Тема: Линейные операции над векторами. Скалярное произведение векторов (стр. 2 )

Координаты вектора в пространстве равны разности соответствующих координат конца В и начала А вектора.

, где A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2).

Говорят, что точка М делит отрезок М1М2 в отношении , если .

Пусть относительно некоторой аффинной системы координат М1(x1, y1, z1), М2(x2, y2, z2), тогда координаты точки М, делящей отрезок М1М2 в отношении () вычисляются по формулам:

, , .

Если М – середина отрезка М1М2, то и тогда

, , .

Расстояние между двумя точками в пространстве A(x1;y1;z1), B(x2;y2;z2), заданными своими координатами в прямоугольной декартовой системе координат вычисляется по формуле:

Формулы преобразования координат при переходе от старой аффинной системы координат R = к новой R' = имеют вид:

где О'(x0, y0,z0)R,

det C = det (CT)0, где – матрица перехода от старого базиса к новому.

Если R и R' – прямоугольные декартовы системы координат, то матрицы С и СТ являются ортогональными. (det (C) = det (CT) = ).

II. Упражнения.

1. а) Какова особенность координат точки Р(x, y, z), если она лежит в плоскости Oxy?

б) Известно, что точка с координатами x, y, z лежит на оси Oz. Что можно сказать о ее координатах?

в) Где лежат точки пространства, ординаты которых равны нулю?

г) Найти расстояние точки М(x, y,z) до начала системы координат.

д) Найти расстояние точки М(x, y,z) до координатных плоскостей.

2. Вывести формулы для нахождения расстояний от точки М(x, y,z) до координатных осей.

3. Чему равны координаты проекций точки М(-3,1,2) на плоскости Oxy, Oyz, Oxz и на оси Ox, Oy, Oz?

4. Как связаны между собой координаты симметричных друг другу точек относительно: а) плоскости XOY; б) плоскости YOZ; в) прямой Ox; г) прямой Oy; д) начала координат?

III. Основные типовые задачи.

1.  Построение точки пространства по ее координатам.

2.  Вычисление координат вектора по координатам его концов.

3.  Вычисление расстояния между точками.

4.  Нахождение координат точки, делящей отрезок в данном отношении.

5.  Нахождение формул преобразования координат точек.

IV. Примеры решения задач.

Задача 1. Построить точки М(–3;2;1) и N(4;3;5).

Задача 2. Даны две вершины треугольника: А(–4;–1;2), В(3;5;–16). Найти третью вершину С, зная, что середина стороны АС лежит на оси Oy, а середина стороны ВС на плоскости Oxz.

Середина Q стороны ВС лежит на плоскости Oxz yQ = 0. По формулам координат середины отрезка имеем:

, ,

, ,

, , .

Итак, точка С (4;–5;–2).

Задача 3. Прямая проходит через две точки М1(–1;6;6) и М2(3;–8;–2). Найти точку ее пересечения с координатной плоскостью Oxz.

Решение.

Точка пересечения прямой М1М2 с координатной плоскостью Oxz делит отрезок М1М2 в некотором отношении λ.

Тогда , , .

Следовательно, М делит отрезок М1М2 в отношении .

По формулам деления отрезка в данном отношении получим:

, ,

, , .

Итак, точка М пересечения прямой М1М2 с плоскостью Oxz имеет координаты М ().

Задача 4. Дан прямоугольный параллелепипед АВСДА1В1С1Д1, в котором АВ = 2, АД = 2, АА1 = 3. Найдите координаты вершин этого параллелепипеда в системе координат, если: а) начало координат совпадает с точкой А, точки В, Д, А1 принадлежат соответственно положительным полуосям координат Ox, Oy, Oz; б) она получается из системы координат пункта а) параллельным переносом в центр параллелепипеда.

АА1 = 3 z = 3. Следовательно, точка A1(0; 0; 3).

Под координатами точки С мы понимаем координаты ее радиус-вектора .

Следовательно, . Значит С (2; 2; 0). Аналогично,

б) Формулы преобразования координат точек при параллельном переносе системы координат имеют вид: где (x;y;z) – координаты точки относительно старой системы координат , (x';y';z') – координаты точки относительно новой системы координат , а (x0;y0;z0) – координаты начала новой системы координат относительно старой.

Координаты нового начала О' определяются следующим образом:

.

Формулы преобразования для точки А имеют вид:

А(–1;–1;–).

