Тема: Линейные операции над векторами. Скалярное произведение векторов (стр. 6 )

3.  Какому условию должны удовлетворять коэффициенты в уравнениях прямой , чтобы она: а) совпадала с осью Ox; б) была параллельна оси Oy; в) лежала в плоскости OXY и проходила через начало координат.

III. Основные типовые задачи.

1.  Исследование взаимного расположения двух заданных прямых.

2.  Нахождение координат точки пересечения двух прямых.

3.  Вычисление угла между двумя прямыми.

IV. Примеры решения задач.

Задача 1. Определите взаимное расположение следующих пар прямых:

а) : и :

б) : и :

в) : и :

Решение.

а) Прямые и заданы общими уравнениями, поэтому найдем сначала координаты направляющих векторов этих прямых и и координаты какой-нибудь точки М1, принадлежащей прямой и точки М2, принадлежащей прямой .

: , , т. е. .

Найдем координаты какой-нибудь точки М1 прямой . Пусть, например, y1 = 0, тогда x1 = 0 и z1 = 4. Т. е. точка имеет координаты М1(0;0;4).

: , , т. е. .

Найдем какую-нибудь точку М2, принадлежащую прямой . Пусть, например, z = 1. Тогда x = 7, y = 2, т. е. М2(7;2;1).

Найдем определитель:

.

Отсюда следует, что прямые и скрещиваются.

б) : , М1(1;7;3)

: , М2(6;–1;–2)

Найдем определитель:

.

Следовательно, прямые лежат в одной плоскости. Векторы и – не коллинеарны, значит прямые и – пересекаются.

в) : , М1(0;0;–3)

: , т. е. .

Найдем какую-нибудь точку М2, принадлежащую прямой . Пусть, например, z = –2. Тогда x = 9, y = 5. Точка М2(9;5;–2) принадлежит прямой .

Найдем определитель:

.

Следовательно, прямые и лежат в одной плоскости. Векторы и – коллинеарны, значит прямые и либо параллельны, либо совпадают. Вектор коллинеарен вектору и вектору , поэтому прямые и совпадают.

Задача 2. Написать уравнения прямой , проходящей посередине между параллельными прямыми и , заданными уравнениями: : и :

Решение:

Для определения координат точки М2 положим, например, x0 = 1. Тогда, получим z0 = 0, y0 = –1. Отсюда М2(1;–1;0).

Вычислим координаты середины отрезка М1М2:

; ; А(3;;).

Уравнение прямой , проходящей через точку А с направляющим вектором имеет вид:

.

Задача 3. Найти угол между прямыми и

Решение.

Найдем направляющие векторы этих прямых:

,

.

Косинус угла между данными прямыми:

,

.

Задача 4. Составить канонические уравнения прямой, лежащей в плоскости XOZ, проходящей через начало координат и перпендикулярной к прямой .

Решение.

Пусть – направляющий вектор искомой прямой . Прямая лежит в плоскости XOY, поэтому проекция вектора на ось Oy равна нулю, т. е. = 0. Из условия перпендикулярности прямой данной прямой следует, что их направляющие векторы и перпендикулярны, т. е. .

Поскольку направляющий вектор задается с точностью до множителя, можно одну из координат выбрать произвольно. Например, положим = 3, получим = –1, следовательно, .

Искомая прямая проходит через начало координат О(0;0;0), поэтому ее канонические уравнения:

.

Задача 5. Доказать, что прямые и пересекаются. Найти точку их пересечения.

Решение.

Точка М1(1;–2;0) принадлежит первой прямой, а М2(–1;–11;–6) – второй. Найдем смешанное произведение векторов и направляющих векторов данных прямых и .

.

Следовательно, эти векторы компланарны, и две прямые лежат в одной плоскости. Поскольку векторы и неколлинеарны (их координаты непропорциональны), то прямые не параллельны, т. е. не пересекаются.

Найдем точку пересечения прямых. Для этого приведем уравнение одной из прямых к параметрическому виду и из уравнения второй прямой найдем значение параметра , отвечающего точке пересечения.

Параметрические уравнения первой прямой имеют вид:

, , .

Подставляя эти выражения для x, y, z в уравнения второй прямой, получим:

, откуда .

Следовательно, точка пересечения имеет координаты:

, , .

Ответ: (3;–3;–2).

Задача 6. Доказать, что прямые , , и , , лежат в одной плоскости, и написать уравнение этой плоскости.

Решение.

Точка М1(2;0;–1) принадлежит первой прямой, а точка М2(7;2;0) второй. Найдем смешанное произведение векторов и направляющих векторов прямых и .

.

Следовательно, векторы компланарны и две прямые лежат в одной плоскости. Векторы и – коллинеарны (их координаты пропорциональны). Следовательно, прямые параллельны.

, . Поскольку координаты векторов и – непропорциональны, эти векторы неколлинеарны. Воспользуемся уравнением плоскости, заданной точкой М1 и направляющими векторами и :

,

.

Отсюда, – уравнение искомой плоскости.

V. Задачи для самостоятельной работы.

1.  Доказать, что: а) прямая пересекает ось Oy;

б) прямая пересекает координатные плоскости. Определить координаты точек пересечения.

2.  Установить взаимное расположение следующих пар прямых: а) и б) и в) и ; г) и

3.  Доказать, что прямые и пересекаются. Написать уравнение плоскости, проходящей через эти прямые.

4.  Доказать, что следующие пары прямых параллельны: а) , , и б) и Составить уравнения плоскостей, проходящих через каждую пару прямых.

5.  Доказать, что прямые взаимно перпендикулярны:

а) и б) и в) и

6.  Найти угол между прямыми: а) и ; б) и в) и

7.  Вычислить углы, образованные противоположными ребрами тетраэдра с вершинами: A(3;–1;0), B(0;–7;3), C(–2;1;–1), Д(3;2;6).

8.  Через точку (2;–5;3) провести прямую:

1) параллельную оси Oz;

2) параллельную прямой ;

3) параллельную прямой .

9.  Составить уравнения прямой, проходящей через точку М(3;–2;0) перпендикулярно к прямой и расположенной в плоскости XOY.

10.Составить уравнения прямой, проходящей через точку N(1;2;–1) параллельно линии пересечения плоскостей и .

11.Доказать, что следующие прямые и скрещиваются.

12.Доказать, что прямые и пересекаются и найти их точку пересечения.

13.Даны прямые , ; при каком значении они пересекаются?

Занятие № 10.

Тема: Поверхности вращения.
Цилиндрические поверхности

I.  Теоретические сведения.

1. Поверхности вращения.

Определение. Поверхностью вращения называется поверхность, образованная вращением плоской линии g вокруг оси, лежащей в плоскости этой линии.

Пусть , тогда ее можно задать уравнениями

Уравнение поверхности, образованной вращением линии g вокруг оси Oz будет иметь вид:

(1)

2. Цилиндрические поверхности.

Пусть в пространстве дана некоторая плоская линия g и вектор , не параллельный плоскости этой линии.

Определение. Цилиндрической поверхностью называется множество точек пространства, лежащих на прямых параллельных данному вектору и пересекающих данную линию g.

Линия g называется направляющей цилиндрической поверхности, прямые называются образующими.

Рассмотрим частный случай: направляющая линия g лежит в плоскости xOy: и задается уравнениями: а направляющий вектор образующих имеет координаты , .

В этом случае уравнение цилиндрической поверхности имеет вид

. (2)

II.  Упражнения.

1.  Получите уравнение поверхности вращения (1).

2.  Получите уравнение цилиндрической поверхности (2).

III.  Основные типовые задачи.

1)  Составление уравнения поверхности вращения по уравнениям направляющей и оси вращения.

2)  Составление уравнения цилиндрической поверхности по уравнениям направляющей и направляющему вектору образующих.

IV.  Примеры решения задач.

Задача 1. В плоскости yOz дана окружность с центром в точке (0; 4; 0) радиуса 1. Написать уравнение поверхности, образованной вращением данной окружности вокруг оси Oz.

Решение.

Уравнения окружности, лежащей в плоскости yOz с центром в точке (0; 4; 0) радиуса 1, имеют вид

(3)

При вращении этой окружности вокруг оси Oz получается поверхность, называемая тором. Пусть М – произвольная точка на торе. Проведем через точку М плоскость a, перпендикулярную оси вращения, т. е. оси Oz, в сечении получим окружность. Обозначим центр этой окружности P, а точку пересечения плоскости a с окружностью, образующей поверхность вращения, – N.

Обозначим координаты точки M(x, y, z), тогда P(0, 0, z), а N(0,, z). Так как точки M и N лежат на окружности с центром в точке P, то

,

.

Последнее равенство запишем в координатах

. (4)

Точка N лежит на окружности, при вращении которой образуется тор, значит ее координаты должны удовлетворять уравнениям (3), запишем первое уравнение системы (3)

,

,

.

Возведем последнее равенство в квадрат.

и подставим выражение для из равенства (4), получим

(5)

Уравнение (5) – искомое.

Ответ: .

Задача 2. Составить уравнение цилиндрической поверхности, если направляющая лежит в плоскости xOy и имеет уравнение , а образующие параллельны вектору {1; 2; –1}.

Решение.

Пусть точка M(x, y, z) – произвольная точка цилиндрической поверхности. Проведем через точку М образующую l, она пересекает направляющую в точке . Так как направляющая лежит в плоскости xOy, то . Составим канонические уравнения прямой l

.

Приравняем первую и вторую дроби к последней

(6)

Точка N лежит на направляющей, значит ее координаты удовлетворяют ее уравнению:

.

Подставляя выражения для и из системы (6), получим

. (7)

(7) – искомое уравнение.

Ответ: .

V.  Задачи для самостоятельного решения.

1)  Составить уравнение поверхности, образованной вращением параболы , х=0 вокруг оси Oz.

2)  Составить уравнение поверхности, образованной вращением вокруг оси Oy каждой из следующих кривых, расположенной в плоскости xOy:

а) эллипса ;

б) гиперболы ;

в) параболы .

3)  Написать уравнение поверхности, образованной вращением синусоиды вокруг оси Oz.

4)  Напишите уравнение поверхности, образованной вращением прямой , вокруг оси Ox.

5)  Докажите, что поверхность, образованная вращением вокруг оси Oz линии l, заданной уравнениями , имеет уравнение .

6)  Составить уравнение цилиндрической поверхности в каждом из следующих случаев:

а) Направляющая лежит в плоскости и имеет уравнение , а образующие параллельны вектору {1; 0; 1};

б) направляющая лежит в плоскости yOz и имеет уравнение , а образующие параллельны оси Ox;

в) направляющая лежит в плоскости xOz и является окружностью , а образующие параллельны оси Oy.

7)  Напишите уравнение цилиндрической поверхности, если:

а) направляющая задана уравнениями а образующая параллельна вектору ;

б) направляющая задана уравнениями а образующая параллельна прямой x=y=z.

8)  Напишите уравнение цилиндрической поверхности, направляющая которой задана уравнениями а образующая параллельна оси Ox.

9)  Напишите уравнение цилиндрической поверхности, направляющая которой задана уравнениями а образующая перпендикулярна плоскости направляющей.

10)  Цилиндр, образующие которого перпендикулярны плоскости , описан около сферы . Составить уравнение этого цилиндра.

11)  Написать уравнение цилиндрической поверхности вращения, если ось вращения совпадает с осью Oz, а радиус r=5.

12)  Составить уравнение круговой цилиндрической поверхности, если известны уравнения ее оси , , и координаты одной из ее точек .

13)  Написать уравнение круговой цилиндрической поверхности, если известны уравнения ее оси l и координаты одной из ее точек М:

а) , , , М(2; 0; 1);

б) l: , М(2; –1; 1).

Занятие № 11.

Тема: Конические поверхности.

I.  Теоретические сведения.

Пусть в пространстве дана некоторая плоская линия g и точка S, не лежащая в плоскости этой линии.

Определение. Конической поверхностью называется множество точек пространства, лежащих на прямых проходящих через данную точку S и пересекающих данную линию g.

Линия g называется направляющей конической поверхности, точка S – вершиной, прямые называются образующими.

Рассмотрим частный случай: вершина S совпадает с началом координат, направляющая линия g лежит в плоскости, параллельной плоскости xOy: z=c, и задается уравнением: .