ВОПРОСЫ МЕТОДИКИ ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ И «АРИФМЕТИКА»
Л. Н. ТОЛСТОГО
Прошло 130 лет с тех пор, когда в 1814г. начал в Ясной Поляне свою педагогическую деятельность. Педагогическим взглядом , описанию его деятельности в области народного образования посвящена обширная литература. Однако вклад, Сделанный в методику преподавания математики, ещё должен получить своё полное освещение. Сказанное относится прежде всего к тому новому и прогрессивному, что дал Лев Николаевич Толстой в своём учебнике «Арифметика».
В учебник арифметики , изданный в 1874 г., вошли в систематизированном виде сведения по арифметике, которые содержались в различных выпусках ранее опубликованных «Азбуки».
Изданию «Арифметики» предшествовал многолетний опыт работы Льва Николаевича в Яснополянской школе и проделанный им огромный труд по изучению как общих вопросов педагогики, так и методики преподавания арифметики. Причем это изучение не ограничилось чтением отечественной и зарубежной литературы. Он внимательно вникал в этот вопрос во время своих заграничных поездок. подверг обстоятельному анализу и свой собственный опыт преподавания арифметики. Такая тщательность всей подготовительной работы была обусловлена тем, что, как отмечают современники великого писателя. Толстой в вопросах педагогических был в особенности осторожен. «Он все взвешивал, обдумывал и проверял, чтобы не мучить детей и чтобы дать им действительно те знания, которые должен передать молодому поколению взрослый знающий человек».
«Арифметика» резко отличалась по своему содержанию не только от учебников арифметики своего времени, но и от учебников арифметики последующих десятилетий.
Чтобы лучше понять это отличие и оценить ту страстную борьбу, которую вел за обновление методов обучения, необходимо хотя бы кратко сказать о том, в каком состоянии находилось в середине прошлого столетия преподавание арифметики в народной школе, и о распространенных в то время методов преподавания.
Сохранились некоторые документы, по которым можно судить об этом. Так, в книге «Из 25-летней практике сельского учителя» приводится разговор учителя с гостем о том, как учитель обучает детей арифметике.
«Сначала я учу считать до ста и более, посажу всех учеников и сам громко считаю: раз, два, три, четыре и т. д., а дети повторяют хором… Потом пишут до ста: я прописываю на доске, а когда научатся писать вразбивку до ста, то начинаю учить нумерацию. Поставлю учеников в кружок к доске, напишу им число миллионом и, показывая на первую цифру, говорю: единицы, десятки, десятки (на них и показываю), сотни, тысячи, десятки тысяч, сотни тысяч, миллионы. Так показываю и твержу, а дети повторяют за мной хором до тех пор, пока будут знать и подряд и вразбивку. Потом заставляю их выговаривать числа с миллионами (больше миллионов редко употребляю), а потом учу писать такие же числа под диктовку… Потом сложение. Сперва расскажу, как подписывают числа: единицы под единицы, десятки под десятки и т. д. Потом покажу, с чего начинают сложение, что писать в уме, - и все тут… Потом вычитание – тоже самое, только тут занимать учу, когда нельзя вычесть. Вычитание понимают скоро. Умножение труднее: тут таблицы иному и в зиму не выучить. А кто выучит таблицу, тот скоро начнет делать; да и просто: умножай по таблице и подписывай, как в сложении… А там – деление. Деление сперва на одну цифру, потом на две. Деление всегда труднее; задаваться редко кто может сразу верно.» В школе этого учителя дети решали задачи, но, «делая» все эти задачи, они не понимали того, что они делают и для чего все это делается. На вопрос собеседника, обращенный к учителю, «откуда же после возьмется у ребенка свой ум, если в школе не позаботиться развить его», последовал такой ответ учителя: «Вырастут – станут умнее. Жизнь сама учит человека».
Крайняя отсталость и рутинность преподавания в сельской школе стало особенно волновать общественное мнение после школьной реформы 60-х годов. Возникают различные проекты о реформе школьного образования. Не остались без внимания и вопросы методики преподавания арифметики, так как негодность применяемых в школе способов ее преподавания стала очевидной.
