Литература (стр. 5 )

Случайные процессы, образованные реализациями, зависящими от конечного числа параметров, принято называть квазидетерминированными случайными процессами.

6.2. Характеристики случайных процессов

Определим в начале основные характеристики случайных величин. Пусть Х – случайная величина, т. е. совокупность всевозможных вещественных чисел x, принимающих случайное значение. Исчерпывающее описание статистических свойств Х можно получить, располагая неслучайной функцией F(x) вещественного аргумента x, которая равна вероятности того, что случайное число из X примет значение, равное или меньшое конкретного х:

(6.1)

Функция F(x) называется функцией распределения случайной величины Х. Если Х может принимать любые значения, то F(x) является гладкой неубывающей функцией, значения которой лежат на отрезке . Имеют место следующие предельные равенства:

Производная от функции распределения есть плотность распределения вероятности (или, короче плотность вероятности) данной случайной величины.

(6.2)

То есть величина есть вероятность попадания случайной величины Х в интервал .

Для непрерывной случайной величины Х плотность вероятности р(x) представляет собой гладкую функцию. Если же Х – дискретная случайная величина, принимающая фиксированные значения с вероятностями соответственно, то для неё плотность вероятности выражается как сумма дельта-функций.

(6.3)

В обоих случаях плотность вероятности должна быть неотрицательной: и удовлетворять условию нормировки:

(6.4)

Рассмотрим теперь плотность вероятности для случайных процессов. Пусть Х(t) случайный процесс, заданный ансамблем реализаций а - некоторый произвольный момент времени. Фиксируя величины , получаемые в отдельных реализациях, осуществляем одномерное сечение данного случайного процесса и наблюдаем случайную величину . Её плотность вероятности называется одномерной плотностью вероятности процесса X(t) в момент времени .

Информация которую можно извлечь из одномерной плотности вероятности, недостаточна для того, чтобы судить о характере развития реализаций случайного процесса во времени. Гораздо больше сведений можно получить, располагая двумя сечениями случайного процесса в несовпадающие моменты времени и .

Возникающая при таком мысленном эксперименте двумерная случайная величина описывается двумерной плотностью вероятности .

Естественным обобщением является n-мерное сечение случайного процесса (n>2), приводящее к n-мерной плотности вероятности .

Многомерная плотность вероятности случайного процесса должна удовлетворять обычным условиям, налагаемым на плотность вероятности совокупности случайных величин. Помимо этого, величина не должна зависеть от того, в каком порядке располагаются её аргументы (условие симметрии).

6.3. Моментные функции случайных процессов

Вполне удовлетворительные для практики, хотя и менее детальные, характеристики случайных процессов можно получить, вычисляя моменты тех случайных величин, которые наблюдаются в сечениях этих процессов. Поскольку в общем случае эти моменты зависят от временных аргументов, они получили название моментных функций.

Для техники наибольшее значение имеют три моментные функции низших порядков, называемые математическим ожиданием, дисперсией и функцией корреляции.

Математическое ожидание – начальный момент I-го порядка:

(6.5)

есть среднее значение процесса X(t) в текущий момент времени t: усреднение проводится по всему ансамблю реализаций процесса.

Дисперсия центральный момент II-го порядка:

(6.6)

позволяет судить о степени разброса мгновенных значений, принимаемых отдельными реализациями в фиксированном сечении t, относительно среднего значения.

Двумерный центральный момент II-го порядка.

(6.7)

называется функцией корреляции случайного процесса X(t). Эта моментная функция характеризует степень статистической связи тех случайных величин, которые наблюдаются при . Из сравнения формул (6.6) и (6.7) видно, что при совмещении сечений функция корреляции численно равна дисперсии:

(6.8)

6.4. Свойства случайных процессов

1. Стационарность. Случайные процессы, статистические характеристики которых одинаковы во всех сечениях называются стационарными случайными процессами. Различаются стационарные случайные процессы в узком смысле и широком смысле. Случайный процесс стационарен в узком смысле, если любая n-мерная плотность вероятности инвариантна относительно временного сдвига :

(6.9)

Если же ограничить требования тем, чтобы математическое ожидание m и дисперсия процесса не зависели от времени, а функция корреляции зависела лишь от разности , т. е. , то подобный случайный процесс будет стационарен в широком смысле. Из стационарности в узком смысле следует стационарность в широком смысле, но не наоборот. Как следует из определения, функция корреляции стационарного случайного процесса является чётной:

Кроме того, абсолютные значения этой функции при любом не превышают её значения при :

(6.10)

Часто удобно использовать нормированную функцию корреляции:

(6.11)

Для которой

2. Эргодичность. Стационарный случайный процесс называется эргодическим, если при нахождении его моментных функций усреднение по статистическому ансамблю можно заменить усреднением по времени.

