Электронная библиотека аучной литературы по гуманитарным дисциплинам www. *****\biblio (стр. 20 )

С понятиями необходимых и достаточных условий в ма­тематике связаны понятия прямой и обратной теорем. Формулируя теорему вида «Если А, то В», уста­навливают достаточность условия А для В. Установление же того, что имеет место и обратная теорема «Если В, то А» означает указание того, что А является и необходимым усло­вием для В (поскольку «Если В, то А» равносильно «Если не-А, то не-В»). Имея теорему вида «Для всякого объекта неко­торого класса (геометрических фигур, чисел и т. п.) верно, что если он обладает свойством А, то он обладает свойством В», ставят обычно вопрос, а верно ли обратное - «Если В, то А»? Если так, то мы имеем также и обратную теорему по от­ношению к первой. Подобные рассуждения относятся не только к математике. Теорема математики — это некоторый закон математики, аналогичные вопросы возникают по отно­шению к законам любой науки. Будучи выраженным либо в форме «Всякое S суть Р» (всякий предмет некоторого класса М, обладающий свойством S, обладает свойством Р) или в виде «Для всякого предмета класса М верно, что если он об­ладает свойством S, то он обладает свойством Р», он - при условии правильной формулировки закона - содержит ука­зание достаточного условия 5 для существования Р. И, ко­нечно, не лишен при этом познавательного значения вопрос: не верно ли и обратное? Естественно, само S может быть сложным свойством, хотя бы в том смысле, что оно является объединением множества свойств, и достаточным условием Р является именно совокупность свойств. Вспомним, напри­мер, закон классической механики: «Всякое тело (М), на ко­торое не действует никакая сила или равнодействующая всех сил равна нулю (5), находится в покое или движется равномерно и прямолинейно (Р)». Но полезно, конечно, знать, что верно обратное: «Всякое тело, которое находится в покое или движется равномерно и прямолинейно, есть

304

тело, на которое не действует никакая сила или равнодей­ствующая всех сил равна нулю». Таким образом, признак, состоящий в том, что на тело не действует никакая сила или равнодействующая всех сил равна нулю (S(x)), является до­статочным и необходимым для признака «тело покоится или движется равномерно и прямолинейно» [Р{х)).

Ш Упражнения

1.  Выясните, является ли достаточным и необходимым ус­ловием для указанного выше признака Р признак: «На тело не действуют никакие силы» (5t)? (Точнее Р{х) и Sx(x), пос­кольку знаковыми формами признаков, как помнит чита­тель, являются предикаты).

2.  Аналогичную задачу решите для признака «равнодей­ствующая всех сил, действующих на тело, равна нулю»

(ад)-

Заметим, что вообще для любых двух признаков S(x) и Р{х) (относящихся к некоторому классу предметов М - об­ласти значений переменной х) справедлива классификация:

1) Один из них является достаточным и необходимым ус­
ловием для другого или

2)  достаточным, но не необходимым, или

3)  недостаточным, но необходимым, или, наконец,

4)  недостаточным и не необходимым.

Выше уже приведены примеры признаков достаточных и необходимых; читатель, только что выполнивший упражне­ние, наверное установил, каковы отношения между Sx(x) и Р(х), а также между S2{x) и Р(х). Для некоторых подскажем, что Sx{x), как и S2(x), достаточен для Р{х), но не необходим.

Аналогично, незаконное хранение оружия достаточно для привлечения к уголовной ответственности, но, конечно, не является необходимым для этого. Но гласность, являясь не­обходимым условием демократии, не является в то же время достаточным, как и, например, повышение производитель­ности труда для повышения уровня благосостояния обще­ства. Между тем рост человека, его возраст и, конечно, пол не являются ни достаточными и ни необходимыми условия­ми для усвоения логики.

305

И, наконец, вспомним определение основного содержа­ния понятий. Его составляет совокупность признаков, каж­дый из которых необходим, а все вместе они достаточны для решения вопроса о том, относится ли какой-нибудь предмет к объему понятия, то есть к классу обобщаемых предметов.

