Тема: Линейные операции над векторами. Скалярное произведение векторов (стр. 5 )

б) Найдем значение многочлена для точки Е(1;1;1):

, следовательно, - линейное неравенство, характеризующее полупространство, определяемое плоскостью АВС, которому принадлежит точка Е(1;1;1).

Задача 4. На оси Ox найти точку, отстоящую от плоскости на расстоянии .

Решение.

Поскольку искомая точка М лежит на оси Ox, то ее координаты (x;0;0). Найдем расстояние от точки М до плоскости .

.

Поэтому , откуда , . Условию задачи удовлетворяют две точки: и .

Задача 5. Провести плоскость, параллельную данной плоскости и отстающую от нее на ед. длины.

Решение.

I способ. Искомая плоскость параллельна данной плоскости , следовательно, ее уравнение имеет вид: .

Расстояние между параллельными плоскостями находится по формуле:

, поэтому

, , т. е. , , откуда получаем и . Эти две плоскости удовлетворяют условию задачи.

II способ. Искомая плоскость есть геометрическое место точек М(x, y,z), находящихся от данной плоскости на расстоянии . Поэтому

или ,

откуда получаем и . Эти две плоскости удовлетворяют условию задачи.

Задача 6. Через линию пересечения плоскостей и провести плоскость, касающуюся сферы .

Решение.

Искомая плоскость проходит через линию пересечения двух данных плоскостей, следовательно, принадлежит пучку плоскостей, образованному данными плоскостями и . Уравнение пучка плоскостей имеет вид: . Уравнение плоскости принадлежащей пучку можно записать в виде:

.

Плоскость касается сферы , поэтому расстояние от центра сферы О(0;0;0) до плоскости равно радиусу сферы.

Таким образом, имеем:

, т. е. , .

При уравнение плоскости ;

при уравнение плоскости .

Задача 7. Составить уравнение плоскости, делящей пополам тот двугранный угол между двумя плоскостями , , в котором лежит точка М(1;2;–3).

Решение.

Плоскости, делящие пополам двугранные углы между двумя плоскостями, представляют собой геометрическое место точек, равноудаленных от двух плоскостей. Поэтому, точка М(x;y;z) лежит на одной из биссекторных плоскостей двугранных углов, образованных данными плоскостями тогда и только тогда, когда расстояния d1 и d2 от этой точки М до данных плоскостей равны между собой: d1 = d2, т. е.

;

.

Подставляя координаты точки М в левые части уравнений данных плоскостей, получим

, . Значит, точка М лежит в тех полупространствах от данных плоскостей, для координат точек которых , . Искомая плоскость проходит, следовательно, в тех областях, для координат точек которых функции и имеют разные знаки. Значит, уравнение искомой биссекторной плоскости: , или . *

* Задача 8. В каждом из следующих случаев определить, лежат ли точки М(2;-1;1) и N(1;2;-3) в одном, в смежных или вертикальных двугранных углах, образованных при пересечении двух плоскостей:

а) , б) ,

; .

Решение.

а) Подставляя координаты точек М и N в левую часть уравнения первой плоскости, получим

,

.

Значит, точка М лежит в положительном полупространстве относительно первой плоскости, а точка N в отрицательном.

Подставляя координаты точек М и N в левую часть уравнения второй плоскости, получим

,

.

Значит, точки М и N лежат в положительном полупространстве относительно второй плоскости. Следовательно, точки М и N принадлежат смежным двугранным углам, образованным при пересечении плоскостей (на рис. точки М1 и N1).

.

Следовательно, точка М принадлежит положительному полупространству относительно плоскости , а точка N – отрицательному. Значит, точки М и N лежат в одном двугранном угле, образованном при пересечении плоскостей (на рис. точки М2 и N2).

V. Задачи для самостоятельного решения.

1.  Привести к нормальному виду уравнения плоскостей: а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .

2.  Для каждой из следующих плоскостей вычислить углы , и , образуемые нормалью с осями координат, и расстояние p от начала координат: а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .

3.  Вычислить расстояние d от точки Р(–1;1;–2) до плоскости, проходящей через три точки М1(1;–1;1), М2(–2;1;3) и М3(4;–5;–2).

4.  Найти расстояние от точки М(2;–1;–1) до плоскости .

5.  На оси Oz найти точку, расстояние которой от плоскости равно 2.

6.  На оси Oy найти точку, равноудаленную от точки А(0;2;1) и от плоскости .

7.  На оси Ox найти точку, равноудаленную от двух плоскостей: , .

8.  На оси Oz найти точку, равноудаленную от точки М(1;–2;0) и от плоскости .

9.  Две грани куба лежат на плоскостях , . Вычислить объем этого куба.

10. Составить уравнения плоскостей, параллельных плоскости и отстоящих от нее на расстоянии d = 5.

11. Составить уравнение множества точек, отстоящих от плоскости на расстоянии, равном 3.

12. Найти уравнение плоскости, касающейся сферы и параллельной плоскости .

13. У треугольной пирамиды SABC вершина S совпадает с началом координат, а боковые грани – с координатными плоскостями. Написать уравнение плоскости основания ABC, если SA:SB:SC = 1:3:2, а высота SH = 6, и вершины A, B и С имеют неотрицательные координаты.

14. В каждом из следующих случаев определить, лежат ли точка М(2;–1;3) и начало координат в одном, в смежных или вертикальных двугранных углах, образованных при пересечении двух плоскостей:

а) , б) ,

; .

15. Составить уравнение плоскости, которая делит пополам острый двугранный угол, образованный двумя плоскостями: , .

16. Составить уравнение плоскости, делящей пополам тот двугранный угол между двумя плоскостями , , в котором лежит начало координат.

17. Доказать, что плоскость пересекает отрезок, ограниченный точками М1(3;–2;1) и М2(–2;5;2), и не пересекает отрезок, ограниченный точками N1(1;4;–3) и N2(2;5;0).

Занятие № 8.

Тема: Способы задания прямой в пространстве.

I. Теоретические сведения.

Положение прямой в пространстве однозначно определяется, если даны:

1.  точка М0 и направляющий вектор прямой;

2.  две различные точки М1 и М2 прямой;

3.  две различные плоскости, пересекающиеся по этой прямой.

Основные виды уравнений прямой

1.  Уравнение прямой, заданной точкой М0 и направляющим вектором :

2.  Уравнения прямой, проходящей через две точки М1(x1,y1,z1) и M2(x2,y2,z2):

3.  Уравнения прямой, заданной двумя пересекающимися плоскостями – общие уравнения прямой:

Точку М0 находят так: задают произвольно значение z = z0 и из системы находят x = x0, y = y0. Направляющий вектор параллелен линии пересечения плоскостей и, следовательно, перпендикулярен векторам и - векторы нормали к плоскостям и . Поэтому в качестве можно взять вектор .

Следовательно, имеет следующие координаты:

и канонические уравнения прямой имеют вид:

.

II. Упражнения.

1.  При каком условии прямая, заданная каноническими уравнениями, пересекает ось Ox (Oy, Oz)?

2.  Докажите, что если параллелен прямой , то .

3.  Определяет ли система уравнений прямую в пространстве?

4.  Найти соотношения, которым должны удовлетворять коэффициенты уравнений прямой для того, чтобы прямая была параллельна: 1) оси Ox; 2) оси Oy; 3) оси Oz.

5.  Найти соотношения, которым должны удовлетворять коэффициенты уравнений прямой для того, чтобы эта прямая пересекала: 1) ось абсцисс; 2) ось ординат; 3) ось аппликат; 4) совпадала с осью абсцисс; 5) совпадала с осью ординат; 6) совпадала с осью аппликат.

III. Основные типовые задачи.

1.  Определение положения данной точки относительно прямой. Нахождение координат точек, принадлежащих прямой по заданному уравнению.

2.  Составление уравнения прямой по условиям, однозначно определяющим прямую.

3.  Нахождение параметров, определяющих прямую, по ее уравнению.

IV. Примеры решения задач.

Задача 1. Определить координаты нескольких точек, лежащих на прямых: а) ; б) ; в) . Какие из точек М1(–2;–9;7), М2(–3;0;4), М3(3;1;1) принадлежат этим прямым?

Решение.

а) Положим x = 1 и подставим это значение в уравнение прямой, получим y = 0, z = 4.

Точка М(1;0;4) принадлежит прямой.

Положим x = 3 и подставим это значение в уравнение прямой, получим y = 6, z = 2.

Точка N(3;6;2) принадлежит прямой.

б) Из первого уравнения выразим параметр : и подставим найденное выражение в оставшиеся уравнения: .

Положив x = 3, получим y = 0, z = 5.

Точка М(3;0;5) принадлежит прямой.

Если , то , , .

Точка N(7;6;5) принадлежит прямой.

в) Решим систему двух уравнений с тремя неизвестными. Из первого уравнения системы имеем x = 3.

Положив y = 2, получим z = 0.

Точка М(3;2;0) принадлежит прямой.

Положив y = –3, получим z = 5.

Точка N(3;–3;5) принадлежит прямой.

Проверим, какие из точек М1, М2, М3 принадлежат данным прямым. Подставим координаты точки М1 в уравнение прямой а): . Получим верное равенство, значит М1 принадлежит прямой а). Аналогично проверяем, что точка М3 принадлежит прямой в), а точка М2 не принадлежит ни одной из этих прямых.

Задача 2. Даны вершины треугольника А(2;3;–1), В(1;–2;0) и С(–3;2;2). Составить канонические уравнения медианы AP.

Решение.

Следовательно, P(–1;0;1). Так как медиана проходит через точки A и P, то подставив координаты этих точек в уравнения прямой, проходящей через две точки, получим:

или .