Операция усреднения выполняется над единственной реализацией x(t), длительность Т которой теоретически может быть сколь угодно велика. Обозначая усреднение по времени угловыми скобками, запишем математическое ожидание эргодического случайного процесса:

, (6.12)

которое равно постоянной составляющей выбранной реализации.

Дисперсия подобного процесса.

(6.13)

Поскольку величина представляет собой мощность реализации, а величина - мощность постоянной составляющей, дисперсия имеет наглядный смысл мощности флуктуационной составляющей эргодического процесса.

Аналогично находим функцию корреляции:

(6.14)

Достаточным условием эргодичности случайного процесса, стационарного в широком смысле, является стремление к нулю функции корреляции при неограниченном росте временного сдвига :

(6.15)

Это требование можно несколько ослабить и применительно к гармоническому процессу со случайной начальной фазой. Случайный процесс эргодичен если выполняется условие Слуцкого:

(6.16)

6.5. Функция корреляции двух случайных процессов

Во многих случаях представляет интерес вопрос о том, какова статистическая связь между двумя стационарными случайными процессами X(t) и Y(t). Принято вводить взаимные функции корреляции этих процессов по формулам:

(6.17)

Случайные процессы называются стационарно связанными, если функции и , зависят не от самих аргументов , а лишь от разности . В этом случае, очевидно,

(6.18)

Предположим, что случайные процессы X(t) и Y(t) статистически независимы, в том смысле, что для мгновенных значений и независимо от величины двумерная совместная плотность вероятности .

Тогда:

То есть из статистической независимости случайных процессов вытекает их некоррелированность. Однако в общем случае обратное утверждение не справедливо.

6.6. Измерение характеристик случайных процессов

Если случайный процесс является эргодическим, то его реализация достаточной длины есть «типичный» представитель статистического ансамбля. Изучая эту реализацию экспериментально, можно получить много сведений, характеризующих данный случайный процесс.

Прибор для измерения одномерной плотности вероятности случайного процесса может быть выполнен следующим образом. Одномерная плотность вероятности эргодического случайного процесса есть величина пропорциональная относительному времени пребывания его реализации на уровне между x и . Предположим, что имеется устройство с двумя входами, на один из которых подаётся исследуемая реализация x(t), а на другой опорное напряжение, уровень которого можно регулировать. На выходе устройства возникают прямоугольные видеоимпульсы постоянной амплитуды, начало и конец которых определяется моментами времени, когда текущие значения случайного сигнала совпадают либо с уровнем либо с уровнем . Если теперь измерить, скажем, с помощью обычного стрелочного прибора среднее значение тока, создаваемого последовательностью видеоимпульсов, то показания прибора будут пропорциональны плотности вероятности .

Любой достаточно инерционный стрелочный прибор может быть использован для измерения математического ожидания случайного процесса (смотри формулу 6.5).

Прибор, измеряющий дисперсию случайного процесса, как это следует из (6.6) , должен иметь на входе конденсатор, отделяющий постоянную составляющую. Дальнейшие этапы процесса измерения – возведение в квадрат и усреднение по времени – выполняются инерционным квадратичным вольтметром.

Принцип работы измерителя функции корреляции (коррелометра) вытекает из формулы (6.7). Здесь мгновенные значения случайного сигнала после фильтрации постоянной составляющей, разделяясь на два канала поступают на перемножитель, причём в одном из каналов сигнал задерживается на время . Для получения значения функции корреляции сигнал с выхода перемножителя обрабатывается инерционным звеном, которое осуществляет усреднение.

6.7. Спектральное представление стационарных случайных процессов. Теорема Винера-Хинчина

Рассмотрим стационарный случайный процесс Х(t) c нулевым математическим ожиданием: . Отдельно взятая реализация этого процесса есть детерминированная функция, которую можно представить в виде обратного преобразования Фурье:

(6.19)

с некоторой детерминированной спектральной плотностью . Для того, чтобы описать весь ансамбль реализаций, образующий процесс Х(t), нужно допустить, что спектральные плотности сами являются случайными функциями частоты. Таким образом, случайный процесс во временной области порождает другой случайный процесс-в частотной области. Если реализация случайного процесса представлена в форме (6.19) то говорят, что осуществлено спектральное представление этого процесса.

Важным вопросом является следующий: какими свойствами должны обладать случайные функции для того, чтобы процесс Х(t) был стационарным в широком смысле?

Свойства случайной спектральной плотности:

1) Прежде всего усредним мгновенные значения сигналов x(t) по ансамблю реализаций и приравняем его к нулю.

