Литература (стр. 4 )

Часто вводят удодный числовой параметр – интервал корреляции , представляющий собой оценку ширины основного лепестка АКФ.

Например:

В данном случае:

Отсюда: (4.14)

Интервал корреляции тем меньше, чем выше верхняя граничная частота спектра сигнала. (Чем шире полоса частот сигнала тем уже основной лепесток АКФ.)

4.3. АКФ дискретного сигнала

Важнейшая операция при обработке дискретных сигналов состоит в сдвиге такого сигнала на некоторое число позиций относительно исходного положения без изменения его формы. В качестве примера приведём некоторый исходный сигнал (первая строка) и его копии (последующие строки), сдвинутые на 1,2 и 3 позиции в сторону запаздывания.

…………………………..……………………………

…………………………..……………………………

…………………………..……………………………

…………………………..……………………………

Обобщим формулу (4.8), чтобы можно было вычислять дискретный аналог АКФ применительно к многопозиционным сигналам. Операцию интегрирования следует заменить суммированием, а вместо переменной использовать целое число n (положительное или отрицательное), указывающее, на сколько позиций сдвинута копия относительно исходного сигнала. Так как в «пустых»позициях математическая модель сигнала содержит нули, запишем дискретную АКФ в виде:

(4.15)

Эта функция целочисленного аргумента n естественно обладает многими уже известными свойствами обычной АКФ. Так, дискретная АКФ чётна:

(4.16)

При нулевом сдвиге эта АКФ определяет энергию дискретного сигнала:

(4.17)

4.4. Взаимокорреляционная функция двух сигналов

Взаимокорреляционной функцией (ВКФ) двух вещественных сигналов U(t) и V(t) называется скалярное произведение вида:

(4.18)

ВКФ служит мерой «устойчивости» ортогонального состояния при сдвигах сигналов во времени.

Действительно, если сигналы U(t) и V(t) ортогональны в исходном состоянии, то

При прохождении этих сигналов через различные устройства возможно, что сигнал V(t) будет сдвинут относительно сигнала U(t) на некоторое время .

Свойства ВКФ.

1) В отличие от АКФ одиночного сигнала, ВКФ, описывающая свойства системы двух независимых сигналов, не является чётной функцией аргумента :

(4.19)

2) Если рассматриваемые сигналы имеют конечные энергии, то их ВКФ ограничена.

3) При значения ВКФ вовсе не обязаны достигать максимума.

Пример ВКФ может служить

взаимокорреляционная функция прямоугольного и треугольного видеоимпульсов.

Установим связь ВКФ со взаимной спектральной плотностью (взаимным энергетическим спектром)

На основании теоремы Планшереля

и поскольку спектр смещённого во времени сигнала , то и (4.20)

Поскольку взаимный энергетический спектр то будет справедливо равенство:

(4.21)

Таким образом, взаимокорреляционная функция и взаимный энергетический спектр связаны между собой парой преобразований Фурье.

Если сигналы U(t) и V(t) – дискретные, то их можно задать как совокупность отсчётов, следующих во времени с одинаковыми интервалами T

Тогда по аналогии с АКФ одиночного сигнала ВКФ двух дискретных сигналов определится по формуле:

(4.22)

где n – целое число, положительное, отрицательное или нуль.

Раздел 5. Модулированные сигналы

Чтобы осуществить эффективную передачу сигналов в какой-либо среде, необходимо перенести спектр этих сигналов из низкочастотной области в область достаточно высоких частот. Данная процедура получила в технике связи название модуляции.

Прежде всего в передатчике формируется вспомогательный высокочастотный сигнал, называемый несущим колебанием. Его математическая модель , такова что имеется некоторая совокупность параметров ,,…,, определяющих форму этого колебания. Пусть S(t) – низкочастотное сообщение, подлежащее передаче по каналу связи на расстояние. Если по крайней мере, один из указанных параметров изменяется во времени пропорционально передаваемому сообщению, то несущее колебание приобретает новое свойство – оно несёт в себе информацию которая первоначально была заключена в сообщении S(t).

Физический процесс управления параметрами несущего колебания и является модуляцией.

Широкое распространение получили системы модуляции, использующие в качестве несущего простое гармоническое колебание.

, (5.1)

имеющее три свободных параметра U, и . Изменяя во времени тот или иной параметр, можно получать различные виды модуляции.

