Литература (стр. 2 )

2. Для любого числа справедливо равенство .

3. Если и - два вектора из L, то выполняется неравенство:

Существуют разные способы определения нормы сигналов. Чаще всего полагают, что вещественные аналоговые сигналы имеют норму:

(1.2)

(из двух возможных значений корня выбирается положительное). Для комплексных сигналов норма:

,

где *-символ комплексно-сопряжённой величины.

Квадрат нормы называется энергией сигнала

(1.3)

Такая энергия выделяется в резисторе с сопротивлением 1Ом, если на его зажимах существует напряжение .

Необходимо ввести фундаментальное понятие, которое обобщало бы наше обычное представление о расстоянии между точками в пространстве.

Говорят, что линейное пространство L становится метрическим пространством, если каждой паре элементов сопоставлено неотрицательное число , называемое метрикой, или расстоянием между этими элементами. Метрика, независимо от способа её определения, должна подчиняться аксиомам метрического пространства:

1.  Метрика рефлексивна =

2.  =0 при любых .

3.  Каков бы ни был элемент , всегда .

Установим взаимосвязь между нормой и метрикой. Обычно метрику определяют как норму разности двух сигналов :

= (1.4)

Норму в свою очередь, можно понимать как расстояние между выбранным элементом пространства и нулевым элементом: .

1.3 Основы теории ортогональных сигналов

Введём понятие скалярного произведения элементов линейного пространства. Скалярное произведение вещественных сигналов u и v:

(1.6)

Скалярное произведение обладает следующими свойствами:

1. 

2. 

3.  , где - вещественное число

4. 

5.  - справедливо неравенство Коши-Буняковского.

Линейное пространство с таким скалярным произведением, содержащее в себе все предельные точки любых сходящихся последовательностей векторов из этого пространства называется вещественным Гильбертовым пространством H.

Если сигналы принимают комплексные значения, то можно определить комплексное Гильбертово пространство.

Если сигналы комплексные, то скалярное произведение:

(1.7)

Два сигнала и называют ортогональными, если их скалярное произведение, а значит, и взаимная энергия равны нулю:

(1.8)

Предположим, что на отрезке задана бесконечная система функций , ортогональных друг другу и обладающих единичными нормами:

1, если (1.9)

0, если

Говорят, что при этом в пространстве сигналов задан ортонормированный базис. Разложим произвольный сигнал в ряд:

(1.10)

Такое представление называется обобщённым рядом Фурье сигналав выбранном базисе.

Коэффициенты данного ряда находят следующим образом. Возьмём базисную функцию с произвольным номером , умножим на неё обе части равенства (1.10) и затем проинтегрируем результаты по времени:

(1.11)

Ввиду ортонормированности базиса по определению в правой части равенства (1.11) останется только член суммы с номером , поэтому:

(1.12)

Рассмотрим некоторый сигнал, , разложенный в ряд по ортонормированной базисной системе и вычислим его энергию, непосредственно подставив этот ряд в соответствующий интеграл:

(1.13)

Поскольку базисная система функций ортонормирована, в сумме (1.13) отличными от нуля окажутся только члены с номерами . Отсюда получается замечательный результат, который называется равенством Парсеваля:

(1.14)

Смысл этой формулы: энергия сигнала есть сумма энергий всех компонент, из которых складывается обобщённый ряд Фурье.

Раздел 2. Спектральные представления сигналов

2.1. Понятие о спектре периодических и непериодических сигналов

Среди разнообразных систем ортогональных функций, которые могут использоваться в качестве базисов для представления сигналов, исключительное место занимают гармонические (синусоидальные и косинусоидальные) функции. Значение гармонических сигналов обусловлено рядом причин:

  I. Гармонические сигналы инварианты относительно преобразований, осуществляемых стационарными линейными электрическими цепями. Если такая цепь возбуждена источником гармонических колебаний, то сигнал на выходе цепи остаётся гармоническим с той же частотой, отличаясь от входного сигнала лишь амплитудой и начальной фазой.