Это равенство будет выполняться тождественно при любом значении t, если потребовать выполнения условия . Итак, случайная спектральная плотность отдельных реализаций стационарного случайного процесса должна иметь нулевое математическое ожидание на всех частотах.

2) Возьмём комплексно сопряжённый сигнал, так что наряду с (6.19) справедливо равенство:

(6.20)

Запишем выражение функции корреляции процесса X(t), используя спектральные разложения случайных реализаций:

(6.21)

Здесь во внутреннем подынтегральном выражении содержится множитель , имеющий смысл функции корреляции случайной спектральной плотности. Для того чтобы функция не зависела от времени t, необходимо, как это видно из выражения (6.21) выполнение следующей пропорциональности:

(6.22)

Случайная спектральная плотность стационарного процесса имеет специфическую структуру; ее значения отвечающие любым двум несовпадающим частотам, некоррелированы между собой. В то же время средний квадрат (дисперсия) случайной спектральной плотности неограниченно велик при любых частотах. Такой вид корреляционной связи называют дельта-коррелированностью.

Введём в формулу (6.22) множитель пропорциональности, зависящий от частоты, и запишем это равенство таким образом:

(6.23)

Функция называется спектральной плотностью мощности процесса Х(t) (спектром мощности). Если случайный сигнал является напряжением, то его спектр мощности имеет размерность , то есть размерность удельной мощности, выделяемой на единичном резисторе.

Подставив (6.23) в (6.21) приходим к важному результату:

(6.24)

(6.25)

Итак функция корреляции и спектр мощности стационарного случайного процесса связаны между собой преобразованиями Фурье.

Формулы (6.24) и (6.25) составляют содержание теоремы Винера-Хинчина (1934 г. и Н. Винер).

Для того чтобы выяснить физический смысл дисперсии, положим в (6.24) Тогда поскольку , получаем

(6.26)

Следует подчеркнуть различие между энергетическим спектром детерминированного импульсного сигнала u(t) и спектральной плотностью мощности стационарного случайного процесса X(t). Функция характеризует меру энергии, приходящуюся на единичную полосу частот. В отличие от этого функция характеризует удельную меру мощности. Этот факт находит отражение и в разных физических размерностях данных функций.

Свойства спектральной плотности мощности

1) По своему физическому смыслу спектр мощности вещественен и неотрицателен:

Необходимо указать, что спектральная плотность мощности стационарного случайного процесса, будучи всегда вещественной, не содержит никакой информации о фазовых соотношениях между отдельными спектральными составляющими. Поэтому по спектру мощности принципиально невозможно восстановить какую либо отдельно взятую реализацию случайного процесса.

2) Поскольку чётная функция аргумента , то соответствующий спектр мощности представляет собой чётную функцию частоты . Отсюда следует, что пару преобразований Фурье (6.25), (6.26) можно записать, используя лишь интегралы в полубесконечных пределах:

(6.27)

(6.28)

3. Целесообразно ввести так называемый односторонний спектр мощности случайного процесса, определив его следующим образом:

(6.29)

Функция позволяет вычислить дисперсию стационарного случайного процесса путём интегрирования по положительным (физическим частотам):

(6.30)

4. В технических расчётах часто вводят односторонний спектр мощности N(f), представляющий собой среднюю мощность случайного процесса, приходящуюся на интервал частот шириной в 1 Гц:

(6.31)

При этом, как легко видеть

Весьма важным параметром случайных процессов является интервал корреляции. Случайные процессы, как правило, обладают следующими свойствами: их функция корреляции стремится к нулю с увеличением временного сдвига . Чем быстрее убывает функция , тем меньше оказывается статистическая связь между мгновенными значениями случайного сигнала в два несовпадающих момента времени.

Числовой характеристикой, служащей для оценки «скорости изменения» реализации случайного процесса, является интервал корреляции определяемый выражением:

(6.32)

Если известна информация о поведении какой-либо реализации «в прошлом», то возможен вероятностный прогноз случайного процесса на время порядка .

Ещё одним существенным параметром для случайного процесса является эффективная ширина спектра. Пусть исследуемый случайный процесс характеризуется функцией - односторонним спектром мощности, причём - экстремальное значение этой функции. Заменим мысленно данный случайный процесс другим процессом, у которого спектральная плотность мощности постоянна и равна в пределах эффективной полосы частот , выбираемой из условия равенства средних мощностей обоих процессов:

Отсюда получается формула для эффективной ширины спектра:

(6.33)

Вне пределов указанной полосы спектральная плотность случайного процесса считается равной 0.

