) – условная вероятность события В.

Для определения вероятности события Аi при условии, что произошло событие В, используется формула Байеса.

.

1.8. На автозавод поступили двигатели от трех моторных заводов. От первого завода поступило 10 двигателей, от второго – 6 и от третьего – 4 двигателя. Вероятности безотказной работы этих двигателей в течение гарантийного срока соответственно равны 0,9; 0,8; 0,7.

Какова вероятность того, что:

а) установленный на машине двигатель будет работать без дефектов в течение гарантийного срока;

б) проработавший без дефекта двигатель изготовлен на первом заводе, на втором заводе?

Решение. Обозначим через А1, А2, А3 события установки на автомашину двигателей, изготовленных соответственно на первом, втором или третьем моторных заводах. Вероятности этих событий таковы:

P(A1) = 0,5; Р(А2) = 0,3; Р(A3) = 0,2.

а) вероятность того, что наугад взятый двигатель проработает без дефектов, найдем по формуле полной вероятности:

Р(В) = P(A1)P(B/A1) + Р(А2)Р(В/А2) + Р(А3)Р(В/А3) =

= 0,5 · 0,9 + 0,3 · 0,8 + 0,2 · 0,7 = 0,83.

б) если двигатель проработал без дефектов гарантийный срок, то вероятности того, что он изготовлен на первом, на втором заводах, найдем по формуле Байеса:

1.5. Формулы Бернулли и Пуассона

Если при проведении испытаний вероятность появления события А не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называются независимыми.

Формула Бернулли определяет вероятность появления ровно m раз события А в серии из n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна р:

Рn(m) = ,

где q = 1– p.

В ряде случаев требуется определить вероятности появления события А менее т раз (X < т), более т раз (X > т), не менее т раз (X т), не более т раз (X т). В этих случаях могут быть использованы формулы:

Р(Х < т) = Рn(0) + Рn(1) + ...+ Рn(т – 1),

Р(Х > т) = Рn(т + 1) + Рn(т + 2) + ... + Рn(n),

Р(Х т) = Рn(т) + Рn(т + 1) + ... + Рn(n),

Р(Х т) = Рn(0) + Рn(1) + ... + Рn(т).

При больших n и малых р вычисления по формуле Бернулли затруднены. В этих случаях обычно используется формула Пуассона

, .

1.9. В результате обследования были выделены семьи, имеющие по четыре ребенка. Считая вероятности появления мальчика и девочки в семье равными, определить вероятности появления в ней:

а) одного мальчика;

б) двух мальчиков.

Решение. Вероятность появления мальчика или девочки равна р = 1/2. Вероятность появления мальчика в семье, имеющей четырех детей, находится по формуле Бернулли:

.

Вероятность появления в семье двух мальчиков равна

.

1.10. В новом микрорайоне поставленокодовых замков на входных дверях домов. Вероятность выхода из строя одного замка в течение месяца равна а) 0,0002; б) 0,001. Найти вероятность того, что за месяц откажут два, три и пять замков.

Решение. а) используем формулу Пуассона

, .

В нашем случае

=· 0,0002 = 2,

тогда:

P10 000(2) = 22 e-2/2! = 0,27;

P1000(3) = 23 e-2/3! = 0,18;

P10 000(5) = 25 e-2/5! = 0,036.

Указание. Для пункта «б» принять е-10 = 0,000045.

2. ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

2.1. Закон распределения вероятностей

Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принять любые заранее неизвестные значения. Различают дискретные и непрерывные случайные величины.

Дискретной случайной величиной называется такая, значения которой есть конечное или счетное множество фиксированных величин. Для описания поведения дискретной случайной величины X задают все значения х1, х2, ..., хn, которые она может принять, и вероятности появления этих значений р1, р2, ..., рn.

Законом распределения вероятностей (рядом распределения) дискретной случайной величины называется последовательность возможных значений случайной величины и соответствующих им вероятностей, причем

: (1)

X	x1	x2	…	хn
р	p1	p2	…	pn

Ряд распределения можно задать графически, откладывая на горизонтальной оси значения X, а на вертикальной – соответствующие им значения вероятностей. Графическое представление ряда распределения называется многоугольником распределения.

Для дискретной случайной величины можно ввести понятие функции распределения F(x), которая равна вероятности случайного события, состоящего в том, что дискретная случайная величина X примет одно из возможных значений, меньших некоторого значения х, т. е. F(x) = Р(Х < х).

Если дискретные значения случайной величины расположены в порядке возрастания х1, х2, ..., хn, то F(x) можно задать в виде:

Функцию распределения можно представить графически в виде ступенчатой функции (рис. 2.1).