Знание самих понятий, необходимых и достаточных усло­вий может быть весьма полезным для образования тех или иных понятий, для выяснения смыслов имен. При этом оно может избавить человека от хаотического и излишнего пере­числения признаков предметов, способствовать минимиза­ции тех данных, которые характеризуют тот или иной пред­мет или предметы некоторого вида. Именно требование ука­занной минимизации подразумевается обычно в обращении учителя к ученику или вообще к тому или иному человеку: «Выделяйте существенное», «Не нужно второстепенного, не идущего к делу» и т. п. Требования такого рода часто означа­ют: укажите достаточные и необходимые признаки предме­тов данного класса.

• Упражнения

1. К какому виду — с точки зрения необходимости и с точки зрения достаточности — принадлежат следующие условия:

а) делимость числа на 2 и на 3 для делимости его на 6;

б) активное участие общественности в борьбе с преступ­
ностью для ликвидации преступности;

в) мутации для естественного отбора;

г) круглая тень Земли на поверхность Луны для призна­
ния истинности утверждения о шарообразности Земли;

д) нагревание металлического стержня для его расшире­
ния;

е) наличие тренировок для установления рекордов;

ж) наличие дыма для огня;

з) знание предмета для получения отличной оценки по
нему на экзамене;

и) истинность одного члена дизъюнкции для истинности всей дизъюнкции;

к) истинность обоих членов дизъюнкции для истинности всей дизъюнкции;

306

л) ложность антецедента для истинности импликации; м) ложность обоих членов дизъюнкции для ложности всей дизъюнкции;

н) ложность консеквента для истинности импликации.

2. Пользуясь определениями необходимого и достаточно­
го условий, сформулируйте соответствующие суждения с
употреблением связки «если..., то...» (« з »):

а) А есть необходимое условие для В;

б) В есть необходимое условие для А;

в) А есть необходимое, но не достаточное условие для В;

г) В есть достаточное, но не необходимое условие для А;

д) А не достаточное и не необходимое условие для В;

е) неверно, что А достаточное и необходимое условие для
В;

ж) неверно, что А не достаточное условие для В или В не
необходимое условие для А.

3. Какие суждения относительно достаточности или необ­
ходимости условий можно сформулировать исходя из истин­
ности высказываний вида:

а) р => q;

б) —1 р=э -, д ;

в) -.ргэд;

г) -,д=>р;

д) (рлг) z> s;

е) ->S3(pvqr).

§ 32. Связь между простыми суждениями

со сложными субъектами и предикатами

и сложными суждениями. Преобразование

категорических суждений за счет

расширения субъектов

Собственно, мы уже рассматривали примеры простых сужде­ний со сложными субъектами или предикатами (возможно, конеч­но, и то и другое, то есть дизъюнкция здесь слабая). Это случаи, когда субъект или предикат суждения есть понятие, основное со­держание которого составляет сложный предикат (сложную выска-зывательную форму). Таковым является суждение о каждом теле, на которое не действуют никакие силы или равнодействующая всех сил равна нулю, — субъект суждения, и для которого верно,

307

что оно находится в покое или движется равномерно и прямоли­нейно, — предикат суждения. Другие примеры: «Всякое число, ко­торое оканчивается на 0 или на 5, делится на 5»; «Всякое число, которое делится на 6, делится на 2 и на 3»; «Для всякого числа вер­но, что если оно оканчивается на 5 или на 0, то оно делится на 5». Едва ли надо разъяснять, что в этих суждениях субъект или преди­кат являются сложными.

