Тема: Линейные операции над векторами. Скалярное произведение векторов (стр. 3 )

3.  Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда смешанное произведение этих векторов равно нулю.

4.  Смешанное произведение не меняет значения при циклической перестановке векторов, и меняет знак при перестановке двух векторов.

; …

5.  Операция смешанного произведения векторов линейна по каждому аргументу.

а)

б)

6. 

II. Упражнения.

1.  Определить, какой является тройка векторов , , (правой или левой), если:

а) = , = , = ; б) = , = , = ; в) = + , = , = .

2.  Векторы , , , образующие правую тройку, взаимноперпендикулярны. Зная, что = 4, = 5, = 2, вычислить .

3.  Вектор перпендикулярен к векторам и , угол между и равен 300. Зная, что = 3, = 6, = 3, вычислить .

4.  Доказать, что смешанное произведение трех векторов, из которых два коллинеарны, равно нулю.

5.  Можно ли следующие тройки векторов принять за базисные векторы пространства:

а) ;

б) .

III. Примеры решения задач.

Задача 1. Вычислите смешанное произведение векторов , , : а) = 3 + + 2 – 5, = – , = 2 – 4; б) .

Решение.

а) = 3 + 2 – 5, следовательно, .

= – ; = 2 – 4 .

+= 12 – 10 + 8 = 10.

б)

+.

Задача 2. Установить, компланарны ли векторы , , , если:

а) ;

б) .

Решение.

Воспользуемся достаточным условием компланарности трех векторов:

а) . Векторы , , не компланарны.

б) . Векторы , , компланарны.

Задача 3. Доказать, что четыре точки А(1;2;–1), В(0;1;5), С(–1;2;1), Д(2;1;3) лежат в одной плоскости.

Решение:

Четыре точки А, В, С, Д лежат в одной плоскости тогда и только тогда, когда векторы , и – компланарны.

– 2 = 0. Векторы компланарны. Следовательно, точки А, В, С, Д лежат в одной плоскости.

Задача 4. Дан тетраэдр АВСД, в котором А(–1;1;1), В(0;5;–3), С(–1;4;–2).

Найдите координаты точки Д, если известно, что она лежит на оси Oz, а объем тетраэдра равен 7.

V =

Но объем тетраэдра равен 7, следовательно,

,

3z – 6 = 42 или 3z – 6 = – 42

3z = 48 3z = – 36

z = 16 z = – 12

Ответ: Д(0;0;16) или Д(0;0;–12).

Задача 5. Найти длину вектора ДН тетраэдра АВСД, вершины которого находятся в точках А(2;–4;5), В(–1;–3;4), С(5;5;–1), Д(1;–2;2).

Решение. Объем тетраэдра АВСД вычисляется по формуле , где Отсюда следует, что Вычислим объем тетраэдра, используя геометрический смысл смешанного произведения векторов: Vтетр =

 

Векторы имеют следующие координаты: .

+ ) = 81 + 6 – 6 – 9 + 9 – 36 = 45.

Следовательно, Vтетр = .

Вычислим теперь площадь основания тетраэдра, т. е. площадь треугольника АВС, используя геометрический смысл операции векторного произведения векторов:

Отсюда, ДН = .

Ответ: .

IV. Задачи для самостоятельной работы.

1.  Найти смешанное произведение векторов и определить ориентацию тройки векторов в каждом из следующих случаев: а) , , ; б) .

2.  Определить, какой является тройка (правой или левой), если:

1) ; 2) .

3.  Даны три некомпланарных вектора , , . Компланарны ли векторы , и ?

4.  Векторы некомпланарны. При каких значениях скаляра компланарны векторы , , ?

5.  Даны точки А(2;1;-1), В(3;0;2), С(5;1;1), Д(0;-1;3), являющиеся вершинами тетраэдра. Найти: 1) объем тетраэдра; 2) длину высоты тетраэдра, опущенной из вершины С.

6.  Пусть и - произвольные векторы. Проверить тождества:

а) ;

б) ;

в) .

7.  Объем тетраэдра V = 5, три его вершины находятся в точках А(2;1;–1), В(3;0;1), С(2;–1;3). Найти координаты четвертой вершины Д, если известно, что она лежит на оси Oy.