5.1. Сигналы с амплитудной модуляцией

Если переменной оказывается амплитуда сигнала U(t), причём остальные два параметра и неизменны, то имеется амплитудная модуляция (АМ) несущего колебания. Форма записи АМ-сигнала, такова:

(5.2)

В соответствии с формулой (5.2) АМ-сигнал есть произведение огибающей U(t) и гармонического заполнения . В большинстве практических случаев огибающая изменяется во времени гораздо медленнее, чем высокочастотное заполнение.

При АМ связь между огибающей U(t) и модулирующим полезным сигналом S(t) определяется следующим образом:

(5.3)

Здесь постоянный коэффициент, равный амплитуде несущего колебания в отсутствие модуляции; М – коэффициент АМ. Величина М – характеризует глубину АМ.

При малой глубине модуляции относительное изменение огибающей невелико, то есть во все моменты времени независимо от формы сигнала S(t).

Если же в момент времени, когда сигнал S(t) достигает экстремальных значений, имеются приближённые равенства.

то говорят о глубокой АМ.

АМ-сигналы с малой глубиной модуляции нецелесообразны ввиду неполного использования мощности передатчика. В то же время 100%-ная модуляция (М=1) в два раза повышает амплитуду колебаний при пиковых значениях модулированного сообщения. Дальнейший рост этой амплитуды, как правило, приводит к нежелательным искажениям из-за перегрузки выходных каскадов передатчика.

Не менее опасна слишком глубокая АМ (при М>1) называемая перемодуляцией. Здесь форма огибающей перестаёт повторять форму модулированного сигнала.

Однотональная АМ.

Простейший АМ-сигнал может быть получен в случае, когда модулирующим низкочастотным сигналом является гармоническое колебание с частотой Такой сигнал

(5.4)

называется однотональным АМ-сигналом. Такой сигнал можно представить как сумму простых гармонических колебаний с различными частотами. Используя известную тригонометрическую формулу произведения косинусов, из выражения (5.4) сразу получаем:

(5.5)

Формула (5.5) устанавливает спектральный состав однотонального АМ-сигнала. Принята следующая терминология: - несущая частота, - верхняя боковая частота, нижняя боковая частота.

Строя по формуле (5.5) спектральную диаграмму однотонального АМ-сигнала, следует обратить внимание на равенство амплитуд верхнего и нижнего боковых колебаний, а также на симметрию расположения этих спектральных составляющих относительно несущего колебания.

Если рассмотреть вопрос о соотношении мощностей несущего и боковых колебаний, то путём несложных математических преобразований можно убедиться, что средняя мощность АМ-сигнала равна сумме средних мощностей несущего и боковых колебаний.

(5.6)

Откуда следует:

(5.7)

Даже при 100%-ной модуляции (М=1) доля мощности обоих боковых колебаний составляет лишь 50% от мощности немодулированного несущего колебания.

А поскольку информация о сообщении заключена в боковых колебаниях, можно сделать вывод о неэффективности использования мощности при передаче АМ-сигнала.

АМ при сложном модулирующем сигнале

На практике однотональные АМ-сигналы используются редко. Гораздо более реален случай, когда модулирующий низкочастотный сигнал имеет сложный спектральный состав. Математической моделью такого сигнала может быть, например, тригонометрическая сумма.

(5.8)

Здесь частоты образуют упорядоченную возрастающую последовательность , В то время как амплитуды и начальные фазы произвольны.

Подставив формулу (5.8) в (5.3), получим:

(5.9)

Введём совокупность парциальных (частичных) коэффициентов модуляции: и запишем аналитическое выражение сложномодулированного сигнала (многотонального) АМ-сигнала в форме, которая обобщает выражение (5.4)

(5.11)

Спектральное разложение проводится так же, как и однотонального АМ-сигнала:

(5.12)

На рисунке а) изображена спектральная диаграмма модулирующего сигнала S(t), построенная в соответствии с формулой (5.8). Рисунок б) воспроизводит диаграмму многотонального АМ-сигнала, где помимо несущего колебания, содержатся группы верхних и нижних боковых колебаний. С целью упрощения изображены только физические спектры.

Спектр верхних боковых колебаний является масштабной копией спектра модулированного сигнала, сдвинутой в область высоких частот на величину . Спектр нижних боковых колебаний так же повторяет спектральную диаграмму сигнала S(t), но располагается зеркально относительно несущей частоты . Отсюда следует важный вывод: ширина спектра АМ-сигнала равна удвоенному значению наивысшей частоты в спектре модулирующего низкочастотного сигнала.

Амплитудно-манипулированные сигналы.

Важным классом многотональных АМ-сигналов являются так называемые манипулированные сигналы. В простейшем случае это – последовательности радиоимпульсов, отделённых друг от друга паузами. Такие сигналы широко используются в технике связи. Если S(t) – функция, в каждый момент времени принимающая значение либо 0, либо1, то амплитудно-манипулированный сигнал представляется в виде:

(5.14)

Пусть, например, функция S(t) отображает периодическую последовательность видеоимпульсов. Считая, что амплитуда этих импульсов A=1, на основании (5.14) имеем при

(5.15)

Где q - скважность последовательности (, – длительность одного импульса).

Балансная АМ.

Как видно из предыдущего, значительная доля мощности АМ – сигнала сосредоточена в несущем колебании. Для более эффективного использования мощности передатчика можно формировать АМ – сигналы с подавленным несущим колебанием, реализуя так называемую балансную АМ(БМ). На основании формулы (5.4) представление однотонального АМ – сигнала с БМ таково:

(5.16)

Имеет место перемножение двух сигналов – модулирующего и несущего. Колебания вида (5.16) с физической точки зрения являются биениями двух гармонических сигналов с одинаковыми амплитудами и частотами, равными верхней и нижней боковым частотам.

При многотональной БМ аналитическое выражение сигнала принимает вид:

(5.17)

Рассмотрим спектральную и временную диаграмму БМ – сигнала.

Как и при обычной АМ, в спектре БМ наблюдается две симметричные группы верхних и нижних боковых колебаний.

Если рассмотреть временную диаграмму биений, может показаться неясным, почему в спектре этого сигнала нет несущей частоты, хотя налицо присутствие высокочастотного заполнения, изменяющегося во времени именно с этой частотой.

Дело в том, что при переходе огибающей биений через нуль фаза высокочастотного заполнения скачком изменяется на 180 градусов, поскольку функция имеет разные знаки слева и справа от нуля. Если такой сигнал подать на высокодобротную колебательную систему (например, LС-контур), настроенную на частоту , то выходной эффект будет очень мал, стремясь к нулю при возрастании добротности. Колебания в системе, возбуждённые одним периодом биений, будут гаситься последующим периодом.

Однополосная амплитудная модуляция.

Ещё более интересное усовершенствование принципа обычной АМ заключается в формировании сигнала с подавленной верхней или нижней боковой полосой частот (ОБП).

Сигналы с одной боковой полосой (SSB - singl side band) по внешним характеристикам напоминают обычные АМ-сигналы. Например, однотональный ОБП-сигнал с подавленной нижней боковой частотой записывается в виде:

(5.18)

Проводя тригонометрические преобразования, получаем:

(5.19)

Два последних слагаемых представляют собой произведение двух функций, одна из которых изменяется во времени медленно, а другая – быстро.

Основное преимущество ОБП-сигналов – двукратное сокращение полосы занимаемых частот, что оказывается существенным для частотного уплотнения каналов связи.

Дальнейшим усовершенствованием систем ОБП является частичное или полное подавление несущего колебания. При этом мощность передатчика используется ещё более эффективно.

5.2 Сигналы с угловой модуляцией

Будем изучать модулированные радиосигналы, которые получаются за счёт того, что в несущем гармоническом колебании передаваемое сообщение изменяет либо частоту , либо начальную фазу ; амплитуда остаётся неизменной. Поскольку аргумент гармонического колебания , называемый полной фазой, определяет текущее значение фазового угла, такие сигналы получили название сигналов с угловой модуляцией.

Виды угловой модуляции.

Предположим, что полная фаза связана с сигналом зависимостью:

(5.20)

Где – значение частоты в отсутствие полезного сигнала; k - некоторый коэффициент пропорциональности. Модуляцию, отвечающую соотношению (5.20) называются фазовой модуляцией (ФМ):

(5.21)

Если сигнал S(t)=0, то ФМ – колебание является простым гармоническим колебанием. С увеличением значения сигнала S(t) полная фаза растёт во времени быстрее, чем по линейному закону. При уменьшении значений модулирующего сигнала происходит спад скорости роста во времени.

В моменты времени, когда сигнал S (t)достигает экстремальных значений, абсолютный фазовый сдвиг между ФМ-сигналом и немодулированным гармоническим колебанием оказывается наибольшим. Предельное значение этого фазового сдвига называется девиацией фазы . В общем случае, когда сигнал S(t) изменяет знак, принято различать девиацию фазы вверх и девиацию фазы вниз . Мгновенная частота сигнала с угловой модуляцией определяется как первая производная от полной фазы по времени:

(5.22)

При частотной модуляции сигнала (414) между величинами S(t) и имеется связь вида:

(5.23)

Поэтому:

(5.24)

Естественными параметрами ЧМ-сигнала общего вида в соответствии с формулой (5.23) являются девиация частоты вверх и девиация частоты вниз .

Однотональные сигналы с угловой модуляцией.

Анализ ФМ - и ЧМ-сигналов с математической точки зрения гораздо сложнее, чем исследование АМ-колебаний. Поэтому мы будем рассматривать простейшие однотональные сигналы.

В случае однотонального ЧМ-сигнала мгновенная частота:

,

где - девиация частоты сигнала.

На основании формулы (5.22) полная фаза такого сигнала

,

где – некоторый постоянный фазовый угол.

Величина

(5.25)

называется индексом однотональной угловой модуляции.

Для краткости положим, что неизменные во времени фазовые углы , и выразим мгновенное значение ЧМ-сигнала в виде:

(5.26)

Аналитическая форма записи однотонального ФМ-сигнала будет аналогичной. Однако нужно иметь в виду следующее: ЧМ - и ФМ-сигналы ведут себя по-разному при изменении частоты модуляции и амплитуды модулирующего сигнала, кроме того при ФМ , а при ЧМ.

Спектральное разложение ЧМ - и ФМ-сигналов при малых индексах модуляции.

Задачу о представлении сигналов с угловой модуляцией посредством суммы гармонических колебаний несложно решить в случае, когда . Для этого преобразуем формулу (5.26) следующим образом:

(5.27)

Поскольку индекс угловой модуляции мал, воспользуемся приближёнными равенствами:

На основании этого из равенства (5.27) получаем:

(5.28)

Таким образом, показано, что при в спектре сигнала с угловой модуляцией, содержатся несущие колебания и две боковые составляющие (верхняя и нижняя) на частотах . Индекс m играет здесь такую же роль как коэффициент М при АМ. Однако можно обнаружить и существенное различие спектров АМ-сигнала и колебания с угловой модуляцией.

Спектральная диаграмма сигнала с угловой модуляцией при .

Для спектральной диаграммы, построенной по формуле (5.28) характерно то, что нижнее боковое колебание имеет дополнительный фазовый сдвиг на 180 градусов. При значениях m=0.5-1 появляется вторая пара гармонических колебаний с боковыми частотами , затем третья пара и так далее. Возникновение новых спектральных составляющих приводит к перераспределению энергии по спектру.

С ростом m амплитуда боковых составляющих увеличивается, в то время как амплитуда несущего колебания уменьшается.

Спектр сигнала с угловой модуляцией при произвольном значении индекса m.

Для простейшего случая однотонального ЧМ- и ФМ-сигнала можно найти общее выражение спектра, справедливое при любом значении индекса модуляции m.

Математическая модель ЧМ - или ФМ-сигнала с любым значением индекса модуляции:

(5.29)

(m) – функция Бесселя k- того порядка от аргумента m.

Спектр однотонального сигнала с угловой модуляцией в общем случае содержит бесконечное число составляющих, частоты которых равны ; амплитуды этих составляющих пропорциональные значениям .

В теории функций Бесселя доказывается, что функции с положительными и отрицательными индексами связаны между собой соотношением:

Поэтому начальные фазы боковых колебаний с частотами совпадают, если k - чётное число, и отличаются на 180 градусов, если k- нечётное. С ростом индекса модуляции расширяется полоса частот, занимаемая сигналом. Обычно полагают, что допустимо пренебречь всеми спектральными составляющими с номерами . Отсюда следует оценка практической ширины спектра сигнала с угловой модуляцией.

(5.30)

Как правило, реальные ЧМ - и ФМ-сигналы характеризуются условием . В этом случае

(5.31)

Таким образом, сигнал с угловой модуляцией занимает полосу частот, приблизительно равную удвоенной девиации частоты.

Для передачи АМ-сигнала требуется полоса частот, равная , то есть в m раз меньшая. Большая широкополосность ЧМ - и ФМ-сигналов обуславливает их гораздо более высокую помехоустойчивость по сравнению с АМ-сигналами.

Спектральные диаграммы сигнала с угловой модуляцией при двух значениях индекса m (амплитуды представлены в относительном масштабе).

Угловая модуляция при негармоническом модулирующем сигнале.

Интересная особенность колебаний с угловой модуляцией проявляется в случае, когда модулирующий сигнал не является гармоническим. Рассмотрим, для простоты сигнал, промодулированный лишь двумя низкими частотами:

(5.32)

Положим, что парциальные индексы модуляции малы настолько, что можно пользоваться приближёнными выражениями для косинуса и синуса: .

Выполнив несколько громоздкие, но вполне элементарные тригонометрические преобразования, представим исходный сигнал в виде суммы:

(5.33)

Следует обратить внимание на то, что в спектре рассматриваемого сигнала, помимо частот , присутствуют так называемые комбинационные частотыс четырьмя возможными знаками. Амплитуды этих составляющих зависят от произведения парциальных индексов модуляции.

Спектральная диаграмма сигнала с двухтональной угловой модуляцией при малых значениях парциальных индексов модуляции .

Можно показать, что в общем случае, когда угловая модуляция осуществляется группой низкочастотных колебаний с частотами и парциальными индексами соответственно, спектральное представление сигнала таково:

(5.34)

Таким образом, при прочих равных условиях спектр колебания со сложной угловой модуляцией гораздо богаче спектра аналогичного АМ-сигнала. Угловую модуляцию, в отличие от амплитудной, называют модуляцией нелинейного типа.

5.3. Дискретные формы угловой модуляции

Частотная манипуляция

Фазовая манипуляция

Относительная фазовая манипуляция

ОФМ устраняет «обратную работу»: инвертирование элементов после случайного перескока фазы. Информация заложена в разности фаз соседних элементов. Предложена академиком в 1957 году.

5.4 Сигналы с импульсной модуляцией

При импульсной модуляции в качестве несущего колебания используется последовательность импульсов.

АИМ: АИМ-1 и АИМ-2

При АИМ-1 мгновенное значение амплитуды импульса изменяется в соответствии с изменением входного сигнала. При АИМ-2 амплитуда импульсов определяется значением входного сигнала в тактовые моменты и остаётся постоянной во время передачи импульса.

При ШИМ модулируется положение одного из фронтов импульсов, при двусторонней ШИМ – относительно центра импульса симметрично смещаются оба фронта.

При ФИМ форма импульсов в процессе модуляции остаётся неизменной, а пропорционально мгновенному значению модулированного сигнала изменяется положение импульса в пределах тактового интервала.

ЧИМ характеризуется тем, что в зависимости от мгновенного значения входного сигнала изменяется частота следования импульсов.

Раздел 6. Основы теории случайных процессов

6.1. Случайные процессы. Основные понятия и определения

Теория случайных величин изучает вероятностные явления «в статике»,рассматривая их как некоторые зафиксированные результаты экспериментов. Для описания сигналов, которые отображают развивающиеся, во времени случайные явления, методы классической теории вероятностей оказываются недостаточными. Подобные задачи изучает особая ветвь математики, получившая название теории случайных процессов.

По определению, случайный процесс x(t) – это особого вида функция, характеризующаяся тем, что в любой момент времени t принимаемые ею значения является случайными величинами.

Детерминированные сигналы мы отображаем их функциональными зависимостями или осциллограммами. Если же речь идёт о случайных процессах, то фиксируя на определённом промежутке времени мгновенные значения случайного сигнала, мы получаем лишь единственную реализацию случайного процесса. Случайный процесс представляет собой бесконечную совокупность таких реализаций, образующих статистический ансамбль. Например, ансамблем является набор сигналов , которые можно одновременно наблюдать на выходах совершенно одинаковых генераторов шумового напряжения или на выходах много канальной системы связи.

Совсем необязательно, чтобы реализации случайного процесса представлялись функциями со сложным, нерегулярным во времени поведением. Часто приходится рассматривать случайные процессы, образованные, например, всевозможными гармоническими сигналами , у которых один из трёх параметров - случайная величина, принимающая определённое значение в каждой реализации. Случайный характер такого сигнала заключен в невозможности заранее до опыта знать значение этого параметра.