Аналогично, В (2; 0; 0)R

В (1;–1;–)R';

С (2; 2; 0)R: С (1;1;–)R';

Д (0; 2; 0)R: Д (–1;1;–)R'.

Точка С1 – симметрична точке А относительно О' С1 (1;1;). Аналогично, Д1 – симметрична В относительно О' Д1(–1;1;)

В1 – симметрична Д относительно О' В1 (1;–1;)

А1 – симметрична С относительно О' А1 (–1;–1;).

V. Задачи для самостоятельной работы.

1.  Дано изображение ПДСК. Изобразите точки А(2; 3; 1), В(–1; 4; 0), С(4; 2; –5), D(–3; –1; –5).

2.  Доказать, что четырехугольник, вершины которого находятся в точках А(7; 2; 4), В(4; –4; 2), С(6; –7; 8), D(9; –1; 10), является квадратом.

3.  Даны координаты трех вершин параллелепипеда ABCDA¢B¢C¢D¢, а также точки О пересечения его диагоналей: А(2; 1; –1), В(3; 3; 4), С(–1; –1; 0), О(2; 2; 3). Найдите координаты остальных вершин.

4.  Даны координаты двух вершин равностороннего треугольника и . Найдите его площадь.

5.  Даны вершины треугольника А(2; –1; 4), В(3; 2; –6), С(–5; 0; 2). Вычислить длину его медианы, проведенной из вершины А.

6.  Даны четыре точки А(0; 1; –1), В(1; 0; 1), С(–1; 1; 0), D(1; –1; 1). Найти точку одинаково удаленную от данных точек.

7.  Даны координаты двух вершин треугольника АВС: А(–4, –1, 2), В(3, 5,
–6). Найдите координаты третьей вершины, если известно, что середина стороны АС лежит на оси Oy, а середина стороны ВС – на плоскости xOz.

8.  На прямой, проходящей через точки А(1; 0; 4) и В(3; –1; 2) найти точку С такую, чтобы АС=3АВ и точка В лежала между точками А и С.

9.  На прямой l взяты последовательно точки , так что . Зная координаты точек и , определить отношения, в которых точки делят отрезок , также координаты этих точек.

10.  Найти отношение, в котором каждая из координатных плоскостей делит отрезок АВ: А(2; –1; 7), В(4; 5; –2).

11.  Дан тетраэдр ОАВС. Написать формулы преобразования координат точек при переходе от системы координат , , к системе О¢=А, , , .

12.  Найти формулы преобразования при переходе от системы Oxyz к системе Ox’y’z’, если начало новой системы координат совпадает с началом О, ось Oz’ совпадает с осью Oz, лучи Ox’ и Oy’ являются соответственно биссектрисами углов xOz и yOz и новые координатные векторы являются единичными.

Занятие № 3.

Тема: Векторное произведение векторов.

I. Теоретические сведения.

В пространстве зададим правую прямоугольную декартову систему координат , тем самым мы определяем ориентацию в пространстве и пространство становится положительно ориентированным.

Пусть и - неколлинеарные векторы.

Векторным произведением вектора на вектор называется вектор такой что:

1) . Длина вектора равна произведению длин векторов и на синус угла между ними.

2) . Вектор перпендикулярен к каждому из векторов и .

3) Тройка векторов , , одинаково ориентирована с тройкой базисных векторов .

Обозначать операцию векторного произведения векторов будем следующим образом: .

Если векторы и – коллинеарны, то их векторным произведением называется нулевой вектор.

Геометрический смысл векторного произведения векторов состоит в том, что модуль векторного произведения векторов численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах.

Выражение векторного произведения в координатах:

, где

Свойства векторного произведения.

1. 

2.  (антикоммутативность)

3.  (ассоциативность относительно скалярного произведения)

4.  (дистрибутивность)

Свойства 3 и 4 означают линейность векторного произведения по первому аргументу, но в силу свойства 2 оно линейно и по второму аргументу.

II. Упражнения.

1.  Вычислить векторные произведения векторов , , , .

2.  Показать, что .

3.  Вычислить геометрический смысл равенства , изображая векторы и , диагоналями параллелограмма.

4.  Известно, что . Верно ли, что или ?

5.  Какому условию должны удовлетворять единичные векторы и , чтобы векторы и были: а) коллинеарны; б) взаимно перпендикулярны.

III. Основные задачи.

1.  Вычисление координат векторного произведения.