Задача 3. Через точку М0(2;–3;–4) провести прямую, параллельную прямой

Решение.

Найдем направляющий вектор данной прямой:

, т. е. .

Этот же вектор будет направляющим и для искомой прямой, т. к. она параллельна данной прямой, поэтому ее канонические уравнения запишутся в виде:

.

Параметрические уравнения этой прямой имеют вид:

Задача 4. Привести уравнения прямой к каноническому и параметрическому виду.

Решение.

Определим координаты какой-нибудь точки данной прямой. Пусть, например, z = 0, тогда

Отсюда x = 27, y = 15. Точка М(27;15;0) принадлежит данной прямой. Определим координаты направляющего вектора прямой , , .

или .

В качестве направляющего вектора прямой можно взять любой вектор коллинеарный , в частности .

Запишем канонические уравнения прямой:

.

Параметрические уравнения прямой:

Задача 5. Даны вершины треугольника A(1;–1;3), B(3;–4;9), C(–5;11;7). Найти канонические уравнения биссектрисы его внутреннего угла при вершине A.

Решение.

– орт вектора , . Найдем координаты и длины векторов и :

.

Найдем координаты векторов и :

, .

Тогда . В качестве направляющего вектора биссектрисы угла BAC можно взять любой вектор коллинеарный , в частности, вектор . Биссектриса AL треугольника ABC задана точкой A(1;–1;3) и направляющим вектором . Составим канонические уравнения прямой AL:

.

V. Задачи для самостоятельного решения.

1.  Найти точки пересечения прямой с координатными плоскостями.

2.  Какие из точек A(3;–1;–1), B(1;2;7), C(–5;14;–3) принадлежат прямой , , ?

3.  Определить координаты точки, лежащей на прямой и имеющей: а) абсциссу, равную 3; б) ординату, равную –1.

4.  Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку М1(2;0;–3) параллельно: а) вектору ; б) прямой ; в) оси Ox; г) оси Oy; д) оси Oz.

5.  Составить канонические уравнения прямой, проходящей через две данные точки: а) A1(1;–2;1), A2(3;1;–1); б) B1(3;–1;0), B2(1;0;–3); в) C1(0;–2;3), C2(3;–2;1).

6.  Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через точку М1(1;–1;–3) параллельно: а) вектору ; б) прямой ; в) прямой , , .

7.  Напишите параметрические уравнения прямой, проходящей через две данные точки: а) A1(3;–1;2), B1(2;1;1); б) A2(1;1;–2), B2(3;–1;0); в) A3(2;5;3), B3(3;–2;2).

8.  Напишите канонические и параметрические уравнения прямой: а) б) в)

9.  Напишите канонические уравнения прямой, проходящей через точку A(1;2;–3) параллельно прямой

10. В треугольной призме ABCA1B1C1 даны вершины: A(2;–1;–1), B(5;–1;2), C(3;0;–3), A1(6;0;–1). Напишите уравнения боковых ребер призмы.

11. Даны вершины треугольника A(2;–1;–3), B(5;2;–7) и C(–7;11;6). Составить канонические уравнения биссектрисы его внешнего угла при вершине A.

12. Даны вершины треугольника A(1;–2;-4), B(3;1;–3) и C(5;1;–7). Составить параметрические уравнения его высоты, опущенной из вершины B на противоположную сторону.

Указание: Направляющий вектор прямой BK (K – основание высоты) найти из условий: 1) , где ; 2) ортогонален .

13. Найти канонические уравнения прямой, проходящей через точку М0(2;1;–1) перпендикулярно плоскости .

14. Даны вершины треугольника A(3;6;–7), B(–5;2;3) и C(4;–7;–2). Составить канонические и параметрические уравнения его медианы, проведенной из вершины C и биссектрисы внутреннего угла при вершине B.

15. Составить уравнения прямой, образованной пересечением плоскости с плоскостью, проходящей через ось Ox и точку E(3;2;–5).

Занятие № 9.

Тема: Взаимное расположение двух прямых в пространстве.

I. Теоретические сведения.

Возможны следующие случаи взаимного расположения двух прямых в пространстве:

1.  Прямые и скрещиваются ()

2.  Прямые и пересекаются в точке A ()

3.  Прямые и параллельны ()

4.  Прямые и совпадают ().

Пусть прямые и относительно аффинной системы координат заданы каноническими уравнениями:

; .

3. векторы и – коллинеарны, но вектор им не коллинеарен.

4. все три вектора , и – коллинеарны.

Углом между прямыми в пространстве называется любой из углов между двумя параллельными им прямыми, проходящими через произвольную точку пространства.

Угол между прямыми и вычисляется по формуле:

.

Прямые и перпендикулярны тогда и только тогда, когда .

II. Упражнения.

1.  Вывести аналитические условия параллельности и перпендикулярности двух прямых, заданных общими уравнениями.

2.  Найти координаты точки пересечения прямых и , где : , : .