Возможно, стоит обратить внимание читателя лишь на послед­ний пример. Субъект здесь, очевидно, общее имя — «число», а предикат является сложным — импликативным: «Если оно (некото­рое число х) оканчивается на 5 или на 0, то оно (это же число х) делится на 5». Читатель может, безусловно, сам убедиться, что все эти суждения являются простыми, поскольку ни в каком из них нельзя выделить такую часть, не совпадающую со всем суждением, которая в свою очередь была бы суждением. Однако для некото­рых из этих суждений мы можем указать эквивалентные им слож­ные суждения. Так, суждение: «Всякое число, которое оканчивает­ся на 0 или на 5, делится на 5» эквивалентно конъюнкции двух суждений: «Всякое число, которое оканчивается на 0, делится на 5» и «Всякое число, которое оканчивается на 5, делится на 5». Простое суждение: «Всякое число, которое делится на 6, делится на 2 и на 3» так же эквивалентно конъюнкции двух суждений: «Всякое число, которое делится на 6, делится на 2» и «Всякое чис­ло, которое делится на 6, делится на 3». Имеющиеся здесь отноше­ния эквивалентности имеют общий характер, то есть справедливы для всех суждений, имеющих те же логические формы:

1. (Всякий предмет х из некоторой области D, имеющий свой­ство А или В, есть С (иначе, есть предмет х, обладающий свой­ством Q) = (Всякий предмет х из некоторой области D, который имеет свойство А, есть q и (Всякий предмет х из некоторой облас­ти D, который имеет свойство В, есть С).

2.  (Всякий предмет х из области D, обладающий свойством А, есть предмет х, обладающий свойствами В и О, = (Всякий предмет х из области D, обладающий свойством А, есть В) и (Всякий пред­мет х из области D, обладающий свойством А, есть С).

Аналогичным образом могут разлагаться на сложные суждения не только категорические, которые мы только что рассмотрели, но и суждения об отношениях.

Например, суждение вида V* {[А(х) v В(х}) z> Ъу [С(у) & Щх, у)))1. Впрочем, если учесть, что суждение об отношении может быть ис­толковано как атрибутивное, то этот случай сводится к первой из указанных эквивалентностей. Так, суждение об отношении «Для

1 Оно будет эквивалентным

Vx(A(x)z> ly(Qy) & Щх, у))) & V* (Щх) =>1у(С{у) & Щх, у))).

308

всякого предмета х, который обладает свойствами А или В, суще­ствует предмет у, обладающий свойством С, такой, что для них верно Rfx, у)», мы сводим к атрибутивному со сложным объектом: «Всякий предмет х, обладающий свойством А или В, есть предмет такой, что существует предмет у, обладающий свойством С, к кото­рому х находится в отношении R». Теперь оно разлагается как ка­тегорическое суждение со сложным дизъюнктивным субъектом (см. эквивалентность № 1).

• Упражнения

1. Покажите, как можно разложить на сложные суждения при­веденное выше простое суждение о теле, на которое не действуют никакие силы или равнодействующая всех сил равна нулю, и об­ратное ему.

2.  Осуществите операцию разложения на сложные в отноше­нии простого суждения: «Всякое слово, которое является суще­ствительным или прилагательным, изменяется по падежам и ли­цам».

По существу, как мы видим, разложению на сложные поддают­ся общие категорические суждения с дизъюнктивными субъекта­ми или конъюнктивными предикатами («или» здесь — слабая дизъюнкция). Но не может быть разложено на сложное простое суждение вида V* (А{х) & В(х)) есть С{х)), например, «Всякое число, делящееся на 2 и на 3, делится на 6».

Суждение вида «Некоторые А или В суть С» эквивалентно дизъюнктивному сложному суждению: «Некоторые А суть С или Некоторые В суть С». Суждение же вида «Некоторые А суть В или С» эквивалентно: «Некоторые А суть В или Некоторые А суть С». Эти эквивалентности справедливы и для соответствующих отрица­тельных суждений, то есть частные суждения разлагаются на сложные лишь в случаях сложных дизъюнктивных субъектов или предикатов.

