Литература (стр. 3 )

Раздел 3. Сигналы с ограниченным спектром

Для восстановления сигнала по его спектру необходимо учитывать все составляющие с частотами, лежащими в интервале от нуля до бесконечности. Однако с физической точки зрения такая процедура принципиально неосуществима.

К тому же вклад спектральных составляющих при пренебрежимо мал в силу ограниченности энергии сигналов. Кроме того, любое реальное устройство, предназначенное для передачи и обработки сигналов, имеет конечную ширину полосы пропускания.

Поэтому на практике обычно используется математическая модель сигнала с ограниченным спектром. Сигналы, спектральная плотность которых отлична от нуля лишь в пределах некоторой полосы частот конечной протяжённости, называются сигналами с ограниченным спектром.

3.1. Некоторые математические модели сигналов с ограниченным спектром

1) Рассмотрим колебание с постоянной вещественной спектральной плотностью в пределах отрезка оси частот от до верхней граничной частоты , вне этого отрезка спектральная плотность сигнала обращается в нуль:

(3.1)

Мгновенное значение такого сигнала :

(3.2)

Спектральная плотность такого сигнала:

Такое колебание называется идеальным низкочастотным сигналом (ИНС). График ИНС, построенный по формуле (3.2) имеет вид осциллирующей кривой относительно отсчёта времени. С увеличением верхней граничной частоты спектра возрастают как центральный максимум, так и частота осцилляций.

ИНС более общего вида получается, если в формулу (3.1) ввести фазу спектральной плотности, линейно зависящую от частоты.

(3.3)

Спектральной плотности соответствует низкочастотный сигнал, смещённый во времени относительно сигнала (3.2) на секунд.

(3.4) ИНС является идеализированной выходной реакцией фильтра низких частот (ФНЧ), возбуждаемого колебанием с равномерной по частоте спектральной плотностью, т. е. дельта-импульсом.

2) Исследуем математическую модель сигнала, спектр которого ограничен полосами частот шириной каждая с центрами на частотах . Если в пределах этих полос спектральная плотность сигнала постоянна:

(3.5)

По аналогии с предыдущим данный сигнал будем называть идеальным полосовым сигналом (ИПС).

Мгновенные значения ИПС найдём, используя обратное преобразование Фурье:

(3.6)

Спектральная плотность ИПС:

Строя график ИПС, видим что наряду с высокочастотными осцилляциями на частоте наблюдается изменение во времени мгновенного значения их амплитуды. Функция с точностью до масштабного коэффициента играет роль медленной огибающей ИПС.

Теоретически возможный способ получения ИПС очевиден: на вход идеального полосового фильтра, пропускающего лишь колебания с частотами в пределах полосы , должно быть подано широкополосное воздействие вида дельта-импульса.

Свойство ограниченности спектра позволяет находить интересные и важные классы ортогональных сигналов. Простейший пример – два ортогональных полосовых сигнала, области существования спектра которых не пересекаются.

Менее очевидный способ ортогонализации сигналов с ограниченным спектром заключается в их временном сдвиге. Рассмотрим два идеальных низкочастотных сигнала и . Оба этих сигнала имеют одинаковые параметры и (см. формулу 3.2), однако сигнал запаздывает по отношению к на время , так что его спектральная плотность . Скалярное произведение этих сигналов, вычисленное через спектральные плотности.

(3.7)

Скалярное произведение обращается в нуль и два одинаковых по форме ИНС оказываются ортогональными, если временной сдвиг удовлетворяет условию.

Минимально возможный сдвиг приводящий к ортогонализации, получается при :

(3.8)

График двух идеальных низкочастотных сигналов:

В момент времени, когда один из сигналов достигает максимума, другие сигналы из данного семейства проходят через нуль.

3.2 Теорема Котельникова

Эта теорема (доказана академиком в 1933 г.), устанавливает возможность сколь угодно точного восстановления мгновенных значений сигнала с ограниченным спектром, исходя из отсчетных значений (выборок), взятых через равные промежутки времени.

Любые два сигнала с ограниченным спектром, принадлежащие семейству (3.9)

являются ортогональными если установить сдвиг

Путём соответствующего выбора амплитудного множителя А можно добиться того, чтобы норма каждого из этих сигналов стала единичной. В результате будет построен ортонормированный базис, позволяющий разложить произвольный сигнал с ограниченным спектром в обобщённый ряд Фурье. Из семейства функции достаточно рассмотреть лишь функцию при k=0.

(3.10)

так как норма любого сигнала одинакова независимо от сдвига во времени. Определим квадрат нормы и проинтегрируем по t.

Функции будут ортонормированными, если:

(3.11)

Бесконечная совокупность функций.