Этой числовой характеристикой часто пользуются для инженерного расчёта дисперсии шумового сигнала: .

Если реализации случайного процесса имеют размерность напряжения (В), то относительный спектр мощности N имеет размерность .

6.8 Типовые модели случайных сигналов

А) Белый шум.

стационарный случайный процесс с постоянной на всех частотах спектральной плотностью мощности называется белым шумом.

(6.34)

Термин «белый шум» образно подчёркивает аналогию с «белым» (естественным) светом, у которого в пределах видимого диапазона интенсивность всех спектральных составляющих приблизительно одинакова.

По теореме Винера-Хинчина функция корреляции белого шума:

равна нулю всюду кроме точки . Средняя мощность (дисперсия) белого шума неограниченно велика.

Белый шум является дельта-коррелированным процессом. Некоррелированность мгновенных значений такого случайного сигнала означает бесконечно большую скорость изменения их во времени – как бы мал ни был интервал , сигнал за это время может измениться на любую наперёд заданную величину.

Белый шум является абстрактной математической моделью и отвечающий ему физический процесс в природе, безусловно, не существует. Однако это не мешает приближённо заменять реальные достаточно широкополосные случайные процессы белым шумом в тех случаях, когда полоса пропускания цепи, на которую воздействует случайный сигнал, оказывается существенно уже эффективной ширины спектра шума.

Б) Случайный синхронный телеграфный сигнал

Найдём функцию корреляции и спектральную плотность мощности телеграфного сигнала. Под случайным синхронным телеграфным сигналом понимается центрированный случайный процесс, принимающий с равной вероятностью значения +1 и -1, причём смена значения может происходить только в моменты времени, разделённые промежутком (тактовым интервалом). Значения на разных тактовых интервалах независимы. Пример реализации такого процесса приведен на рисунке:

Границы тактовых интервалов у разных реализаций не совпадают, так что любой момент времени на интервале от 0 до Т может с равной вероятностью оказаться моментом начала такта. Для определения функции корреляции рассмотрим два сечения в моменты и , обозначим - через и найдём математическое ожидание произведения . Если >, то эти сечения принадлежат разным тактовым интервалам, и произведение может с равной вероятностью принимать значения +1 и -1, так что его математическое ожидание равно нулю. Если же <, то возможны два случая: случай А, когда они принадлежат одному интервалу и следовательно, =1, и случай Б, когда они принадлежат разным интервалам и может с равной вероятностью равняться +1 и -1. Поэтому при < математическое ожидание равно вероятности P(A) того, что оба сечения оказались в одном интервале. Отсюда видно что случай А имеет место, если первое из двух сечений отстоит от начала тактового интервала не более чем на , а вероятность этого равна . Таким образом:

Так как зависит только от разности - =, а , то процесс стационарный.

График функции корреляции

Спектральную плотность мощности синхронного сигнала можно определить по формуле

Откуда:

(6.35)

График спектральной плотности:

В) Гауссово (нормальное) распределение.

В теории случайных сигналов фундаментальное значение имеет гауссова плотность вероятности.

(6.36)

содержащая два числовых параметра m и . График данной функции представляет собой колоколообразную кривую с единственным максимумом в точке x=m. При уменьшении график всё более локализуется в окрестности точки x=m.

Непосредственным вычислением можно убедиться, что параметры гауссова распределения имеют смысл соответственно математического ожидания и дисперсии: ; . Функция распределения гауссовой случайной величины

Замена переменной даёт:

(6.37)

Здесь Ф интеграл вероятностей

График функции F(x) имеет вид монотонной кривой, изменяющейся от 0 до 1.

6.9 Узкополосные случайные сигналы

Исследуем свойства узкополосных случайных сигналов, у которых спектральная плотность мощности имеет резко выраженный максимум вблизи некоторой частоты , отличной от нуля. Определим функцию корреляции узкополосного случайного процесса.

Рассмотрим стационарный случайный процесс x(t), односторонний спектр мощности которого концентрируется в окрестности некоторой частоты >0. По теореме Винера-Хинчина функция корреляции данного процесса

(6.38)

Мысленно сместим спектр процесса из окрестности частоты в окрестность нулевой частоты, выполнив замену переменной . Тогда формула (6.36) приобретает вид:

(6.39)

В соответствии с исходным предположением об узкополосности процесса X(t) его спектр мощности исчезающе мал на частотах, близких к нулю. По этому в выражении (6.37) можно заменить нижний предел интегрирования на , не внося ощутимой погрешности, и записать функцию корреляции в виде

(6.40)

Особенно простой функция корреляции узкополосного процесса получается в случае, когда спектр мощности симметричен относительно центральной частоты . При этом , так что