Далее, полезно иметь в виду следующие эквивалентности для категорических суждений (субъекты и предикаты которых есть по­нятия и при этом субъекты их не являются пустыми понятиями). Суждение вида «Всякий предмет х из области D, обладающий свойством S, суть предмет из этой же области, обладающий свой­ством Р» эквивалентно: «Всякий предмет D таков, что если он обла­дает свойством 5, то он обладает также и свойством Р». Эта экви­валентность используется при переводах категорических суждений вида «Все 5 суть Р» на язык логики предикатов (ЯЛП), в котором оно получает форму выражения: Vjc (S(x) пР(х)). Но при таком пе­реводе мы подразумеваем некоторую область возможных значе-

309

ний х — D, которая, естественно, должна подразумеваться и в ис­ходном — переводимом — суждении. Суждение, получаемое при переводе, также категорическое, с субъектом — D и импликатив-ным предикатомЯ*уЬ Р(х).

Общеотрицательное суждение «Ни один предмет из области D, обладающий свойством 5, не есть предмет из D, обладающий Р» эквивалентно «Для всякого предмета D верно, что если он облада­ет свойством S, то он не обладает свойством Р». Соответственно этому суждение «Ни одно 5 не суть Р» на ЯЛП выражается: Vx(S{x) ■=> -.Р(х)), при условии опять-таки, что область значений х D подразумевается в формулировке исходного суждения.

Для частных суждений имеем: «Некоторые предметы из облас­ти D, обладающие свойством S, суть предметы, обладающие свой­ством Р» эквивалентно «Некоторые предметы из области D таковы, что они обладают свойством S и Р».

«Некоторые предметы из области Д обладающие свойством S, не суть предметы, обладающие свойством Р» эквивалентно «Неко­торые предметы D таковы, что они обладают свойством 5 и не об­ладают свойством Р».

На основе этих эквивалентностей совершаются следующие пе­реводы частных суждений на ЯЛП:

Некоторые 5 суть Р г Эх {S(x) & Р(х)).

Некоторые S не суть Р = lx(S(x) & -,Р(х)), при этом - как и для общих суждений — область значений х должна подразумеваться в исходных суждениях.

• Таким образом, при указанных преобразованиях категориче­ские суждения остаются категорическими, но с более широки­ми субъектами (область D) и при этом предикаты общих суж­дений преобразуются в импликативные, а частных — в конъ­юнктивные.

Однако такие преобразования, как уже было замечено, право­мерны лишь при определенном условии, а именно: в том случае, когда понятие, играющее роль субъекта исходного категорическо­го суждения, не является пустым, то есть имеет какое-то предметное значение. В противном случае не получается приведен­ных эквивалентностей. Например, суждение «Всякий человек, ко­торый не нуждается в пище, может жить не работая» (в стандарт­ной форме: «Всякий человек, который не нуждается в пище, суть человек (лицо), который может жить, не работая») при указанном преобразовании приобретает форму: «Для всякого человека верно, что если он не нуждается в пище, то он может жить, не работая». Последнее суждение является, очевидно, истинным (тем более при понимании «если..., то...» как материальной импликации; в этом случае оно истинно в силу ложности, невыполнимости антецеден-

310

та, то есть высказывательной формы «человек, не нуждающийся в пище», для любого человека). Исходное же суждение скорее всего нельзя признать истинным или ложным. «Истинность» и «лож­ность» есть соответствие или несоответствие нашей мысли дей­ствительности, а в действительности нет таких предметов, к кото­рым относится утверждение.

В логике, правда, есть различные точки зрения относительно истинностных оценок высказываний с пустыми субъектами. Одна из них, которая приписывается Аристотелю, такова: утвердитель­ные суждения с пустыми субъектами ложны, а отрицательные — истинны независимо от их содержаний. Согласий другой, все об­щие суждения с пустыми субъектами истинны, а частные ложны, опять-таки независимо от их содержаний. Но обе эти, как и дру­гие, концепции представляют собой, по существу, произвольные соглашения и в каких-то случаях оказываются явно несостоятель­ными.