(3.12)

образует базис Котельникова в линейном пространстве низкочастотных сигналов со спектрами, ограниченными сверху значением . Отдельная функция называется k-той отсчётной функцией. Если произвольный сигнал, спектральная плотность которого отлична от нуля лишь в полосе частот то его можно разложить в обобщенный ряд Фурье по базису Котельникова:

(3.13)

Коэффициентами ряда служат, как известно, скалярные произведения разлагаемого сигнала и k-той отсчётной функции:

(3.14)

Удобный способ вычисления этих коэффициентов заключается в применении теоремы Планшереля. Легко проверить, что каждая отсчётная функция в пределах отрезка имеет спектральную плотность, равную .

Тогда, если - спектр излучаемого сигнала S(t), то по теореме Планшереля ,

Тогда:

(3.15)

Величина в фигурных скобках есть не что иное, как , т. е. мгновенное значение сигнала S(t) в каждой отсчётной точке (по аналогии с )

Таким образом:

(3.16)

Откуда следует выражение ряда Котельникова:

(3.17)

Теорему Котельникова принято формулировать так: произвольный сигнал, спектр которого не содержит частот выше Гц, может быть полностью восстановлен, если известны отсчётные значения этого сигнала, взятые через равные промежутки времени с.

Важная особенность теоремы Котельникова состоит в её конструктивном характере: она не только указывает на возможность разложения сигнала в соответствующий ряд, но и определяет способ восстановления непрерывного сигнала, заданного своими отсчётными значениями.

Теорема Котельникова показывает возможность «цифровизации» непрерывных сообщений.

3.3. Узкополосные сигналы

Сигнал называется узкополосным, если его спектральная плотность отлична от нуля лишь в пределах частотных интервалов шириной П, образующих окрестности точек , причём должно выполняться условие .

Как правило, можно считать, что частота , называемая опорной частотой сигнала, совпадает с центральной частотой спектра.

(3.18)

Обе входящие функции и является низкочастотными, их относительное изменение за период высокочастотных колебаний достаточно малы. Функцию принято называть синфазной амплитудой узкополосного сигнала при заданном значении опорной частоты , а функцию - его квадратурной амплитудой.

Синфазную и квадратурную амплитуду можно выделить аппаратурным способом. Пусть имеется перемножающее устройство, на один из входов которого подан узкополосный сигнал , а на другой – вспомогательное колебание, изменяющееся во времени по закону . На выходе перемножителя будет получен сигнал :

Пропустим выходной сигнал перемножителя через фильтр нижних частот (ФНЧ), подавляющий составляющие с частотами порядка . Ясно, что с выхода фильтра будет поступать низкочастотное колебание, пропорциональное синфазной амплитуде .

Если на один из входов перемножителя подать вспомогательное колебание , то такая система будет выделять из узкополосного сигнала S(t) его квадратурную амплитуду .

С физической точки зрения узкополосные сигналы представляют собой квазигармонические колебания. Обобщим метод комплексных амплитуд, известный из электротехники на узкополосные сигналы вида (3.18).

Введём комплексную низкочастотную функцию:

(3.19)

называемую комплексной огибающей узкополосного сигнала.

Формулу (3.19), определяющую комплексную огибающую, можно представить также в показательной форме:

(3.20)

Здесь - вещественная неотрицательная функция времени, называемая физической огибающей (часто для практики просто огибающей), - медленно изменяющаяся во времени начальная фаза узкополосного сигнала.

Величины , связаны с синфазной и квадратурной амплитудами соотношениями:

(3.21) Откуда вытекает ещё одна форма записи математической модели узкополосного сигнала:

(3.22)

Введём полную фазу узкополосного колебания и определим мгновенную частоту сигнала, равную производной по времени от полной фазы:

(3.23)

В соответствии с формулой (3.22) узкополосный сигнал общего вида представляет собой колебание, получающееся при одновременной модуляции несущего гармонического сигнала, как по амплитуде, так и по фазовому углу.

Используя равенства (3.21) физическую огибающую можно определить через синфазную и квадратурную амплитуды:

(3.24)

Комплексная огибающая узкополосного сигнала не определяется однозначно сигналом , а зависит также от выбора частоты .

Если обозначить через спектральную плотность комплексной огибающей узкополосного сигнала S(t); который, в свою очередь, имеет спектральную плотность то нетрудно видеть что:

(3.25)

Таким образом, спектральная плотность узкополосного сигнала может быть найдена путём переноса спектра комплексной огибающей из окрестности нулевой частоты в окрестности точек . Амплитуды всех спектральных составляющих сокращаются вдвое; для получения спектра в области отрицательных частот используется операция комплексного сопряжения.

Формула (3.25) полезна тем, что по известному спектру узкополосного сигнала позволяет найти спектр его комплексной огибающей, (которая в свою очередь определяет физическую огибающую и мгновенную частоту сигнала).