В этой обстановке и стал получать распространение метод немецкого педагога (1816 – 1864). Свой метод Грубе описал в книге «Руководство к счислению в элементарной школе», впервые изданной в 1842г. Этот метод не был разработан в результате какого-либо эксперимента. Он был основан на идеалистических философских воззрениях автора. В предисловии к своей книги после таких общих высказываний, как: «дух, становящийся свободным с той минуты, когда будучи в другом, на самом деле остается присущим себе», он делает неожиданный вывод: «…начальные арифметические упражнения должны быть независимыми от формализма действий, потому что, пока эта элементарная часть обучения арифметике сохранит деление на четыре действия, до тех пор невозможно живое проникновение субъективного метода объективным». Основное положение методики Грубе состоит в следующем: «Так как непосредственному созерцанию доступны все числа от 1 до 100…, то каждое число в этом пределе должно ясно предстать пред умом ученика со всеми своими составляющими частями; из всестороннего созерцания отдельных чисел должны сами собой произойти четыре действия». Чтобы конкретнее представить себе, как именно рекомендует Грубе изучать отдельно взятое число, приведем следующий пример из книги.
Посредством наглядным пособий (пальцы рук, палочки) ученик «образует» число 6 прибавлением к уже изученному числу 5 одной единицы. При этом ученики на доске пишут шесть палочек или шесть кружочков. Затем им показывается написание цифры 6. Дальнейшее изучение числа 6 проходит следующие четыре этапа:
1) Измерение и сравнение.
а) С единицей
В результате упражнений с наглядными пособиями и беседы с учителем учащиеся составляют по уже известному им образцу такую таблицу:
1 +1 +1 +1 +1 +1 = 6
6 * 1 = 6
6 – 1 – 1 – 1 – 1 – 1 = 1
1 : 6 = 6
(множители и делители в арифметике Грубе ставятся перед множимым и делимым, как этого требует чтение записи: «6 раз по единице», «единица содержится в шесть»).
б) С двумя.
Результатом выполнения упражнений и разговора с учителем здесь является таблица:
2 + 2 + 2 = 6
3 * 2 = 6
6 – 2 – 2 = 2
2 : 6 = 3
Аналогично составляются следующие 3таблицы:
3 + 3 =6
2 * 3 =6
6 – 3 =3
3 : 6 =2
4 + 2 =6
1 * 4 + 2 =6
6 – 4 = 2
4 : 6 = 1(2)
5 + 1 = 6
6 – 5 = 1
1 * 5 + 1 = 6
5 : 6 = 1(1)
Из полученных и ранее составленных табличек дети сами в целях обобщения и повторения ранее пройденного составляют следующие таблички
6 = 5 + 1, | 4 + 2, | 3 + 3, | 2 + 4, | 1 + 5, |
5 = 6 – 1, | 4 + 1, | 3 + 2, | 2 + 3, | 1 + 4, |
4 = 6 – 2, | 5 – 1, | 3 + 1, | 2 + 2, | 1 + 3, |
3 = 6 – 3, | 5 – 2, | 4 – 1, | 2 + 1, | 1 + 2, |
2 = 6 – 4, | 5 – 3, | 4 – 2, | 3 – 1, | 1 + 1, |
1 = 6 – 5, | 5 – 4, | 4 – 3, | 3 – 2, | 2 – 1, |
6 = 6 Х 1, | 3 Х 2, | 2 Х 3, | ||
3 = ½ Х 6 | 2 = 1/3 Х 6 | 1 = 1/6 Х 6 |
Такими частым повторением одного и того же в различных видах дети усваивают таблички сложения, вычитания и умножения.
2) Быстрый счет.
Здесь дети должны давать быстрый устный ответ на только что записанные учителем такие примеры: «4 + 2 – 3 во сколько раз менее 6-и?» и т. п., а также устно решать заданные устно примеры («к двум прибавить 3, отнять 4, взять полученное число 3 раза и узнать, сколько раз полученное число содержится в 6» и т. п.).
3) Комбинации в разбивку.
Здесь те же вопросы, что и ранее, задаются в иной форме или какое-либо число сравнивается с другим не последовательно, а в разбивку.
4) Прикладное число.
На этом этапе решаются задачи, которые задаются в такой форме, сто их решение требует воспроизведения действий с числами, вошедшими в составленные ранее таблички.
Уже из приведенного описания видно, что темп изучения арифметики по методу Грубе был крайне замедленным. Действительно, в течение первого года учащиеся могли изучить только числа первого десятка.