Например, вечный двигатель, по определению, есть двигатель, который работает без затраты энергии. Но, согласно первой кон­цепции, суждение «Все вечные двигатели работают без затраты энергии» — ложно, хотя согласно второй, — оно истинно! Скорее всего такие суждения (с пустыми субъектами) следует считать не­осмысленными, лишенными реального содержания, а в практике научного познания едва ли кто-нибудь будет высказывать такие суждения. Может, правда, оказаться, что мы не знаем, является ли некоторое понятие (и соответствующее общее имя) пустым или не­пустым. В физике, например, встречается такое понятие как «анти­атом» (атом, устроенный «наоборот» по сравнению с обычным — с отрицательно заряженным ядром и вращающимися вокруг него положительно заряженными частицами, позитронами, вместо элек­тронов). Но не зная, есть ли такие частицы, ни один ученый не скажет, например, что всякий антиатом при ионизации — при по­тере внешних позитронов — становится отрицательно заряженной частицей. Для выражения той мысли, которая фактически здесь имеется в виду, есть адекватная форма выражения, а именно: фор­ма выражения категорического суждения с импликативным преди­катом: «Для всякой частицы верно, что если она является антиато­мом, то при ионизации она становится отрицательно заряженной».

Надо, конечно, заметить, что в науке для определенных целей, например, для обеспечения определенных обобщений, исключения мнимых оговорок употребляются суждения по-видимому и с пус­тыми субъектами. Так, в проективной геометрии вводятся понятия «бесконечно удаленной точки», «бесконечно удаленной прямой» и т. п. Многие имена, не обеспечивающие никаких реальных пред­метов, играют определенную инструментальную роль в науке. Та­ковы: системы координат, небесные и земные полюса, оси враще-

311

ния и т. д. (см. § 12). Осмысленность суждений, относящихся к во­ображаемым объектом указанных типов, обусловлена тем, что они вводятся в определенной системе знаний и исходя из этой систе­мы определяются условиями их истинности или ложности. А, соот­ветственно, истинность или ложность во многих таких случаях не представляет собой соответствие или несоответствие действитель­ности. Это — так называемые «истины по соглашению». Но сами соглашения, конечно, так или иначе научно обоснованы. Строго говоря, термины указанных типов, включенные в определенные системы знания, неправомерно уже считать пустыми, поскольку имеются определенные условия истинности или ложности утверж­дений, включающих такие термины.

Упражнения

1. Для каждого из следующих простых суждений укажите
сложное, эквивалентное ему:

а) всякое число, оканчивающееся на 0, делится на 6 и на 2;

б) некоторые числа, которые делятся на 2 или на 3, делятся на 5;

в) некоторые люди, не выполняющие своих обещаний, являют­
ся безвольными или непорядочными.

2. Укажите, как можно преобразовать следующие категориче­
ские суждения путем расширения их субъектов:

а) ни одно сражение, которое дал Суворов, не было проиграно;

б) многие реки текут с юга на север;

в) все имена прилагательные изменяются по падежам;

г) имелись подозреваемые, не проходившие по дактилоскопи­
ческим учетам.

§ 33. Суждения ассерторические и модальные

В суждениях, как мы говорили, утверждается наличие или отсутствие той или иной ситуации. Однако некоторая мыслимая ситуация в действительности не просто наличе­ствует или отсутствует, но существует случайно или необхо­димо и точно также отсутствует возможно или необходимо, то есть не является возможной. В другом плане, особенно, когда речь идет о ситуациях будущего, они характеризуются как возможные или необходимые, или как возможные или невозможные. Некоторые действия, поступки людей в об­ществе разрешены, другие даже обязательны или запреще-

312

ны. А наши знания, суждения, например, могут быть доказа­ны или не доказаны, достоверны или проблематичны и т. д. и т. п.