3.4. Аналитический сигнал и преобразования Гильберта

Анализируя формулу обратного преобразования Фурье, приходим к выводу, что произвольный сигнал S(t) с известной спектральной плотностью можно записать как сумму двух составляющих, каждая из которых содержит или только положительные, или только отрицательные частоты:

(3.26)

Назовём функцию:

(3.27)

аналитическим сигналом, отвечающим колебанию S(t). Первый из интегралов в правой части формулы (3.26) путём замены переменной преобразуется к виду:

(3.28)

Поэтому формула (3.26) устанавливает связь между сигналами S(t) и : (3.29)

или: - вещественная часть аналитического сигнала. Мнимая часть аналитического сигнала:

(3.30)

Называется сопряжённым сигналом по отношению к исходному колебанию S(t). Итак аналитический сигнал:

(3.31)

На комплексной плоскости этот сигнал отображается вектором, модуль и фазовый угол которого изменяются во времени. Проекция аналитического сигнала на вещественную ось в любой момент времени равна исходному сигналу S(t).

Исследуем спектральную плотность аналитического сигнала. Пусть

Если - спектральная плотность сопряжённого сигнала, то в силу линейности преобразования Фурье:

(3.32)

Спектральная плотности исходного и сопряжённого сигналов связаны между собой следующим образом:

(3.33)

Чтобы на практике получить сопряжённый сигнал, необходимо исходное колебание S(t) подать на вход некоторой системы, которая осуществляет поворот фаз всех спектральных составляющих на угол -в области положительных частот и на угол в области отрицательных частот, не изменяя по амплитуде. Формула (3.33) показывает, что спектральная плотность сопряжённого сигнала есть произведение спектра исходного сигнала и функции . В соответствии с обратной теоремой о свёртке сопряжённый сигнал представляет собой свёртку двух функций S(t) и f(t), которая является обратным преобразованием Фурье по отношении к функции .

Для удобства вычислений представим эту функцию в виде предела:

Тогда:

(3.34)

Таким образом сопряжённый сигнал связан с исходным сигналом соотношением:

(3.35)

Можно поступить и по иному, выразив сигнал S(t) через , который полагается известным. Для этого достаточно заметить, что из (3.33) вытекает следующая связь между спектральными плотностями.

Поэтому соответствующая формула будет отличаться от (3.35) лишь знаком:

(3.36)

Формулы (3.35) и (3.36) называются прямым и обратным преобразованием Гильберта.

Символическая запись его такова:

(3.37)

Функция называется ядром этих преобразований.

Свойства преобразований Гильберта.

1) Простейшее свойство – линейность. (3.38)

2) Сигнал, сопряжённый к константе, тождественно равен нулю: (3.39)

3) Важное свойство преобразования Гильберта состоит в следующем: если при каком-либо t исходный сигнал S(t) достигнет экстремума(максимума или минимума), то в окрестности этой точки сопряжённый сигнал проходит через нуль. Если исходный сигнал изменяется во времени «подобно косинусу», то сопряжённый с ним сигнал изменяется «подобно синусу».

4) Преобразования Гильберта имеют нелокальный характер: в общем случае поведение сопряженного сигнала в окрестности какой-либо точки, зависит от свойств исходного сигнала на всей оси времени.

Некоторые применения преобразований Гильберта

1) Преобразования Гильберта для гармонических сигналов (3.40)

2) Преобразования Гильберта для узкополосного сигнала.

Пусть известна функция - спектральная плотность комплексной огибающей узкополосного сигнала S(t) с опорной частотой . Согласно формуле (3.25), спектр данного сигнала.

Первое слагаемое в правой части соответствует области частот , второе . Тогда на основании формулы (3.33) спектр сопряжённого сигнала:

(3.41)

Откуда видно, что спектральная плотность комплексной огибающей сопряжённого сигнала.

(3.42)

Сопряжённый сигнал в данном случае так же является узкополосным. Если комплексная огибающая исходного сигнала: , то в соответствии с равенством (3.42) комплексная огибающая сопряжённого сигнала равна и отличается от комплексной огибающей исходного колебания лишь наличием постоянного фазового сдвига на в сторону запаздывания.

Отсюда следует что узкополосному сигналу:

соответствует сопряжённый по Гильберту сигнал.

(3.43)

3) Преобразование Гильберта огибающей, полной фазы и мгновенной частоты.

В рамках метода преобразования Гильберта огибающая произвольного сигнала S(t) определяется как модуль соответствующего аналитического сигнала:

(3.44)

По определению полная фаза любого сигнала S(t) равна аргументу аналитического сигнала :

(3.45)

Мгновенная частота сигнала есть производная полной фазы по времени:

(3.46)

Зная аналитический сигнал можно определить огибающую и мгновенную частоту узкополосного сигнала, не применяя искусственное понятие опорной частоты. Кроме того, формулы (3.44, 3.45, 3.45) сохраняют смысл и применительно к сигналам произвольного вида.