8.  Дан параллелепипед АВСДА'В'С'Д', построенный на векторах , и . Найти: а) объем параллелепипеда; б) площади граней; в) длину высоты, проведенной из вершины А' на грань АВСД; г) косинус угла между ребром АВ и диагональю В'Д; д) косинус угла между гранями АВСД и АД Д' А'.

9.  В треугольной призме АВС А'В'С' векторы , определяют основание, а вектор направлен по боковому ребру. Найти: а) объем призмы; б) площади граней; в) высоту; г) угол между ребрами В'С' и А А'.

10.  Дан тетраэдр, построенный на векторах , и . Найти: а) объем тетраэдра; б) площади граней; в) длину высоты h, проведенной из вершины Д; г) косинус угла между ребрами АВ и ВС; д) косинус угла между гранями АВС и АДС.

Занятие № 5.

Тема: Различные способы задания плоскости в пространстве.

I. Теоретические сведения.

Направляющими векторами плоскости называются два неколлинеарных вектора и , параллельных плоскости.

Любой ненулевой вектор, перпендикулярный плоскости, называется вектором нормали плоскости.

Основные виды уравнений плоскости

1.  Векторное уравнение плоскости, заданной точкой М0 и направляющими векторами и .

<> - параметры.

2.  Параметрические уравнения плоскости, заданной точкой М0(х0,у0,z0)R и направляющими векторами и

3.  Каноническое уравнение плоскости, заданной точкой М0(х0,у0,z0)R и направляющими векторами и

4.  Уравнение плоскости, заданной тремя точками, не лежащими на одной прямой М1(x1,y1,z1), M2(x2,y2,z2), M3(x3,y3,z3)R

5.  Уравнение плоскости, заданной двумя точками М1(x1;y1;z1), M2(x2;y2;z2) и параллельным плоскости вектором , где не параллелен .

6.  Уравнение плоскости «в отрезках».

7.  Уравнение плоскости в прямоугольной декартовой системе координат.

8.  Общее уравнение плоскости

, где

Геометрический смысл коэффициентов А, В, С в прямоугольной декартовой системе координат состоит в том, что перпендикулярен плоскости.

Теорема. Любая плоскость в пространстве имеет уравнение вида , где А, В, С – действительные числа, не равные нулю одновременно, т. е. . Справедливо и обратное утверждение: любое уравнение первой степени вида определяет плоскость в пространстве.

II. Упражнения.

1.  Найти необходимое и достаточное условия параллельности вектора плоскости, заданной уравнением .

2.  В аффинной системе координат дана плоскость . Определить: а) координаты нескольких векторов, параллельных данной плоскости; б) координаты нескольких векторов, параллельных одновременно данной плоскости и одной из координатных плоскостей.

3.  Исследовать положение плоскости, заданной общим уравнением относительно системы координат, если: а) один из коэффициентов А, В, С, Д равен нулю; б) два из коэффициентов А, В, С равны нулю и Д равно нулю.

4.  Укажите особенности в расположении относительно системы координат плоскости: а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .

5.  Определить, какие из точек М1(1;2;9), М2(2;0;4), М3(–3;1;4) лежат на плоскости .

6.  Определить координаты нескольких точек, лежащих в плоскости .

7.  Определить координаты точки, имеющей абсциссу, равную единице, и расположенной в плоскости Oxz и .

III. Примеры решения задач.

Задача 1. Написать уравнение плоскости, проходящей через: а) точку М(3;-1;-5) параллельно векторам и ; б) три точки М(1;1;1), К(2;0;-1), Р(3;4;5). Указать их расположение относительно системы координат.

Решение.

а) Воспользуемся каноническим уравнением плоскости и преобразуем его: ;

;

;

Получим уравнение плоскости:

.

Так как все коэффициенты в уравнении плоскости отличны от нуля, то плоскость пересекает все три оси координат и не проходит через начало.

б) Воспользуемся уравнением плоскости, проходящей через три точки:

.

Преобразуем его:

;

Получим уравнение плоскости:

Плоскость пересекает все три оси координат и не проходит через начало.

Задача 2. Напишите уравнение плоскости, проходящей через точку М(2;–1;4) перпендикулярно плоскостям , .

Решение.