В а с с е р т о р и ч е с к и х с у ж д е н и я х мы отвлека­емся от подобных характеристик рассматриваемых ситуа­ций, здесь речь идет только о наличии или отсутствии чего-либо, то есть фиксируется лишь фактическое положение дел. Суждения, в которых имеются указанные и подобные им характеристики явлений, событий, процессов и т. д. (си­туаций вообще) называются м о д а л ь н ы м и. Примерами ассерторических являются все суждения, которые рассмат­ривались до сих пор (кроме приведенного закона механики). Модальными, например, являются все суждения, выражаю­щие законы науки. Утверждая наличие каких-то связей в суждениях этого типа, мы утверждаем необходимый харак­тер этих связей, хотя в некоторых случаях эта характеристи­ка не выражается явно (как в упомянутом законе механики), но в любом таком случае, по крайней мере, подразумевается. Приведем еще примеры модальных суждений: «Ни один че­ловек не может жить без пищи», «Некоторые люди не могут лгать», «Каждый гражданин обязан соблюдать законы», «Возможно, что существуют неземные цивилизации», «Обыск производится в присутствии понятых», «Споры о подследственности между властными участниками процесса не допускаются», «Иногда неудовлетворительные оценки (как, впрочем, и отличные) студенты получают на экзаменах случайно».

Типы и виды модальности

При различении модальностей мы выделяем типы, а внутри каждого типа — виды модальностей. Среди из­вестных модальностей особо выделяются следующие типы.

Алетические модальности. К ним относятся такие харак­теристики — виды модальностей — как «необходимо», «воз­можно», «невозможно», «случайно». Впрочем, «невозможно» скорее надо охарактеризовать не как особый вид модально­сти, а просто как отсутствие (а в суждении — отрицание) возможности.

313

Деонтические модальности. Это характеристики дей­ствий, поступков людей в обществе. К ним относятся виды: «обязательно», «разрешено», «запрещено», «безразлично» (аналог алетической модальности «случайно»).

Эпистемические модальности. Это характеристики на­ших знаний. Среди них выделяются виды: «доказано», «оп­ровергнуто», «возможно» (возможно допустить, что истинно некоторое высказывание), «не доказано и не опровергнуто» (для этого вида нет специального названия — это аналог «случайно» среди алетических модальностей). По другим ос­нованиям выделяют такие виды: «знает», «верит», «убеж­ден», «сомневается».

Характеристики некоторых приведенных видов модаль­ностей различных типов могут быть уточнены путем указа­ния взаимосвязи между ними. Для этого используем формы модальных высказываний. Пусть А — какое-то ассертори­ческое (не модальное) высказывание. Тогда «необходимо А» (указание на необходимость ситуации, утверждаемой в А) можно обозначать как НА (иногда применяют обозначение ПА). Возможность ситуации А выражается в виде МА (или ОА), случайность можно обозначить как SA (или АА). Между высказываниями этих видов, а тем самым и характеристика­ми событий, имеют место соотношения:

1.  НА = -,М -1 А, а тем самым и -,НА = М -, А.

2.  SA = МА& М - iА, учитывая предыдущее, имеем также

3.  НАзМА.

4.  НАзА.

5.  А => МА (ассерторичность — отсутствие модальной ха­рактеристики — иногда рассматривают как особый вид мо­дальности) .

Для высказываний с деонтическими модальностями при­няты обозначения: «обязательно А» — ОА (обязательно делать так, чтобы истинно было А), «разрешено А» — РА (разрешено делать так, чтобы истинно было А), «запрещено А» — ЗА (запрещено делать так, чтобы было истинно А, то есть чтобы была ситуация А). «Запрещено А» здесь — аналогично алети­ческой модальности «невозможно А», но если последняя по своему выражению означает просто отрицание возможности, то запрещение выступает как самостоятельная модальность. «Разрешено» естественно понимать не как наличие какого-то

314

предписания, а как отсутствие запрещения. Это означает, что имеет место эквивалентность:

1.-,ЗА=РА

Эта эквивалентность выражает принцип демократическо­го общества: «Разрешено все, что не запрещено». С учетом указанного понимания «разрешено» и «запрещено» между деонтическими модальностями могут быть установлены не­которые эквивалентности, идентичные приведенным выше для алетических модальностей:

2.

3.

4.  ЗА = О -, А

5. ОА=З^А.

Очевидно, не имеют места ОАзАи неверно, что Аз РА Если «безразлично А» обозначить как БА, то

ЪА = -. ОА & -, О -. А.