Несмотря на многие недостатки метода Грубе, его распространению в школах России способствовали рекомендаций официальных учреждений, издание учебных пособий и методических руководств, написанных по этому методу.
Следует все же отметить, что по сравнению с рутинным преподаванием арифметики в народной школе, характерным для середины прошлого столетия, метод Грубе имел в начальный период обучения свои привлекательные стороны. Здесь была видна система, учащиеся имели возможность проявлять некоторую самостоятельность. Кроме того, горячие сторонники метода Грубе, видные методисты-математики того времени И. Паульсон и особенно внесли в этот метод заметные улучшения. Но практика преподавания выявило все его несовершенство. Наблюдая в школах уроки арифметики, проводимые по методу Грубе, убедился в его полной непригодности и подверг этот метод резкой критике.
В статье «Об общественной деятельности на поприще народного образования», опубликованной в журнале «Ясная Поляна», Толстой писал, сто делить арифметику на четыре действия составляет общее свойство человеческого ума. «Каждый ребенок, не видавший в глаза учителя, из жизни точно так же, как из старой школы, учится сначала сложению потом вычитанию, умножению и делению… Вместо этого великие нововводители Грубе и Паульсон, устранив старое подразделение, имевшее своим основанием известные различные приемы сложения, приняли за основания подразделения различное количество единиц. Они делали совершенно то же, что сделал бы нововводитель в механике, в которой вместо законов сил стал бы учить блоку, ремню, подшипнику и т. д. Гг. эти велят изучать просто числа 1, 2, 3, 4, забывая то, что числа эти и их отношения выучены без школы каждым ребенком. Видно, что эти господа либо не имели никогда дела с живым ребенком, либо до такой степени утратили способность педагогов – следить и учитывать пути, которыми все учащиеся доходят до знания, - что они пишут арифметику для себя одних, либо для воображаемых детей, воспитанных с детства вне всяких впечатлений, - числа для таких детей, которых надо выучить считать также, как выучивают считать ученую лошадь».
Издав свою «Арифметику», Толстой показал, как и чему по его мнению надо учить детей в школе на уроках по этому предмету.
«Арифметика» содержит две части: часть I «Целые числа», часть II «Дроби».
Часть I имеет разделы: «Счисление», «Сложение и вычитание», «Умножение и деление»; они состоят из подразделов. Рассмотрим их. При этом воспользуемся также «Указаниями для преподающего», которые в систематизированном виде вошли в посмертное издание «Арифметики», вышедшее в 1913 г.
«Таблица четырех счислений». Здесь даются таблицы, в которых содержаться названия чисел, их запись в славянском, римском, арабском счислении, а также рисунки, показывающие, как откладывается каждое из чисел на русских счетах. Одна из особенностей этих таблиц – вариативность в формулировке названий и способов откладывания чисел на счетах.
В указаниях для учителя по подразделу читаем: «Десятичное счисление заключает в себе всю арифметику. Тот, кто умеет считать вперед и назад до ста, тот в голове делает и сложение, и вычитание, и умножение, и деление, и возвышение в степень, и извлечение корней. Тот, кто хорошо поймет счисление, тот легко поймет всю арифметику… Когда он запомнит знаки цифр, заставляйте его читать по славянскому счислению, писать по римскому (без сокращения), класть на счетах и подписывать арабскими цифрами. (Под счеты надо положить разграфленный лист бумаги, так чтобы графа приходилась на каждый разряд счетов.)» Краткость указаний не мешает им быть достаточно точными, даже до кажущихся мелочей. Характерным для этого и всех других разделов арифметики является то, что число предлагаемых упражнений и задач не велико, но нужное количество таких упражнений для каждого ученика должен определять сам учитель: «Прибавьте от себя сотни примеров. Все потраченное на это время вознаградится сторицею».