Векторы нормалей и данных плоскостей параллельны искомой плоскости и не коллинеарны, так как их соответствующие координаты не пропорциональны. Воспользуемся уравнением плоскости, заданной точкой и направляющими векторами:

,

,

.

Уравнение искомой плоскости имеет вид: .

Задача 3. Составить уравнение плоскости, проходящей через середину отрезка с концами в точках М1(3;–1;2) и М2(4;–2;–1) перпендикулярно к нему.

Решение.

Середина отрезка, точка М имеет координаты:

, , , .

Вектор перпендикулярен плоскости по условию задачи, т. е. является вектором нормали плоскости. Воспользуемся уравнением плоскости в прямоугольно декартовой системе координат:

,

.

Уравнение искомой плоскости имеет вид: .

Задача 4. Составить уравнение плоскости, параллельной вектору и отсекающей на координатных осях Ox и Oy отрезки а = 3, b = –2.

Решение.

Воспользуемся уравнением плоскости «в отрезках»:

.

Преобразуем это уравнение:

.

Плоскость параллельна вектору , следовательно, используя необходимое и достаточное условия параллельности вектора плоскости, заданной общим уравнением, получим:

Тогда уравнение искомой плоскости имеет вид:

,

.

Задача 5. Составить уравнение касательной плоскости к сфере в точке М0(0;1;3).

Решение.

Точка М0(0;1;3) принадлежит сфере, т. к. ее координаты удовлетворяют уравнению сферы и она принадлежит касательной плоскости по условию задачи, следовательно, точка М0 является точкой касания сферы и плоскости. По свойству касательной плоскости к сфере имеем, что радиус, проведенный в точку касания перпендикулярен касательной плоскости, т. е. является вектором нормали к плоскости.

Центр сферы имеет координаты О(2;3;-1), тогда . Воспользуемся уравнением плоскости в прямоугольно декартовой системе координат:

,

.

Уравнение искомой плоскости имеет вид: .

IV. Задачи для самостоятельной работы.

1.  Напишите уравнение плоскости, проходящей через:

а) точку М(–3;2;–5) параллельно плоскости XOY;

б) точки М1(1;2;3) и Р(2;3;1) параллельно оси аппликат;

в) точку М(4;5;–5) и ось абсцисс;

г) начало координат параллельно векторам и .

2.  Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку М1(2;1;–1) и имеет нормальный вектор .

3.  Составить уравнение плоскости, проходящей через три точки: , и .

4.  Составить уравнение плоскости, которая проходит через начало координат перпендикулярно к двум плоскостям: , .

5.  Составить уравнение плоскости, которая проходит через две точки и перпендикулярно к плоскости .

6.  Плоскость проходит через точку М1(6;–10;1) и отсекает на оси абсцисс отрезок а = –3 и на оси аппликат отрезок с = 2. Составить для этой плоскости уравнение «в отрезках».

7.  Составить уравнение плоскости, отсекающей на оси Oz отрезок с = –5 и перпендикулярной к вектору .

8.  Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А(1;–1;2) и параллельной плоскости: а) ; б) ; в) , , .

9.  Три грани параллелепипеда лежат в плоскостях , , , а одна из его вершин А имеет координаты (–1;3;1). Составить уравнение остальных граней параллелепипеда.

10.  Точки А(1;0;3) и В(–1;2;1) являются вершинами тетраэдра АВСД, точка К(–1;5;2) – серединой ребра ВС, а точка М(0;1;4) – точкой пересечения медиан грани ВСД. Составить уравнения плоскостей, в которых лежат грани тетраэдра.

Занятие № 6.

Тема: Взаимное расположение плоскостей. Пучок плоскостей. Угол между плоскостями.

I. Теоретические сведения.

Возможны следующие случаи взаимного расположения двух плоскостей в пространстве:

1. Плоскости и пересекаются по прямой d ;

2. Плоскости и параллельны ;

3. Плоскости и совпадают .

Пусть относительно некоторой прямоугольно декартовой системы координат плоскости заданы общими уравнениями:

Пусть , , тогда справедливы следующие утверждения:

1. r = 2

2. r = 1, r' = 2

3. r = 1, r' = 1.

Пусть даны две пересекающиеся плоскости и :

;

.

Углом между плоскостями называется любой из двугранных углов, образованных этими плоскостями. Угол между пересекающимися плоскостями и вычисляется по формуле: