Тема: Линейные операции над векторами. Скалярное произведение векторов (стр. 1 )

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7

Занятие № 1.

Тема: Линейные операции над векторами. Скалярное произведение векторов.

I. Теоретические сведения.

Определения вектора, суммы, разности двух векторов, умножения вектора на число, скалярного произведения векторов вводятся в пространстве так же, как и на плоскости.

Векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или существует плоскость, которой они параллельны.

Сумму трех некомпланарных векторов можно получить по правилу параллелепипеда. Отложим от некоторой точки О пространства

Совокупность трех некомпланарных векторов, взятых в определенном порядке, называется базисом векторного пространства. Число векторов базиса определяет размерность векторного пространства.

 

В = – аффинный базис В = – ортонормированный базис

Dim V = 3 Dim V = 3

Базис называется ортонормированным, если выполняются следующие условия: 1) , ,

2)

Коэффициенты разложения вектора по векторам базиса называются координатами вектора относительно данного базиса.

Т. е., если то относительно базиса В = .

Для того чтобы векторы были компланарными, необходимо и достаточно, чтобы определитель, составленный из координат этих векторов был равен 0. Т. е. - компланарны = 0, где , , .

В дальнейшем будем рассматривать только ортонормированный базис. Пусть заданы координатами, то есть , . Тогда операции над векторами в координатах выражаются следующим образом:

λ

=

(1)

cos

sin

Если , и – углы, которые составляет с базисными векторами, т. е. = , = , = , то cos, cos, cos называются направляющими косинусами вектора .

Пусть имеет координаты a1, a2, a3, тогда

a1 = cos

a2 = cos (2)

a3 = cos

Формулы (2) выражают геометрический смысл координат относительно ортонормированного базиса.

Из (1) и (2) следует, что

cos2 + cos2 + cos2 = 1

Последнее равенство позволяет определить один из углов , , , если известны два других.

Проекцией на ось u называется число, равное произведению длины вектора на косинус угла наклона вектора к оси u.

прu = cos

Используя операцию скалярного произведения векторов, проекцию произвольного вектора на какую-нибудь ось u можно определить формулой

прu,

где – единичный вектор, направленный по оси u.

Если даны углы , , , которые ось u составляет с координатными осями, то и проекция вектора на ось u вычисляется по формуле:

прu =

II. Упражнения.

1.  Определить точку N, с которой совпадает конец , если его начало совпадает с точкой M(2;–3:1).

2.  Определить начало вектора , если его конец совпадает с точкой (5;–3;2).

3.  Вычислить направляющие косинусы вектора

4.  Дан модуль =2 и углы =450, =600, =1200. Вычислить проекции вектора на координатные оси.

5.  Может ли вектор составлять с координатными осями следующие углы: 1) =450, =600, =1200; 2) =450, =1350, =600; 3) =900, =1500, =600.

6.  Вектор составляет с осями Ох и Оz углы =1200 и =450. Какой угол он составляет с осью Оy?

7.  Определить при каких значениях и векторы и коллинеарны?

8.  Проверить, что четыре точки А(3;–1;2), В(1;2;–1), С(–1;1;–3), Д(3;–5;3) служат вершинами трапеции.

9.  Найти орт вектора .

III. Основные типовые задачи.

1.  Построение линейной комбинации векторов.

2.  Разложение вектора по векторам базиса векторного пространства.

3.  Вычисление координат линейной комбинации данных векторов.

4.  Вычисление длины вектора.

5.  Вычисление угла между векторами.

IV. Примеры решения задач.

Решение.

1) По правилу параллелепипеда сложения трех некомпланарных векторов в пространстве имеем:

=

2) =

 
Задача 1. В параллелепипеде АВСДА'В'С'Д' заданы векторы, совпадающие с его ребрами: , , . Построить каждый из следующих векторов: 1); 2); 3).

3) = –, где К – середина ребра АА'.

Задача 2. Даны три вектора , , . Найти разложение вектора по базису .

Решение.

Обозначим коэффициенты разложения вектора по базису через x, y, z. Тогда . Запишем это соотношение в координатах:

Получили систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Решая ее, получим x = 2, y = –3, z = 1 и .

Ответ: .

Задача 3. Даны три силы , и , приложенные к одной точке. Вычислить, какую работу производит равнодействующая этих сил, когда ее точка приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из положения М1(5;3;–7) в положение М2(4;–1;–4).

Решение.

Если вектор изображает силу, точка приложения которой перемещается из начала в конец вектора , то работа А этой силы определяется равенством А = .

Найдем силу , являющуюся равнодействующей данных сил , т. е.

, .

Вектор перемещения имеет координаты .