В следующих подразделах – «Цифры для чтения», «Счет славянскими цифрами», «Счет римскими цифрами без сокращения», «Примеры для счета римскими цифрами», «Счет римскими цифрами с сокращениями», «Счет на счетах и арабскими цифрами», «Таблица арабских чисел до миллиона» – содержатся упражнения с краткими указаниями к их выполнению. Причем к каждому из упражнений на счетах тут же даются поясняющие рисунки – картинки. Изучение славянского и римского счисления в те годы входило в школьные программы. Но Лев Николаевич впервые применил наглядные иллюстрации для показа возможных различных способов выполнения одного и того же задания. Одно и то же упражнение ученики могут выполнять по-разному, важно, чтобы все было сделано правильно, обосновано. К воспитанию у учащихся такого подхода к изучению предмета были направлены разнообразные методические приемы. Так, например, в подразделе «Счет римскими цифрами без сокращения» дана приведенная ниже таблица:
Было написано: | D D C C C C C L L X X X X X V V I III I I |
Все равно: | D D C C C C C L L X X X X X V V V I |
Все равно: | D D C C C C C L L X X X X X X V I |
Все равно: | D D C C C C C L L L X V I |
Все равно: | D D C C C C C C L X V I |
Все равно: | D D D C L X V I |
Все равно: | M D C L X V I |
В конце подраздела «Таблица арабских чисел до миллиона» содержаться примеры, показывающие, что семизначное число можно «выговаривать» по-разному шестью способами.
В разделе «Сложение и вычитание» эти действия вводятся одновременно. «Если считать так: два и три будет пять, 2+3=5; четыре и шесть будет десять, 4+6=10; сто тридцать два и двести тридцать семь будет триста шестьдесят девять, 132+237=369, – то делаешь сложение.
Если считать так: пять без двух останется три, 5–2=3; десять без шести останется четыре, 10–6=4; триста шестьдесят девять без ста тридцати двух останется двести тридцать семь, 369–132=237, – то делаешь вычитание».
Сразу после такого введения даются упражнения. Ко многим из них приводятся пояснение и картинка, показывающая результат, «отложенный» на счетах.
Изучение сложения и вычитания продолжается и в двух следующих подразделах: «Без счетов считать слева», «Считать справа».
Из указаний для учителя к этим подразделам выделим лишь те, которые были новыми для того времени и на выполнение которых особенно настаивал.
«Пройдите все упражнения более или менее подробно, смотря по способности ученика, но всегда заставляйте делать одновременно сложение и вычитание из суммы слагаемых.
На сложении с больших разрядов и без подписывания слагаемых чисел одного под другим упражняйте ученика как можно дольше. Оно яснее и полезнее для ученика, чем сложение с меньших разрядов: естественнее прежде узнать сколько тысяч, а потом сколько единиц…
Вычитание точно так же естественнее с больших разрядов, и потому долее упражняйте в нем ученика».
Задачи к этим разделам предлагаются трех видов (№ I, № II, № III). Задачи I вида (№ I), с которых начинается обучение решению задач, – более сложные, чем двух других видов. К ним даются образцы рассуждений, которые ведут к нахождению ответа. Такими образцами ученики могут воспользоваться при решении других задач, сходных по условию. В учебнике дается небольшое число «примерных» задач. Учителю рекомендуется составлять такие же и предлагать их ученикам.
Задачи II вида (№ II) открываются задачей с большими числами. После ее разбора с учителем учащиеся должны составить и решить совершенно аналогичную задачу, но только с малыми числами.
Задачи III вида (№ III) учащиеся должны составить самостоятельно, варьируя условие первой предложенной им задачи. В качестве примера приводит 5 подобных задач:
«1) У двух мужиков 35 овец. У одного на 9 овец больше, чем у другого. Сколько у каждого овец?
2) У одного мужика 23 овцы, а у другого на 7 овец меньше. Сколько у них вместе овец?
3) У одного мужика 26 овец, а у другого на 5 овец меньше. Сколько у них вместе овец?
4) У двух мужиков 40 овец, а у одного меньше против другого на 6 овец. Сколько у каждого?
5) У двух мужиков 50 овец, а у одного 15. На сколько овец у него меньше против другого?»
При таком делении задач на виды учитель получал возможность руководствоваться следующим рекомендациями:
«Объяснения задач возможно тремя способами:
1) Разъяснение самой задачи, как в задачах № I.
2) Составление точно такой же задачи с самыми малыми числами, так чтобы ученик тот час же в уме делал ее, – как в задачах № II.
3) Перестановка неизвестного в той же задаче, как в задачах № III. Полезно заставлять ученика делать тоже самое, хотя с самыми легкими задачами».
В разделе «Умножение и деление» отчетливо проводятся следующие методичные установки: 1) повторение ранее пройденного не должно быть простым воспроизведением старого, 2) при изучении арифметики детям не нужно давать арифметических действий, 3) вновь вводимые понятия нужно давать в их взаимосвязи.