2.  Доказательство коллинеарности двух векторов.

3.  Вычисление площади и линейных элементов геометрических фигур.

4.  Вычисление момента силы.

IV. Примеры решения задач.

Задача 1. Даны векторы и . Найти координаты векторных произведений: 1) ; 2) .

Решение.

Воспользуемся свойствами векторного произведения:

1)

. Следовательно, .

2)

.

Следовательно, = .

Задача 2. Найдите вектор , зная, что он перпендикулярен векторам , и удовлетворяет условию .

Решение.

Вектор перпендикулярен векторам и , значит он коллинеарен векторному произведению . Вычислим координаты векторного произведения:

.

.

Найдем скалярное произведение векторов:

С другой стороны . Следовательно, имеем . Тогда .

Задача 3. Векторы и связаны соотношениями , . Доказать коллинеарность векторов и .

Решение.

Два вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулю.

. Следовательно, векторы и – коллинеарны.

Задача 4. Даны вершины треугольника А (1;-1;2), В (5;-6;2) и С (1;3;-1). Вычислить длину его высоты, опущенной из вершины В на АС.

Найдем .

.

С другой стороны,

. Тогда, .

Ответ: h = 5.

Задача 5. Даны векторы и . Вычислите площадь параллелограмма, для которого векторы и являются диагоналями.

Выразим стороны параллелограмма АД и АВ через векторы и .

; .

Площадь параллелограмма вычислим по формуле: .

.

Найдем .

.

Ответ: .

Задача 6. Сила приложена к точке М0(4;-2;3). Определить момент этой силы относительно точки А(3;2;–1).

Решение.

Если вектор изображает силу, приложенную к какой-нибудь точке М0, а вектор идет из некоторой точки А в точку М0, то вектор представляет собой момент силы относительно точки А.

Найдем координаты и .

.

.

Следовательно, момент силы равен вектору .

V. Задачи для самостоятельной работы.

1.  Векторы и взаимно перпендикулярны. Зная, что , вычислить: 1) ; 2) .

2.  Векторы и образуют угол . Зная, что , вычислить: 1) ; 2) ; 3) .

3.  Какому условию должны удовлетворять векторы и , чтобы векторы и были коллинеарны?

4.  Известно, что . Вычислите: а) , б) .

5.  Вектор , перпендикулярный векторам и , образует с осью Oy тупой угол. Зная, что , найти его координаты.

6.  Вектор , перпендикулярный к оси Oz и к вектору , образует острый угол с осью Ox. Зная, что , найти его координаты.

7.  Даны точки А(1;2;0), В(3;0;–3) и С(5;2;6). Вычислить площадь треугольника АВС.

8.  Дан треугольник АВС, в котором А(1;1;–2), В(1;1;0), С(–1;3;0). Вычислить длину его высоты AH.

9.  На векторах и построен параллелограмм АВСД. Вычислите расстояние между прямыми: а) АВ и СД; б) AД и ВС.

10.  Найдите расстояние от точки А(3;2;–2) до прямой, проходящей через точки В(1;2;3) и С(5;2;0).

11.  Сила приложена к точке С(2;–1;–2). Определите величину и направляющие косинусы момента этой силы относительно начала координат.

12.  Сила приложена к точке А(4;2;–3). Определить величину и направляющие косинусы момента этой силы относительно точки С(2;4;0).

13.  Вычислить площадь параллелограмма АВСД, если .

14.  Отрезок является высотой тетраэдра ОАВС. Найти вектор , если известны векторы .

Занятие № 4.

Тема: Смешанное произведение векторов.

I. Теоретические сведения.

Смешанным произведением трех некомпланарных векторов , и , взятых в определенном порядке, называется скалярное произведение вектора на векторное произведение векторов и .

Геометрический смысл смешанного произведения векторов заключается в том, что оно с точностью до знака совпадает с объемом

параллелепипеда, построенного на векторах , и как на сторонах.

Свойства смешанного произведения

Пусть в Е3 задан правый ортонормированный репер

1.  Смешанное произведение векторов, заданных своими координатами численно равно определителю третьего порядка, составленного из координат векторов.

Пусть , , , тогда

.

Если базис левый, то знак смешанного произведения меняется на противоположный.

2.  Тройка некомпланарных векторов , , одинаково ориентирована с тройкой базисных векторов , , тогда и только тогда, когда >0.