Найдем скалярное произведение в координатах:

= 2∙(–1)+(–3)∙(–4)+1∙3 = 13.

Ответ: А = 13.

Задача 4. Даны вершины треугольника: А(–1;–2;4), В(–4;–2;0) и С(3;–2;1). Определить его внутренний угол при вершине В.

Решение.

Внутренний угол при вершине В треугольника АВС можно определить как угол между неколлинеарными векторами и .

Найдем координаты этих векторов.

 

Используем формулу cos

cos B = . Следовательно,

= arccos = 450

Ответ: = 450.

Задача 5. Вектор , коллинеарный вектору , образует острый угол с осью Oz. Зная, что , найти его координаты.

Решение.

Так как коллинеарен вектору , то его координаты пропорциональны координатам , т. е. . Найдем длину вектора :

Учитывая, что , получим

156,25α2 = 2500 α2 = 16 α = 4.

Отсюда следует, что имеет координаты или .

Но вектор образует острый угол с осью Oz, следовательно >0, где – направляющий вектор оси Oz, .

Найдем <0, >0. Учитывая, что , получим, что α = – 4 и вектор имеет координаты .

Ответ: .

Задача 6. Вычислите угол, который образуют единичные векторы и , если известно, что векторы и взаимно перпендикулярны.

Решение.

Из того, что векторы и взаимно перпендикулярны следует, что их скалярное произведение равно 0.

Так как имеем:

8+8cos = 0

cos = –1, = 1800

Ответ: π.

V. Задачи для самостоятельной работы.

1.  Проверить коллинеарность векторов и . Установить, какой из них длиннее другого и во сколько раз, как они направлены – в одну или в противоположные стороны.

2.  Два вектора и приложены к одной точке. Определить координаты вектора , направленного по биссектрисе угла между векторами и , при условии, что .

3.  Даны три вектора , , . Найти разложение по базису .

4.  Даны неколлинеарные векторы и . При каких значениях α и β для векторов выполняется равенство ?

5.  Найдите координаты вектора , если известны его длина и углы и , которые он образует с векторами базиса ; ; а), , , ; б), , , ; в) , , , .

6.  Доказать, что вектор перпендикулярен к вектору .

7.  Найдите угол между векторами и , если , , , , и взаимно-перпендикулярны.

8.  Треугольник АВС задан векторами и . Найдите длины медиан АМ и ВР треугольника и угол между ними.

9.  Вычислить, какую работу производит сила , когда ее точка приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из положения А(2;–3;5) в положение В(3;–2;–1).

10.  Даны вершины треугольника А(3;2;–3), В(5;1;–1) и С(1;–2;1). Определить его внешний угол при вершине А.

11.  Найти вектор , коллинеарный вектору и удовлетворяющий условию .

12.  Даны три вектора: . Вычислить пр.

13.  Даны точки А(–2;3;–4), В(3;2;5), С(1;–1;2), Д(3;2;–4). Вычислить пр.

Занятие № 2.

Тема: Системы координат в пространстве.

I. Теоретические сведения.

Аффинной системой координат (или аффинным репером) в пространстве называется совокупность точки О пространства и упорядоченной тройки линейно-независимых векторов .

R = .

z

 

Точка О называется началом системы координат. Координатные оси Ox, Oy, Oz называются соответственно осями абсцисс, ординат и аппликат, а плоскости Oxy, Oyz, Oxz – координатными плоскостями. Векторы называются базисными векторами.

 
 

Аффинная система координат называется прямоугольной декартовой системой координат, если ее базисные векторы единичны и попарно ортогональны.

В дальнейшем мы будем пользоваться только правой системой координат.

Под координатами точки М пространства мы будем понимать координаты ее радиус-вектора .

М(x, y, z)

Точка М(x, y, z) принадлежит плоскости Oxy тогда и только тогда, когда z = 0.

Аналогично, М(x, y, z) Oyz x = 0,

М(x, y, z) Oxz y = 0.

Точка М(x, y, z) лежит на оси Ox тогда и только тогда, когда y = 0 и z = 0.

Аналогично, М(x, y, z) Oy x = 0, z = 0

М (x, y, z) Oz x = 0, y = 0.

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7



Подпишитесь на рассылку:

Проекты по теме:

Основные порталы, построенные редакторами

Домашний очаг

ДомДачаСадоводствоДетиАктивность ребенкаИгрыКрасотаЖенщины(Беременность)СемьяХобби
Здоровье: • АнатомияБолезниВредные привычкиДиагностикаНародная медицинаПервая помощьПитаниеФармацевтика
История: СССРИстория РоссииРоссийская Империя
Окружающий мир: Животный мирДомашние животныеНасекомыеРастенияПриродаКатаклизмыКосмосКлиматСтихийные бедствия

Справочная информация

ДокументыЗаконыИзвещенияУтверждения документовДоговораЗапросы предложенийТехнические заданияПланы развитияДокументоведениеАналитикаМероприятияКонкурсыИтогиАдминистрации городовПриказыКонтрактыВыполнение работПротоколы рассмотрения заявокАукционыПроектыПротоколыБюджетные организации
МуниципалитетыРайоныОбразованияПрограммы
Отчеты: • по упоминаниямДокументная базаЦенные бумаги
Положения: • Финансовые документы
Постановления: • Рубрикатор по темамФинансыгорода Российской Федерациирегионыпо точным датам
Регламенты
Термины: • Научная терминологияФинансоваяЭкономическая
Время: • Даты2015 год2016 год
Документы в финансовой сферев инвестиционнойФинансовые документы - программы

Техника

АвиацияАвтоВычислительная техникаОборудование(Электрооборудование)РадиоТехнологии(Аудио-видео)(Компьютеры)

Общество

БезопасностьГражданские права и свободыИскусство(Музыка)Культура(Этика)Мировые именаПолитика(Геополитика)(Идеологические конфликты)ВластьЗаговоры и переворотыГражданская позицияМиграцияРелигии и верования(Конфессии)ХристианствоМифологияРазвлеченияМасс МедиаСпорт (Боевые искусства)ТранспортТуризм
Войны и конфликты: АрмияВоенная техникаЗвания и награды

Образование и наука

Наука: Контрольные работыНаучно-технический прогрессПедагогикаРабочие программыФакультетыМетодические рекомендацииШколаПрофессиональное образованиеМотивация учащихся
Предметы: БиологияГеографияГеологияИсторияЛитератураЛитературные жанрыЛитературные героиМатематикаМедицинаМузыкаПравоЖилищное правоЗемельное правоУголовное правоКодексыПсихология (Логика) • Русский языкСоциологияФизикаФилологияФилософияХимияЮриспруденция

Мир

Регионы: АзияАмерикаАфрикаЕвропаПрибалтикаЕвропейская политикаОкеанияГорода мира
Россия: • МоскваКавказ
Регионы РоссииПрограммы регионовЭкономика

Бизнес и финансы

Бизнес: • БанкиБогатство и благосостояниеКоррупция(Преступность)МаркетингМенеджментИнвестицииЦенные бумаги: • УправлениеОткрытые акционерные обществаПроектыДокументыЦенные бумаги - контрольЦенные бумаги - оценкиОблигацииДолгиВалютаНедвижимость(Аренда)ПрофессииРаботаТорговляУслугиФинансыСтрахованиеБюджетФинансовые услугиКредитыКомпанииГосударственные предприятияЭкономикаМакроэкономикаМикроэкономикаНалогиАудит
Промышленность: • МеталлургияНефтьСельское хозяйствоЭнергетика
СтроительствоАрхитектураИнтерьерПолы и перекрытияПроцесс строительстваСтроительные материалыТеплоизоляцияЭкстерьерОрганизация и управление производством

Каталог авторов (частные аккаунты)

Авто

АвтосервисАвтозапчастиТовары для автоАвтотехцентрыАвтоаксессуарыавтозапчасти для иномарокКузовной ремонтАвторемонт и техобслуживаниеРемонт ходовой части автомобиляАвтохимиямаслатехцентрыРемонт бензиновых двигателейремонт автоэлектрикиремонт АКППШиномонтаж

Бизнес

Автоматизация бизнес-процессовИнтернет-магазиныСтроительствоТелефонная связьОптовые компании

Досуг

ДосугРазвлеченияТворчествоОбщественное питаниеРестораныБарыКафеКофейниНочные клубыЛитература

Технологии

Автоматизация производственных процессовИнтернетИнтернет-провайдерыСвязьИнформационные технологииIT-компанииWEB-студииПродвижение web-сайтовПродажа программного обеспеченияКоммутационное оборудованиеIP-телефония

Инфраструктура

ГородВластьАдминистрации районовСудыКоммунальные услугиПодростковые клубыОбщественные организацииГородские информационные сайты

Наука

ПедагогикаОбразованиеШколыОбучениеУчителя

Товары

Торговые компанииТоргово-сервисные компанииМобильные телефоныАксессуары к мобильным телефонамНавигационное оборудование

Услуги

Бытовые услугиТелекоммуникационные компанииДоставка готовых блюдОрганизация и проведение праздниковРемонт мобильных устройствАтелье швейныеХимчистки одеждыСервисные центрыФотоуслугиПраздничные агентства

Блокирование содержания является нарушением Правил пользования сайтом. Администрация сайта оставляет за собой право отклонять в доступе к содержанию в случае выявления блокировок.