Раздел начинается следующими словами: «Если считать так: 5+3=8; это – сложение. Если считать так: 8–5=3; это – вычитание. Если считать так: пять троек сколько будет? – пятнадцать (3Х5=15); это тоже – умножение.
Если считать так: в пятнадцати сколько будет троек? – пять (15:3=5); это – деление. Если считать так: в пятнадцати чего будет три? – три пятка; это тоже – деление».
В указаниях для учителя особо подчеркивает то обстоятельство, что такая форма введения умножения и деления натуральных чисел готовит учащихся к изучению умножения и деления дробей.
В связи с тем, что деление – самое трудное для учащихся действие, рекомендует учителю следующее: «…не торопитесь умножением, а старайтесь посредством умножения уяснить ученику действие обратное умножению – деление». не рекомендует специального изучения таблицы умножения и ускоренных приемов умножения и деления, указывающее на следующие обстоятельства: «Неясность понимания действий умножения и деления много зависит от этих ускоренных приемов. Таблица умножения и ускоренные приемы придут сами собой и незаметно».
К разделу даны задачи «на так называемые именованные числа и так называемое тройное правило. Советую не заставлять учить именованные числа – как особый раздел, ни тройное правило, – а прямо задавать задачи на именованные числа и на тройное правило».
Часть II «Дроби» содержит разделы: «Десятичные дроби. Разные счисления», «Переименование дробей», «Четыре действия над простыми дробями».
Рекомендуемая методика изучения десятичных дробей до обыкновенных, по существу, мало отличается от той, которая принята в нашей школе после введения новых программ.
Совершенно новым для школы было введение в курс арифметики раздела «Разные счисления». Русские счеты, на спицы которых можно надеть нужное число косточек, позволяли в наглядном виде показать выполнение сложения и вычитания в различных системах счисления. (Умножение и деление в различных счислениях ввиду их трудности для учащихся в учебнике опущено). Включая в школьный курс такой раздел, имел в виду следующие обстоятельства:
1. Дети уже знакомы со счетом парами, пятками, дюжинами, т. е. получили некоторую подготовку к изучению такого раздела.
2. Простота и целесообразность десятичной системы счисления может быть до конца понята только в сравнении этой системы с другими.
3. Знакомство с различными системами счисления позволяет по-иному изложить разделы, содержащие простые дроби.
Так, в самом начале подраздела «Переименование дробей» читаем: «Для того чтобы считать дробями, надо уметь переделывать числа с одного счисления в другое и так, чтобы числа не становились не больше, не меньше, а только цифры переменялись». Объяснив, что «числа можно переделывать из мелкого счисления в крупное и из крупного в мелкое», излагает на этой основе выполнение четырех действий над простыми дробями. (Отметим, что он не указывал способ перемножения дробей и не советовал его указывать, «так как одно из тех открытий, которые должен сделать сам ученик».) В этом же разделе дается вывод признаков делимости чисел на 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.
категорически возражал как против включения в учебник сложных и громоздких обоснований различных правил, так и против сообщения учащимся каких-либо правил без их оснований. Но для всех необходимых оснований в своем учебнике он находил всегда должную простоту. впервые нашел вполне доступное для учащихся изложение признаков делимости.
Во II части учебника, как и в I, большое внимание уделяет решению задач, причем рекомендует учителю дополнительно использовать и задачники по арифметике. Он не включал в учебник усложненных задач, требующих для своего решения большого искусства, хотя и был их большим любителем (достаточно вспомнить общеизвестную «задачу о косцах» ). Не включал он в учебник и тех «простых» задач, содержание которых надумано или не могло быть воспринято ребенком. Он писал: «…несмотря на систематическую порчу учеников в некоторых учебных заведениях, ученики ждут от взрослого человека – учителя – дельного и умного вопроса, становятся в тупик от вопроса: У Ноя было три сына – Сим, Хам и Иофет, – кто был им отец? – Я помню еще из своего детства, как я мучился над этим вопросом. Вся книжка г. Паульсона составлена из таких вопросов…»
Постоянное внимание к вопросам обучения учеников решению задач, методическое мастерство, с которыми эти вопросы излагаются в «Арифметике», вполне оправдывают уверенность, которая выражена в заключительной части его указаний для учителя:
«Пройдя эти 4 части арифметики и не упоминая об именованных числах, ни об отношениях пропорциях, ни о тройных, смешанных и других правилах, учитель может смело открыть всякий задачник, – и всякую задачу ученик решит, если она изложена простым русским языком».
В «Арифметику» не поместил некоторые вопросы, изучение которых проводилось на уроках математики в Японской школе. Об этом свидетельствует то, что в изданный учебник не вошли имевшиеся в первых вариантах рукописи такие разделы, как измерение на местности доступных и недоступных расстояний. Кроме того, сам о своем преподавании математики говорил так: «Уравнение, следовательно, алгебру я начинаю вместе с первыми действиями… Планиметрия не означена в программе, а задачи из планиметрии суть самые естественные и понятные для приложения первых правил (арифметики)».
Самоотверженная борьба Л. Н, Толстого за обновление методов преподавания арифметики, за признание его «Арифметики» окончилась неудачей.
Лишь некоторые учителя математики решились вести преподавание по его «Арифметики». В официальной прессе были опубликованы отрицательные рецензии на книгу. Академик , которому послал только что вышедшую из печати «Азбуку» с просьбой рассмотреть ее «математическую часть» и сказать о ней в печати «несколько слов осудительных или неосудительных», ответил пространным письмом. В этом письме дается общее положительное заключение об арифметической части книги, высказываются некоторые критические замечания о разделе «Дроби». В письме содержаться как одобрительные, так и некоторые критические высказывания о методической стороне рукописи. Однако не опубликовал своего отзыва в печати. Дать свою оценку «Арифметике» академик Буняковский не счел для себя возможным. Он писал: «…не считаю себя, однакож, компетентным судьей в деле элементарного преподавания этой науки и именно потому, что никогда не приходилось самому излагать ее малолетним ученикам».
Большую поддержку встретил со стороны известного педагога-математика , учителя , со стороны своего близкого друга, редактора «Азбуки» и немногих близких ему лиц.
«Арифметика» при его жизни не получила признания. Вскоре она была забыта настолько, что в выходивших в конце века методических пособиях сообщались как совершенно новые методические рекомендации, которые со всей обстоятельностью были разработаны в первой части его «Арифметики».
Только в 1913 г., после смерти великого писателя, с разрешения «Арифметика» была вновь напечатана двумя издателями.
Конечно, в методических исканиях были и некоторые неоправдивые увлечения. Об этом в осторожной форме упоминалось еще в письме академика . Но в то новое и верное, что было заложено в его «Арифметике» и «Указаниях учителя», не получило должной поддержки со стороны деятелей народного образования и математической общественности того времени.
Во многом это объясняется обстановкой, созданной вокруг имени реакционной прессой в связи с его отлучением от церкви.
Следует же сказать, что отрицательное отношение ко всему новому в области математического образования было вообще характерно для прошлого. Это убедительно показал крупнейший французский математик, видный деятель реформистского движения в преподавания математики Э. Борель (1871–1956) в своем докладе «Как согласовать преподавание в средней школе с прогрессом науки», прочитанном в 1914 г. На Международной конференции по математическому образованию в Париже.
Однако прогрессивные идеи в области преподавания математики дали свои всходы.
Получивший широкое распространение метод целесообразных задач, который был разработан известным педагогом-математиком -Троцким, является, по существу, развитием взглядов на роль задач при изучении арифметики. Интересно отметить, что в библиотеке в Ясной Поляне имеются учебники и учебные пособия -Троцкого, изданные в 1898–1904 гг. На одном из них имеется дарственная надпись автора.
В методических трудах , разработавшего конкретно-индуктивный метод изучения начальной алгебры, заметно влияние идей, заметно влияние идей, высказанных впервые .
Идеи о совместном изучении арифметики и начальной алгебры, о нецелесообразности чрезмерного дробления изучаемых фактов, об одновременном изучении сложения и вычитания, умножения и деления, о роли задач в обучении, о предъявлении повышенных требований к методике повторения пройденного плодотворно разрабатываются и в наше время.
впервые провел методический эксперимент и привлек внимание общества к проблеме: чему и как учить в начальной школе.
Надежда Константиновна Крупская, говоря о педагогических сочинениях , отмечала: «Его влияние, несомненно, наложило свою неизгладимую печать на русскую методическую мысль». Сказанное полностью относится и к вкладу, сделанному в методику преподавания математики.
