Литература (стр. 10 )

(3.29)

3.  Передаточная функция согласованного фильтра с импульсной реакцией (3.28)

, (3.30)

где – функция комплексно-сопряжённая со спектральной плотностью сигнала s(t). Следовательно, АЧХ согласованного фильтра определяется амплитудным спектром сигнала s(t), а его ФЧХ (без учёта слагаемого – , определяемого задержкой) обратна по знаку фазовой характеристике сигнала s(t).

4.Если на вход фильтра подан сигнал, с которым он согласован, то сигнальная составляющая на выходе согласованного фильтра

(3.31)

где – временная функция корреляции сигнала.

Согласно (3.27) в момент времени Т напряжение на выходе согласованного фильтра пропорционально сигналу на выходе интегратора активного фильтра. Поэтому оптимальный приёмник, реализующий алгоритм (3.22), может быть выполнен и на базе согласованных фильтров. Структурная схема такого приёмника для двоичной системы показана на рисунке

Рассмотрим ещё одно важное свойство согласованного фильтра. Будем подавать сумму детерминированного сигнала и белого шума z(t)=s(t)+N(t) на вход различных линейных цепей с постоянными параметрами и измерять в момент отношение мгновенной мощности сигнальной составляющей к средней мощности шума на выходе цепи. Докажем, что это отношение максимально, если цепь является согласованным фильтром.

Пусть – спектр входного сигнала, а – передаточная функция некоторой линейной цепи. Тогда спектр сигнальной составляющей на выходе цепи равен . С помощью обратного преобразования Фурье найдём значение в момент

(3.32)

Мощность шума (дисперсия) на выходе цепи . Искомое отношение (3.33)

Согласно неравенству Коши Буняковского-Шварца для любых комплексных функций A(x) и B(x) при

, (3.34)

причём равенство имеет место только при B(x)=aA(x) (3.33), где a – произвольная постоянная. Применим неравенство Бунявского-Шварца к числиЕсли положить:

,

то получим,

, (3.35)

где – отношение энергии элемента сигнала Е на входе фильтра к спектральной плотности белого шума.

Знак равенства согласно (3.34) и (3.35) имеет место тогда, когда передаточная функция удовлетворяет (3.30), то есть для согласованного фильтра, что и требовалось доказать. ( .)

Рассмотрим возможности реализации согласованных фильтров. Согласованный фильтр для финитного сигнала произвольного вида s(t) можно, в принципе, построить на основе неискажающей длинной линии, обеспечивающей задержку сигнала на время Т, с бесконечной плотностью отводов, расположенных в дискретных точках с разносом , где F – эффективная ширина спектра сигнала.

Если на вход А линии в начальный момент подаётся один короткий единичный импульс, аппроксимирующий – функцию, то с отводов снимаются такие же импульсы, разнесённые на интервале , которые пройдя через взвешивающие блоки, поступают поочерёдно на вход ФНЧ. Взвешивающие блоки содержат усилители с коэффициентом усиления , а также при отрицательных -инверторы. Таким образом, приведённая схема представляет собой линейный фильтр, называемый трансверсальным с импульсной реакцией s(t). Если входной импульс подать не в точку А, а в точку B, то будет синтезирован сигнал, представляющий зеркальное отображение s(t). Поэтому та же схема со входом в точке B оказывается фильтром, согласованным с s(t).

Существуют различные другие способы реализации фильтра, точно или приближённо согласованного с сигналом заданной формы. Так, например, фильтр, согласованный с прямоугольным импульсом длительностью Т, который по определению должен иметь импульсную реакцию также в форме прямоугольного импульса, можно построить по схеме,

содержащей конденсатор, линию задержки на время Т, инвертор и сумматор. Если на вход этого фильтра подать единичный импульс (дельта - функцию), то он зарядит конденсатор до некоторого напряжения.

Затем спустя время Т через линию задержки и инвертор такой же входной импульс противоположной полярности поступит на конденсатор и разрядит его. Как следствие, на выходе фильтра образуется в качестве импульсной реакции прямоугольный импульс. Вариант фильтра, согласованного с прямоугольным радиоимпульсом , заданном на интервале (0,T), показан ниже.