Согласно методу преобразований Гильберта, огибающая и мгновенная частота сигнала жёстко связаны друг с другом и их нельзя выбрать произвольно.

Теория аналитического сигнала разработана выдающимся венгерским физиком Денешем Габором, лауреатом Нобелевской премии.

Раздел 4. Основы корреляционного анализа сигналов

4.1. Взаимная спектральная плотность сигналов. Энергетический спектр

Пусть имеется два вещественных сигнала U(t) и V(t). Назовём взаимным энергетическим спектром двух вещественных сигналов функцию (4.1)

такую что:

(4.2)

причём:

(4.3)

Взаимный энергетический спектр - функция, принимающая в общем случае, комплексные значения:

(4.4)

где - чётная, а нечётная функция частоты. Вклад в интеграл даёт только вещественная часть, поэтому:

(4.5)

Последняя формула даёт возможность проанализировать взаимосвязь сигналов. Более того формула (4.5) указывает путь, позволяющий уменьшить связи между двумя сигналами, добившись в пределе их ортогональности. Для этого один из сигналов нужно подвергнуть обработке частотным фильтром. К этому фильтру предъявляется требование не пропускать на выход спектральные составляющие, находящиеся в пределах частотного интервала, где вещественная часть взаимного энергетического спектра велика. Частотная зависимость к-та передачи такого сигнала ортогонализирующего фильтра будет обладать резко выраженным минимумом в пределах указанной области частот.

Если в формуле (4.1) сигналы U(t) и V(t) считать одинаковыми то эта формула приобретает вид:

(4.6)

Величина носит название спектральной плотности энергии сигнала U(t) или, короче, его энергетического спектра. Формула равенства Парсеваля при этом запишется так:

(4.7)

Подход, основанный на спектральном представлении энергии сигнала, выгодно отличается относительной простотой. Энергии, отвечающие различным областям частотной оси, складываются так же, как вещественные числа. Однако, изучая сигнал с помощью его энергетического спектра, мы неизбежно теряем информацию, которая заключается в фазовом спектре сигнала, поскольку в соответствии с формулой (4.6) энергетический спектр есть квадрат модуля спектральной плотности и не зависит от её фазы. Однако понятие энергетического спектра широко применяется для инженерных оценок, устанавливающих ширину спектра сигнала и копи:

4.2. Автокорреляционная функция сигналов

Задача корреляционного анализа возникла из радиолокации, когда нужно было сравнить одинаковые сигналы, смещённые во времени.

Для количественного определения степени отличия сигнала U(t) и его смещённой во времени копии принято вводить автокорреляционную функцию (АКФ) сигнала U(t), равную скалярному произведению сигнала и его сдвинутой копии.

(4.8)

Свойства АКФ

1) При автокорреляционная функция становится равной энергии сигнала:

(4.9)

2) АКФ – функция чётна

(4.10)

3) Важное свойство автокорреляционной функции состоит в следующем: при любом значении временного сдвига модуль АКФ не превосходит энергии сигнала:

4) Обычно, АКФ представляется симметричной линей с центральным максимумом, который всегда положителен. При этом в зависимости от вида сигнала U(t) автокорреляционная функция может иметь как монотонно убывающей, так и колеблющийся характер.

Например:

АКФ прямоугольного видеоимпульса

АКФ пачки из трёх прямоугольных видеоимпульсов, сдвинутых друг относительно друга на время T.

АКФ бесконечной периодической последовательности видеоимпульсов:

Существует тесная связь между АКФ и энергетическим спектром сигнала.

В соответствии с формулой (4.8) АКФ есть скалярное произведение . Здесь символом обозначена смещённая во времени копия сигнала .

Обратившись к теореме Планшереля – можно записать равенство:

Спектральная плотность смещённого во времени сигнала , откуда . Таким образом приходим к результату

(4.12)

Квадрат модуля спектральной плотности представляет собой энергетический спектр сигнала. Итак энергетический спектр и автокорреляционная функция связаны парой преобразований Фурье.

Ясно что имеется и обратное соотношение

(4.13)

Эти результаты принципиально важны по двум причинам: во-первых оказывается возможным оценивать корреляционные свойства сигналов, исходя из распределения их энергии по спектру. Во-вторых, формулы (4.12), (4.13) указывают путь экспериментального определения энергетического спектра. Часто удобнее вначале получить АКФ, а затем, используя преобразование Фурье, найти энергетический спектр сигнала. Такой приём получил распространение при исследовании свойств сигналов с помощью быстродействующих ЭВМ в реальном масштабе времени.