  II. Техника генерирования гармонических сигналов относительна проста. Будем использовать гармонические сигналы в качестве ортонормированного базиса.

Если какой-либо сигнал представлен в виде суммы гармонических колебаний с различными частотами, т. е. разложен по частоте, то говорят, что осуществлено спектральное разложение сигнала.

Совокупность значений амплитуд и фаз гармонических компонент на различных частотах называется спектром сигнала.

  2.2 Спектральное представление периодических сигналов

Математической моделью процесса, повторяющегося во времени, является периодический сигнал со следующим свойством:

,, (2.1)

где Т - период сигнала.

Найдём спектральное разложение такого сигнала.

В соответствии с формулой (1.10) получим спектральное разложение:

(2.2)

справедливое на всей бесконечности оси времени.

Ряд вида (2.2) называется рядом Фурье данного сигнала.

Введём понятия основной частоты последовательности, образующей периодический сигнал. Примем интервал разложения от до. Вычисляя коэффициенты разложения по формуле (1.12) запишем ряд Фурье для периодического сигнала:

(2.3)

с коэффициентами:

(2.4)

В общем случае периодический сигнал содержит не зависящую от времени постоянную составляющую и бесконечный набор гармонических колебаний, так называемых гармоник с частотами кратными основной частоте последовательности.

Каждую гармонику можно описать её амплитудой и начальной фазой . Для этого коэффициенты ряда Фурье записывают в виде:

, ,

так что:

Подставив эти выражения в (2.3), получим другую, эквивалентную форму ряда Фурье:

(2.5)

которая иногда оказывается удобнее.

Изобразим коэффициенты ряда Фурье графически. Такое изображение называется спектральной диаграммой сигнала.

Спектры периодических сигналов являются дискретными. Спектральное разложение можно выполнить также, используя систему базисных функций, состоящую из экспонент с мнимыми показателями:

(2.6)

Функции этой системы периодичны с периодом Т и ортонормированны на отрезке времени .

Тогда мы получим показательную форму записи ряда Фурье:

(2.7)

(2.8)

Выражение (2.7) представляет собой ряд Фурье в комплексной форме.

Спектр сигнала в соответствии с формулой (2.8) содержит компоненты на отрицательной полуоси частот, причём . Слагаемые в ряде (2.7) с положительными и отрицательными частотами объединяются в пары.

Отрицательная частота – понятие не физическое, а математическое, вытекающее из способа представления комплексных чисел.

2.3 Спектральное представление непериодических сигналов

Для спектрального представления непериодических сигналов вводится понятие спектральной плотности.

Спектральная плотность – это комплексно-значная функция частоты, одновременно несущая информацию, как об амплитуде, так и о фазе элементарных синусоид.

Спектральная плотность и сигнал связаны между собой парой преобразований Фурье:

(2.9)

(2.10)

Поскольку для представления спектров непериодических сигналов используются интегральные преобразования Фурье, эти спектры сплошные.

Спектральная плотность может быть представлена в виде:

Вещественная часть спектральной плотности есть чётная функция частоты:

Мнимая часть спектральной плотности есть нечётная функция частоты:

Если записать спектральную плотность в показательной форме, то можно выделить её модуль и аргумент:

Модуль спектральной плотности называется амплитудным спектром сигнала:

а аргумент спектральной плотности – фазовым спектром сигнала.

Пара преобразований Фурье имеет фундаментальное значение в теории электросвязи, так как многие характеристики сигналов связаны между собой этими преобразованиями.

Все свойства спектральной плотности объединены в основных теоремах о спектрах.

2.4 Теоремы о спектрах

  I.  Свойство линейности.

Если имеется некоторая совокупность сигналов причём ,…, то взвешенная сумма сигналов преобразуется по Фурье следующим образом:

(2.11)

Здесь - произвольные числовые коэффициенты.

  II.  Теорема о сдвигах.

Предположим, что для сигнала известно соответствие . Рассмотрим такой же сигнал, но возникающий на секунд позднее. Принимая точку за новое начало отсчёта времени, обозначим этот смещённый сигнал как . Введём замену переменной: . Тогда ,

Модуль комплексного числа при любых равен 1, поэтому амплитуды элементарных гармонических составляющих, из которых складывается сигнал, не зависят от его положения на оси времени. Информация об этой характеристике сигнала заключена в частотой зависимости аргумента от его спектральной плотности (фазовом спектре).

  III.  Теорема масштабов.

Предположим, что исходный сигнал подвергнут изменению масштаба времени. Это означает, что роль времени играет новая независимая переменная (- некоторое вещественное число.) Если > 1, то происходит “ сжатие” исходного сигнала; если же 0<<1, то сигнал “растягивается” во времени. Если , то :

Произведём замену переменной , тогда , откуда следует:

(2.13)

При сжатии сигнала в раз на временной оси во столько же раз расширяется его спектр на оси частот. Модуль спектральной плотности при этом уменьшается в раз.

Очевидно, что при растягивании сигнала во времени ( т. е. при <1) имеет место сужение спектра и увеличение модуля спектральной плотности.

  IV.  Теорема о спектре производной и неопределённого интеграла.

Пусть сигнал и его спектральная плоскость заданы. Будем изучать новый сигнал и поставим цель найти его спектральную плотность .

По определению:

(2.14)

Преобразование Фурье – линейная операция, значит, равенство (2.14) справедливо и по отношению к спектральным плотностям. Получаем по теореме о сдвигах:

(2.15)

Представляя экспоненциальную функцию рядом Тейлора: подставляя этот ряд в (2.15) и ограничиваясь первыми двумя числами, находим

(2.16)

Итак, дифференцирование сигнала по времени эквивалентно простой алгебраической операции умножения спектральной плотности на множитель . Поэтому говорят, что мнимое число является оператором дифференцирования, действующим в частотной области.

Вторая часть теоремы. Рассмотренная функция является неопределённым интегралом по отношению к функции. Интеграл это есть , значит - его спектральная плотность, а из формулы (2.16) равна:

(2.17)

Таким образом, множитель служит оператором интегрирования в частотной области.

  V.  Теорема о свёртке.

Как известно, при суммировании сигналов их спектры складываются. Однако спектр произведения сигналов не равен произведению спектров, а выражается некоторым специальным интегральным соотношением между спектрами сомножителей.

Пусть и - два сигнала, для которых известны соответствия ,.Образуем произведение этих сигналов: и вычислим его спектральную плотность. По общему правилу:

(2.18)

Применив обратное преобразование Фурье, выразим сигнал через его спектральную плотность и подставим результат в (2.18):

Изменив порядок интегрирования, будем иметь:

откуда:

(2.19)

Интеграл, стоящий в правой части называют свёрткой функций V и U. Символически операция свёртки обозначается как *

Таким образом, спектральная плотность произведения двух сигналов с точностью до постоянного числового множителя равна свёртке спектральных плотностей сомножителей:

(2.20)

Операция свёртки коммутативна, т. е. допускает изменения порядка следования преобразуемых функций:

Теорема о свёртке может быть обращена: если спектральная плотность некоторого сигнала представляется в виде произведения , причём

и , то сигнал является свёрткой сигналов и , но уже не в частной, а во временной области:

(2.21)

  VI.  Теорема Планшереля

Пусть два сигнала и , в общем случае комплексные, определены своими обратными преобразованиями Фурье:

;

.

Найдём скалярное произведение этих сигналов, выразив один из них, например , через его спектральную плотность:

Здесь внутренний интеграл представляет собой спектральную плотность сигнала поэтому:

(2.22)

Скалярное произведение двух сигналов с точностью до коэффициента пропорционально скалярному произведению их спектральных плотностей.

2.5 Спектральные представления сигналов с использованием негармонических функций

Для представления непрерывных сигналов используются различные системы ортогональных функций.

  I.  Для представления непрерывных сигналов используются преимущественно ортогональные функции и полиномы Лежандра, Чебышева, Лагерра и Эрмита.

1) Полиномы Лежандра (1-го рода) определяются формулой:

,

Ряд выглядит следующим образом:

,

Спектральные коэффициенты определяются формулой:

,

2) Полиномы Чебышева (1-го рода) определяются формулой:

Ряд:

- коэффициенты ряда

График полинома Чебышева 4-го порядка:

Полиномы Чебышева обеспечивают наименьшую максимальную ошибку аппроксимации на интервале . Эффективны для аппроксимации АЧХ различных фильтров.

3) Полиномы Лагерра определяются формулой

Так как полиномы Лагерра образуют систему расходящихся при функций, то удобнее пользоваться функциями Лагерра

Разложение в ряд по функциям Лагерра

коэффициенты должны определяться по формуле:

Функции Лагерра получили широкое распространение в измерительной технике и в многоканальных системах связи, что объясняется простотой их генерирования.

4) Полиномы Эрмита определяются формулой:

Разложение в ряд по нормированным функциям Эрмита:

- коэффициенты ряда (спектральные составляющие)

Полиномы Эрмита отличаются от полиномов Лагерра тем, что полиномы Лагерра определены на интервале, представляющем собой полуось , а полиномы Эрмита – на интервале, представляющем собой всю ось .

  II.  Для представления дискретных сигналов используются в основном функции Уолша.

Чаще всего используются функции Уолша, которые на отрезке своего существования принимают лишь значения .

Введём безразмерное время , тогда k-ая функция Уолша обозначается символом .

Разложение сигнала в ряд по функциям Уолша на заданном отрезке времени имеет вид:

- коэффициенты ряда.

Графики функций Уолша

  III.  Вейвлет – анализ.

Если сигнал не имеет чёткого периодического характера, то алгоритмы преобразования Фурье становятся менее эффективными.

Эта проблема в последние годы решается с помощью нового подхода в теории и технике сигналов – вейвлет–анализа.

Wavelet – в переводе с английского “небольшая волна” или “небольшое колебание”.

С помощью вейвлет–анализа можно представлять как дискретные, так и непрерывные сигналы.

а) В основе дискретного вейвлет–анализа лежит использование исходного (или порождающего) вейвлета Хаара. Эта функция существует на отрезке [0,1] и принимает одно из двух возможных значений.

- безразмерное время

Ортонормированная базисная система вейвлетов Хаара строится за счёт операций сдвига во времени и изменения временного масштаба.

Тогда сигнал можно разложить в ряд по этим функциям, следующим образом:

На основании предыдущего, коэффициенты являются скалярными произведениями исходного сигнала и соответствующей базисной функции:

Данный ряд отличается от изучавшегося ранее тем, что суммирование производится не по одному, а по двум индексам.

Вейвлет – спектр сигнала, принимающего вещественные значения, можно образно представить себе как некоторый “лес” из вертикальных отрезков, размещенных над j k – плоскостью в точках с целочисленными координатами. При этом координата j указывает на скорость изменения сигнала, а координата k – на положение вдоль оси времени.

б) Для анализа непрерывных сигналов пользуются непрерывными вейвлетами.

Примером может служить вейвлет типа “сомбреро”:

Вейвлет–преобразованием является функция двух переменных:

По своему смыслу вейвлет–преобразование соответствует преобразованию Фурье, только вместо функции используется вейвлет .

Вейвлет–преобразование является функцией двух аргументов, первый из которых аналогичен периоду колебания (т. е. обратной частоте), а второй – смещению сигнала вдоль оси времени.

Обратное вейвлет–преобразование:

Вейвлет–анализ особенно эффективен при решении задач сжатия и распознавания сигналов. Алгоритмы вейвлет–анализа представлены в составе прикладного пакета Mathlab.