Он состоит из идеального колебательного контура без потерь, настроенного на частоту и фазовращателя, сдвигающего фазу колебаний контура на – . Линия задержки на Т в схеме и инвертор обеспечивают гашение колебаний фильтра вне интервала (0,T), импульсная же реакция фильтра на этом интервале с учётом фазовращателя , что и обеспечивает согласование.

Сравним реализации на активных фильтрах и СФ.

1. Схема с согласованными фильтрами на первый взгляд кажется проще схемы с активными фильтрами, поскольку в ней нет опорных генераторов и не возникает проблемы обеспечения их когерентности (согласование по фазе с приходящим сигналом). Однако и в схеме с согласованными фильтрами имеются свои практические трудности. В этом можно убедится, сравнив эпюры напряжений (без учёта помех в канале) на выходе фильтра (рис. Б), согласованного с прямоугольным радиоимпульсом (рис. А) и на выходе интегратора активного фильтра (рис. В).

Отметим, что всюду, за исключением точки t=T, напряжения на выходах обоих фильтров отличаются друг от друга.

Из рисунков видно, что допустимая неточность во времени снятия отсчёта максимума сигнала на выходе активного фильтра значительно больше, чем при снятии отсчёта максимума сигнала на выходе согласованного фильтра. При активном фильтре достаточно потребовать, чтобы неточность взятия отсчёта была мала по сравнению с тактовым интервалом Т, а при согласованном фильтре - по сравнению с периодом высокочастотного заполнения радиоимпульса. Трудность обеспечения когерентного отсчёта в согласованном фильтре вполне соизмерима с трудностью реализации когерентных опорных генераторов в активном фильтре.

2. В приёмниках на корреляторах легче осуществить переход на другую частоту. (В случае с СФ – нужно строить новый СФ).

Иногда в технике связи используют фильтры, характеристики которых только частично согласованы с характеристиками сигнала. Такие фильтры называются квазиоптимальными.

3.8 Потенциальная помехоустойчивость систем с различными видами манипуляции

Определим потенциальную помехоустойчивость для двоичной системы с аддитивным белым шумом, когда при приёме точно известны оба ожидаемых сигнала: и , полагая, что априорные вероятности этих сигналов одинаковы. Приходящий сигнал Z(t) является случайным, так как, во-первых, заранее неизвестна реализация передаваемого сигнала, во-вторых, он содержит случайную помеху N(t) .

(3.36)

При выполнении неравенства (3.36) оптимальный приёмник регистрирует символ 1, соответствующий сигналу , в противном случае – символ – 0, соответствующий сигналу . Если действительно передается символ 1, то . При этом вероятность ошибки определится вероятностью того, что неравенство (13.36) не выполнено. Заметим z(t) и E их значениями:

, (3.37)

которое приводится к следующему виду:

(3.38)

Аналогичное соотношение получится, если предположить, что передаётся символ 0.

Следовательно, в обоих случаях вероятности ошибки равны: и сформированный модемом двоичный дискретный канал симметричен.

Введём обозначения:

(3.39)

Тогда: (3.40)

Если N(t) – нормальный стационарный белый шум с нулевым средним и односторонней спектральной плотностью мощности , то – нормально распределённая величина, так как она определяется линейной операцией над нормальным же случайным процессом.

Учитывая выражение для функции корреляции белого шума и фильтрующее свойство – функции, можем получить дисперсию величины :

(3.41)

Тогда вероятность выполнения неравенства (13.40), то есть вероятность ошибки будет равна

(3.42)

где произведена замена переменнойи введено обозначение

(3.43)

Функция Ф – табулирована и называется функцией Крампа. Учитывая, чтоможно (3.42) записать в виде

(3.44)

Таким образом, при заданной интенсивности помехи , потенциальная помехоустойчивость двоичной системы зависит только от так называемой эквивалентной энергии сигналов.

Помехоустойчивость выше, (вероятность ошибки меньше), у той системы, у которой больше эквивалентная энергия используемых сигналов.

Эти важнейшие результаты получил академик .

Сравним различные виды манипуляции для двоичной системы.

1)  АМн – амплитудная манипуляция

; ;

(3.45)

где, – отношение энергии сигнала на входе демодулятора к спектральной плотности флуктуационной помехи.

2)  ЧМн – частотная манипуляция.

(3.46)

(3.46)

Максимально возможные значения и получатся, если

3)  ФМн – фазовая манипуляция

(3.47)

Из сравнения различных видов манипуляции видно, что при переходе от системы АМн к системе с ЧМн (с ортогональными сигналами) можно обеспечить неизменное качество связи (вероятность ошибки) при понижении средней мощности передатчика в 2 раза, то есть получить энергетический выигрыш в 2 раза (или на 3 дБ). При переходе же к системе с ФМн (с противоположными сигналами) получается энергетический выигрыш ещё в 2 раза – по сравнению с ЧМн и в 4 раза – по сравнению с АМн.

Если же сравнение вести не по пиковой, а по средней мощности, то переход от АМн к ЧМн не даёт энергетического выигрыша, поскольку при ЧМн средняя мощность равна максимальной, а при АМн – вдвое меньше максимальной (если и передаются с одинаковой вероятностью).

Однако помехоустойчивость систем с ЧМн значительно выше по сравнению с АМн. Это объясняется не увеличением потенциальной помехоустойчивости, которая для обеих систем одинакова, а главным образом тем, что оптимальная решающая схема для ЧМн реализуется с довольно большой точностью, а при АМ этому препятствует невозможность обеспечить точное оптимальное значение ненулевого порогового уровня . Поэтому реальная помехоустойчивость при ЧМн близка к потенциальной, АМн значительно ниже её.

Система ФМн, как и другие системы с противоположенными сигналами, обеспечивает максимальную для двоичной системы потенциальную помехоустойчивость. Однако реализация демодулятора для когерентного приёма ФМн встречает определённые трудности. При построении демодулятора с активным фильтром возникает проблема поддержания равенства фаз опорного генератора приходящего сигнала. Если пытаться строить его на основе согласованного фильтра, то возникает ещё более трудная задача когерентного отсчёта.

Задача выделения опорного сигнала особенно затрудняется при ФМн, так как, если элементы передаются равновероятно, то спектр сигнала ФМн вообще не содержит составляющей на частоте .

Главным же недостатком ФМн является возможность перескока фазы опорного сигнала, вследствие чего даже при отсутствии аддитивной помехи в канале символы инвертируются (нули в 1,а 1 ). Возникает явление «обратной работы». Поэтому внедрение систем с ФМн долгое время реально было невозможным.

Эффективный метод устранения этого явления был найден путём перехода к относительным методам модуляции предложенным в 1957 году. Они сводятся к модуляции информационного параметра передаваемой посылки элемента сигнала относительно того же параметра предшествующей посылки. При относительной фазовой манипуляции (ОФМн) сообщение содержится не в абсолютном значении фазы элемента сигнала, а в разности фаз двух соседних элементов, при этом символ 1 передаётся повторением этой реализации сигнала, которая имела место в качестве предыдущего элемента, а символ 0 – передачей реализации с обратной фазой, либо наоборот.

Сигналы ОФМн могут приниматься различными методами. Рассмотрим квазикогерентный приём сигналов ОФМн, называемый методом сравнения полярностей. Систему ОФМн можно рассматривать как обычную систему с ФМн, но со специальным перекодированием символов. Это означает, что оптимальный приём сигналов ОФМн, можно осуществить следующей схемой. Перекодирование выполняется сравнением полярностей напряжения на выходе интегратора для двух соседних элементов, для чего требуется задержка выходных символов в ячейке памяти (ЯП) на время Т.

