.

Отсюда следует, что плоскости и перпендикулярны тогда и только тогда, когда .

Пучком плоскостей называется совокупность плоскостей, проходящих через одну прямую.

Прямая - ось пучка.

Пусть плоскости и относительно некоторой аффинной системы координат заданы уравнениями:

;
 

Тогда уравнение , где называется уравнением пучка плоскостей.

и не равны нулю одновременно обозначим , где и уравнение пучка плоскостей можно записать в виде:

.

II. Упражнения.

1.  Проверить, что плоскости , пересекаются. Указать координаты какой-нибудь точки, лежащей на линии пересечения данных плоскостей.

2.  Показать, что уравнение любой плоскости, параллельной плоскости, заданной уравнением , можно записать в виде: .

3.  Установить, какие из следующих пар уравнений определяют параллельные плоскости:

а) ;

б) ;

в) .

4.  Привести пример уравнений двух взаимно перпендикулярных плоскостей.

5.  Установить, какие из следующих пар уравнений определяют перпендикулярные плоскости:

а) ;

б) ;

в) .

6.  Привести аналитическое условие пересечения трех плоскостей в единственной точке.

7.  Указать координаты вектора, параллельного двум плоскостям, заданным относительно некоторой аффинной системы координат уравнениями:

;

.

III. Примеры решения задач.

Задача 1. Определить взаимное расположение плоскостей:

а) и ;

б) и ;

в) и .

Решение.

а) Составим основную и расширенную матрицы

и .

Найдем ранг этих матриц:

.

Так как и , то плоскости П1 и П2 совпадают.

б) , .

Следовательно, плоскости П1 и П2 параллельны.

в) , следовательно плоскости П1 и П2 пересекаются по прямой.

Задача 2. Через точку М0(–5;16;12) проведены две плоскости: одна из них содержит ось абсцисс, другая – ось ординат. Вычислить угол между этими двумя плоскостями.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Решение.

Составим уравнение плоскости П1, которая проходит через точку М0 и содержит ось абсцисс. Плоскость П1 задается двумя точками М0(–5;16;12) и О(0;0;0) и направляющим вектором . Следовательно, уравнение плоскости П1 имеет вид:

.

Или П1: .

Аналогично составим уравнение плоскости П2, проходящей через точку М0 и содержащей ось ординат (П2: М0, О, ).

П2: или П2: .

Тогда .

Угол между плоскостями П1 и П2 равен .

Задача 3. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку М1(3;-2;-7) параллельно плоскости .

Решение.

Искомая плоскость П имеет уравнение вида . Так как точка М1 П, то ее координаты удовлетворяют этому уравнению:

. Отсюда Д1 = –27.

Тогда П: .

Задача 4. Напишите уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения плоскостей и и через точку М(3;2;1).

Решение.

Так как искомая плоскость П проходит через линию пересечения двух плоскостей П1 и П2, то она принадлежит пучку плоскостей, образованному плоскостями П1 и П2. Уравнение пучка плоскостей имеет вид:

, где .

Тогда уравнение любой плоскости пучка и в частности плоскости П имеет вид:

.

Точка М(3;2;1) П, следовательно, ее координаты удовлетворяют уравнению плоскости:

,

.

Отсюда имеем, что уравнение плоскости

П: ,

или .

Задача 5. Напишите уравнение плоскости, проходящей через точку М(2;–1;4) перпендикулярно плоскостям и .

Решение.

Искомая плоскость перпендикулярна плоскости и . Следовательно, векторы нормали к плоскостям и будут параллельны плоскости . Таким образом, плоскость определяется точкой М(2;-1;4) и двумя направляющими векторами: и .

Уравнение плоскости имеет вид:

: ,

,

.

Итак, плоскость задается уравнением .

Задача 6. Определить, при каких значениях a и b плоскости , , :

1) имеют одну общую точку;

2) проходят через одну прямую;

3) пересекаются по трем различным параллельным прямым.

Решение.

1) Три плоскости, заданные относительно аффинной системы координат общими уравнениями:

имеют одну общую точку тогда и только тогда, когда система, составленная из уравнений этих плоскостей, имеет единственное решение (Рис. 1).

Система имеет единственное решение определитель

.

.

Итак, плоскости имеют одну общую точку при .

2) Введем обозначения:

, , - векторы нормали соответственно к плоскостям .

Плоскости и проходят через прямую, если , и векторы - не коллинеарны (Рис. 2).

При и векторы нормали к плоскостям имеют координаты: , , . Нетрудно заметить, что не параллелен не параллелен . Следовательно, плоскости и пересекаются по прямой при и .

3) Плоскости и пересекаются по трем различным прямым, если , и векторы - не коллинеарны.

IV. Задачи для самостоятельной работы.

1.  Установить взаимное расположение следующих пар плоскостей:

а) , ;

б) , ;

в) , ;

г) , .

2.  Составить уравнение плоскости, проходящей через начало координат и параллельной плоскости: а) ; б) ; в) .

3.  Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А(1;–1;2) и параллельной плоскости: а) ; б) , , .

4.  Даны две плоскости. Установить, являются ли они пересекающимися, параллельными или совпадающими:

а) и ;

б) и ;

в) , , и , , .

5.  При каких a плоскости и : 1) пересекаются; 2) параллельны; 3) совпадают?

6.  Определить, при каких значениях и следующие пары уравнений будут определять параллельные плоскости:

1) , ;

2) , ;

3) , .

7.  Определить, при каком значении следующие пары уравнений будут определять перпендикулярные плоскости:

1) , ;

2) , ;

3) , .

8.  Найти угол между плоскостями:

а) и ;

б) и ;

в) и ;

г) и , , ;

д) и .

9.  Составить уравнение плоскости1, проходящей через точку А(2;1;–1) и перпендикулярной двум плоскостям: и .

10.  В пучке, определяемом плоскостями и , найти две перпендикулярные друг другу плоскости, одна из которых проходит через точку М(1;3;1).

11.  Показать, что плоскости , и пересекаются в одной точке; найти ее координаты.

12.  Показать, что плоскости , и пересекаются по одной прямой.

13.  Показать, что плоскости , , пересекаются по трем параллельным между собой прямым.

14.  Найдите угол между плоскостями, проходящими через точку М(1;–1;–1), одна из которых содержит ось Ox, а другая – ось Oz.

15.  Напишите уравнение плоскости, проходящей через точки М(2;0;0) и Р(0;2;0) и образующей угол 450 с плоскостью .

16.  Через линию пересечения плоскостей и проведите плоскость под углом 450 к плоскости XOY.

17.  Написать уравнение плоскости, перпендикулярной плоскости и пересекающей ее по прямой, лежащей в плоскости OYZ.

18.  В прямоугольной декартовой системе координат даны уравнения граней трехгранного угла

,

,

.

Написать уравнения трех плоскостей, каждая из которых проходит через некоторое ребро и перпендикулярна противолежащей грани.

19.Определить двугранные углы между следующими парами плоскостей:

а) , ;

б) , .

Занятие № 7.

Тема: Расстояние от точки до плоскости.

Геометрический смысл знака многочлена .

I. Теоретические сведения.

Нормальным уравнением плоскости называется уравнение

, (1)

где – направляющие косинусы нормали плоскости, p – расстояние плоскости от начала координат.

знак нормирующего множителя берется противоположным знаку свободного члена Д уравнения (2).

Замечание: Если Д = 0, то знак нормирующего множителя можно выбрать любой.

Если в левую часть уравнения плоскости в нормальной форме подставить координаты любой точки пространства, то получится число, с точностью до знака, равное расстоянию от этой точки до плоскости.

Формула для нахождения расстояния от точки М0(x0,y0,z0) до плоскости П: имеет вид:

.

Геометрический смысл знака многочлена состоит в следующем:

неравенство задает то полупространство относительно плоскости , которому принадлежит конец вектора нормали этой плоскости, отложенного от некоторой точки плоскости;

неравенство задает другое полупространство относительно указанной плоскости.

II. Упражнения.

1.  Вывести формулу для вычисления расстояния между параллельными плоскостями.

2.  Выяснить условия, при которых общее уравнение плоскости является нормальным уравнением.

3.  Привести уравнение плоскости к нормальному виду.

4.  Определить положение точек М(3;1;-2) и N(5;0;1) относительно плоскости .

5.  Даны две параллельные плоскости , , . Записать линейные неравенства, характеризующие область , расположенную между ними, и внешние области и .

III. Основные типовые задачи.

1.  Приведение общего уравнения плоскости к нормальному виду.

2.  Нахождение расстояния от точки до плоскости.

3.  Определение положения точки относительно заданной области пространства.

IV. Примеры решения задач.

Задача 1. Привести к нормальному виду уравнения плоскостей: а) ; б) .

Решение.

а) Д = – 18, следовательно, нормирующий множитель . Уравнение плоскости в нормальной форме имеет вид:

.

б) Д = + 26, следовательно, . Уравнение плоскости в нормальной форме имеет вид:

или .

Задача 2. Для каждой из следующих плоскостей вычислить углы , и , образуемые нормалью с осями координат, и расстояние p от начала координат: а) ; б) .

Решение:

а) Приведем уравнение плоскости к нормальному виду:

Д = –10, следовательно .

- нормальный вид уравнения плоскости.

Тогда,

.

б) П: .

Д = + 4, следовательно ;

- уравнение плоскости в нормальном виде.

Тогда,

.

Задача 3. Даны точки А(5;–1;0), В(0;1;0) и С(2;1;–2). Составить линейные неравенства, характеризующие то из полупространств, определяемых плоскостью АВС, которому принадлежит: а) начало координат; б) точка Е(1;1;1).

Решение.

Воспользуемся уравнением плоскости, проходящей через три данные точки, и преобразуем его:

,

; .

Получим уравнение плоскости АВС:

.

.

а) Выясним значение многочлена для начала координат: , следовательно, линейное неравенство, характеризующее полупространство, определяемое плоскостью АВС, которому принадлежит точка О(0;0;0) имеет вид: .

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7