Рис. 2.1

2.1. Среди 10 лотерейных билетов имеется 4 билета с выигрышем. Наудачу покупают 2 билета. Написать закон распределения вероятностей числа выигрышных билетов среди купленных.

Решение. Пусть X – случайная величина числа выигрышных билетов среди купленных 2 билетов. Очевидно, что она может принимать значения: x1 = 0, х2= 1, x3 = 2. Для определения вероятности появления каждого из этих значений воспользуемся следующей формулой:

Р(Х = т) = ,

где т = 0, 1, 2 – число выигрышных билетов среди наудачу купленных n = 2 билетов;

N = 10 – всего имеющихся билетов;

М = 4 – число выигрышных среди всех 10 билетов.

Вычисляем соответствующие вероятности:

p1 = P(X = 0) =

p2 = P(X = 1) =

p2 = P(X = 2) =

Для проверки вычислений сложим р1 + р2 + p3 = 1/3 + 8/15 + 2/l5 = 1.

Следовательно, искомый закон распределения имеет вид

X	0	1	2
р	5/15	8/15	2/15

На рис. 2.2 представлен многоугольник распределения, полученного в задаче 2.1.

Рис. 2.2

2.2. Баскетболист делает три штрафных броска. Вероятность попадания при каждом броске равна 0,7. Построить ряд распределения числа попаданий мяча в корзину.

Решение. Пусть X – случайная величина числа попаданий мяча в корзину. Баскетболист может не попасть ни разу, один раз, два раза и все три раза, т. е. х1 = 0, х2 = 1. х3 = 2, х4 = 3. Вероятности вычисляем по формуле Бернулли, при этом n = 3, р = 0,7, q = 0,3:

p1 = P3(0) = ;

p2 = P3(1) =

p3 = P3(2) =

p4 = P3(3) =

Проверяем выполнение соотношения (2.1):

= 0,027 + 0,189 + 0,441 + 0,343 = 1.

Тогда ряд распределения случайной величины числа попаданий мяча в корзину при трех бросках примет вид:

X	0	1	2	3
р	0,027	0,189	0,441	0,343

2.3. У продавца имеются изделия, полученные в равных количествах с трех фабрик. Вероятность того, что эти изделия отличного качества, для каждой фабрики соответственно со­ставляет 0,8; 0,7 и 0,9. Отобрано 2 изделия. Составить закон распределения количества изделий отличного качества среди отобранных.

Указание. Вначале вычисляется вероятность отбора изделия отличного качества: р = (0,8 + 0,7 + 0,9)/3.

2.4. Два покупателя независимо друг от друга делают по одной покупке. Вероятность того, что покупку сделает первый покупатель, равна 0,8, а вероятность того, что второй – 0,6. Случайная величина X – число покупок, сделанных покупателями. Описать закон распределения случайной величины X.

Решение. Очевидно, что сделать покупки могут либо оба покупателя, либо кто-то один, возможно также, что ни один покупатель ничего не купит. Следовательно, х1 = 2, х2 = 1, х3 = 0.

Пусть событие А состоит в том, что первый покупатель сделал покупку, а событие В – в том, что второй покупатель сделал покупку. Тогда вероятность значения х1 может быть подсчитана как вероятность события АВ. Так как А и В – независимые события, то:

р1 = Р(Х = 2) = Р(АВ) = Р(А)Р(В) = 0,8 · 0,6 = 0,48.

Вероятность значения х2 может быть подсчитана как вероятность события А или В, т. е. р2 = Р(Х = 1) = P(A + В). Учитывая, что А и В – события несовместные, р2 = Р(А ) + Р(В) = Р(А)Р( ) + Р()Р(В) = 0,8 · 0,4 + 0,2 · 0,6 = 0,44.

Вероятность значения х3 есть вероятность события : р3 = Р(Х = 0) = Р( ) = Р()Р( ) = 0,2 · 0,4 = 0,08. Соответственно, закон распределения примет вид:

X	2	1	0
р	0,48	0,44	0,08

2.2. Математическое ожидание и дисперсия

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма вида:

М(Х) = x1р1 + x2p2 + ... + xnpn = , (2)

где xi – возможные значения дискретной случайной величины;

pi – вероятность появления значения xi.

Свойства математического ожидания:

1. М(СХ) = СМ(Х); М(С) = С,

где С – произвольная постоянная величина.

2. М(Х1Х2···Хn) = М(Х1)М(Х2)···М(Хn),