Так как ОФМн – система с активной паузой, то пороговый уровень в демодуляторе – нулевой и решающее устройство превращается в дискриминатор полярности (ДП). Полярности соседних элементов сравниваются в схеме сравнения полярностей (ССП), которая представляет собой обычный перемножитель. Символ 1 регистрируется на выходе приёмника, например, при совпадении полярности двух соседних посылок; символ 0 – если эти полярности различны. При таком методе приёма перескок фазы опорного сигнала (при отсутствии помехи в канале) вызывает ошибку только в одном символе. Последующие же символы регистрируются правильно.

Определим вероятность ошибки в системе ОФМн при учёте флуктуационной помехи в канале при когерентном приёме. Вероятность Рофмнн ошибочной регистрации символов в системе ОФМн не совпадает с вероятностью появления ошибок на выходе фазового детектора или, что то же самое, с вероятностью ошибок в системе «классической» фазовой манипуляции, определяемой (3.47). Очевидно, что ошибочная регистрация символа ( при приёме методом сравнения полярностей) возможна в результате одного из двух несовместимых событий: а) знак данного элемента принят ошибочно, а предыдущего – верно; б) знак данного элемента принят верно, предыдущего – ошибочно. Каждое из этих событий имеет вероятность Рфмн (1 - Рфмн).

Таким образом: .

В нормальных условиях эксплуатации, когда требуется

(3.48)

Таким образом, «платой» за устранение обратной работы является удвоение вероятности ошибки, обусловленной шумом в канале.

Для недвоичных систем () нахождение вероятности ошибочного приёма в общем случае затрудняется, так как приходится анализировать совокупность из (m-1) неравенств. Однако для систем с активной паузой () при равновероятных ортогональных сигналах канал симметричен и можно оценить вероятность простым неравенством

, (3.49)

где – вероятность ошибки для двоичной системы в том же канале, если используется некоторая пара из m сигналов.

3.9 Приём сигналов с неопределённой фазой (некогерентный приём)

В тех случаях, когда не удаётся точно оценить фазу или эта оценка требует применения сложных устройств, используют алгоритм, построенный в предположении, что начальная фаза приходящего сигнала неизвестна и может принимать любое значение на интервале . Такой метод приёма называется некогерентным. Для вывода правила оптимального некогерентного приёма воспользуемся критерием максимального правдоподобия. Математическая модель такого канала:

(3.50)

где – преобразование Гильберта от U(t), – случайная начальная фаза, k– коэффициент передачи канала.

Введём обозначения:

(3.51)

(3.52)

(3.53)

Тогда можно записать:

, (3.54)

где - модифицированная функция Бесселя.

(3.55)

Вместо того, чтобы сравнить отношения правдоподобия можно сравнить их логарифмы, что приводит к следующему алгоритму, который для двоичной системы будет выглядеть:

(3.56)

При выполнении этого неравенства регистрируется 1, в противном случае – 0. Величины и можно получить в момент отсчёта Т на выходе активного фильтра с опорными сигналами, равными соответственно . С учётом сказанного можно осуществить построение на основе активных фильтров схемы, называемой квадратурной и реализующей алгоритм (3.56).

Здесь – соответственно генераторы опорных сигналов ; 90 градусов – фазовращатель всех сигнальных компонентов на 90 градусов (преобразователь Гильберта); БОМ – блок определения модуля вектора ; НУ – нелинейные безынерционные устройства с характеристикой. (3.57)

Величины не зависят от начальной фазы сигналов и пропорциональны огибающей (в моменты отсчёта, кратные Т) на выходе фильтра, согласованного с сигналом . Таким образом, алгоритм (3.56) можно реализовать и на базе согласованных фильтров.

Идеальный детектор Д выделяет огибающую напряжения на выходе согласованного фильтра.

Алгоритм (3.56) и соответственно его реализация существенно упрощаются для систем с равными энергиями (). Для них с учётом монотонного характера функции алгоритм оптимального некогерентного приёма можно записать так:

(3.58)

Для двоичной системы правило (3.58) упрощается и сводится к проверке одного неравенства

(3.59)

При его выполнении регистрируется символ 1, в противном случае – 0. При реализации алгоритма (3.59) не нужны блоки НУ и блоки вычитания. Схемы упрощаются.

Исследования вероятности ошибок в канале с неопределённой фазой и аддитивным гауссовским шумом при поэлементном приёме показало, что минимальную вероятность ошибки обеспечивает система с равными энергиями, у которой сигналы удовлетворяют условиям ортогональности в усиленном смысле. Два сигнала x(t) и y(t) называются ортогональными в усиленном смысле, если соответствующие им аналитические сигналы и также ортогональны. Определим вероятность ошибки при приёме по алгоритму (3.59) двоичных сигналов, удовлетворяющих условиям ортогональности в усиленном смысле. Если передаётся символ 1, то с учётом (3.11) и (3.59) имеем:

(3.60)

, где (3.61)

(3.62)

Если N(t) – нормальный стационарный белый шум с нулевым средним и односторонней спектральной плотностью мощности , то – нормально распределённая величина, так как она определяется линейной операцией над нормальным же случайным процессом. Коэффициенты корреляции и при системе сигналов, ортогональной в усиленном смысле, равны нулю. Некоррелированность гауссовских величин означает их независимость. Следовательно, случайные величины и независимы, причём имеет распределение Рэлея:

(3.63)

имеет распределение Райса:

(3.64)

Вероятность приёма символа 0 при передаче символа 1 определяется формулой:

(3.65)

Используя методы теории вероятностей данное выражение можно преобразовать. В итоге получаем:

– для системы ортогональных сигналов в усиленном смысле (ЧМн) (3.66)

Такова же будет вероятность приёма символа 1 при передаче 0.

Для АМн: (3.67)

Для ОФМн (по методу сравнения фаз):

(3.68)

Рассмотрим теперь, как осуществляется оптимальный приём в канале, где флуктуирует не только начальная фаза, но и амплитуда сигнала.

Задача синтеза оптимального демодулятора дискретных сигналов, с неопределённой фазой и амплитудой решается аналогично задаче синтеза сигналов с неопределённой фазой. Однако условия приёма несколько отличаются. Математическая модель такого сигнала называется гауссовским каналом с общими замираниями.

Сигнал на выходе канала флуктуирует как по начальной фазе, так и по амплитуде. Это приводит к некоторому изменению выражений для функции правдоподобия и для правила принятия решений. Однако структура оптимального приёмника совпадает со структурой оптимального приёмника дискретных сигналов с неопределённой начальной фазой. Изменяются только значения пороговых уровней на входах устройств сравнения.

Помехоустойчивость приёма дискретных сообщений при замираниях сигнала получена для случая приёма двоичных ортогональных сигналов с равными энергиями.

Замирания считаются медленными, когда на протяжении единичного интервала амплитуда остаётся постоянной, но меняется случайным образом от интервала к интервалу.

Если считать что плотность распределения амплитуды подчиняется закону Рэлея, то вероятность ошибки

(3.69)

где – отношение мощностей постоянной и флуктуирующей составляющих.

На рисунке показана зависимость согласно (3.66) в двоичной системе, ортогональной в усиленном смысле, с равными энергиями, например ЧМн при оптимальном некогерентном приёме (кривая 2), а также зависимость для канала с общими замираниями (кривая 3).

Здесь же для сравнения приведена кривая, характеризующая потенциальную помехоустойчивость той же системы при когерентном приёме (кривая 1). Сравнение кривых показывает, что для рассматриваемой системы связи (с равными энергиями, ортогональной в усиленном смысле) априорное знание фазы и когерентный приём дают лишь очень небольшой энергетический выигрыш по сравнению со случаем некогерентного приёма. Этот выигрыш тем меньше, чем ниже допустимая вероятность ошибки. Для каналов с замиранием вероятность ошибки увеличивается и может быть снижена за счёт увеличения мощности сигнала. Систему ФМн так же как и другие системы с противоположными сигналами, отличающимися сдвигом фаз на , при некогерентном приёме применять нельзя, так как при неизвестной начальной фазе такие сигналы неразличимы. Однако, если сдвиг фазы в канале изменяется достаточно медленно, то разности фаз между соседними элементами практически сохраняются и могут быть измерены в приёмнике. Поэтому вполне возможен некогерентный приём при ОФМн.