Для эпистемических модальностей, если обозначить «до­казано А» как ДА, «опровергнуто А» как ОпА», «возможно А» как ВА, «не доказано и не опровергнуто А» как СА, то имеем соотношения:

ДА= ^В^А.

-пДА= В-.А.

Д-А = ОпА

СА^ДА&^ОпА

ОпА з -, А

Для других видов эпистемических модальностей выделим одно определенное и важное соотношение:

КАзА, где «КА» — означает: «Некто знает, что имеет место ситуация А».

Для уяснения смысла алетических модальностей важно иметь в виду, что среди них в свою очередь различают фи­зические (в широком смысле слова), или, что то же, фактические, онтологические модальности и модальности логического характера.

Физическая необходимость выражается в вы­сказывании А, представляющем собой закон конкретной нау­ки (физики, биологии, социологии и т. п.). Если В логически следует из физического закона А, то ситуация, которую оно представляет, также является всегда необходимой. И в силу этого истинно высказывание «фактически необходимо 5»

315

(НФБ). Например, согласно первому закону Кеплера, необхо­димо, что всякая планета Солнечной системы двигалась во­круг Солнца по эллипсу, в одном из фокусов которого нахо­дится Солнце. Но это же необходимо и для Земли и для Мар­са и т. д.

Ф и з и ч е с к у ю н е в о з м о ж н о с т ь выражает вы­сказывание, являющееся отрицанием какого-либо следствия из физического закона, включая, конечно, и отрицание са­мого этого закона науки, или эквивалентное такому отрица­нию. Отсюда ясно, что высказывание выражает физическую возможность, если оно не является эквивалентным отрица­нию какого-либо закона науки (а тем самым не является эк­вивалентным отрицанию какого-либо следствия закона нау­ки, ибо отрицание следствия закона означает также и отри­цание самого закона).

Высказывание А выражает ф и з и ч е с к у ю с л у ч а й - ность, согласно введенному ранее определению, если фи­зически возможно А и физически возможно не-А.

Логические модальности зависят от логических форм вы­сказываний, то есть не зависят от значений дескриптивных терминов, входящих в него. О модальных высказываниях этого типа — применительно к высказываниям, выразимым в ЯЛВ и ЯЛП, — речь уже шла в разделах «Логика высказы­ваний» и «Логика предикатов» (§ 10 и § 11). Для определения того, к какому виду логической модальности относится вы­сказывание естественного языка, необходимо уметь выявить его логическую форму. Для этого необходимо выявить все его смысловые части — употребляемые в нем имена предме­тов, предикаторы, предметные функторы и логические кон­станты, — которые могут быть не выражены явно. Для осу­ществления этой операции наиболее естественно перевести данное высказывание на язык логики высказываний или на язык логики предикатов.

Л о г и ч е с к и н е о б х о д и м ы м (выражающим логи­ческую необходимость) является высказывание, истинное именно в силу своей логической формы. Это значит, что если в нем все дескриптивные термины заменить перемен­ными соответствующих категорий (а тем самым отвлечься от значений имеющихся в высказывании дескриптивных тер­минов), то полученное выражение превращается в истинное при любых значениях дескриптивных переменных, то есть

316

переменных, вводимых для дескриптивных терминов. На­пример, высказывание «латунь есть металл или латунь не яв­ляется металлом» является логически необходимым, так как его логическая форма {Р{а) v-,P{a)) представляет собой уни­версально-общезначимое выражение. Напомним, что уни­версально-общезначимое выражение (соответственно-тожде­ственно-истинное для ЯЛВ) — это законы логики и, значит, логически необходимыми являются такие высказывания, ло­гические формы которых суть логические законы.

Логически невозможное высказывание представляет со­бой отрицание некоторого логически необходимого выска­зывания или эквивалентное таковому. Логически невозмож­ным является, например, «латунь есть металл и неверно, что латунь есть металл» (Р{а) & ^Р{а)). И вообще, любое выска­зывание вида А & -1А («А и неверно, что А», где А, в свою очередь, любое высказывание) является, конечно, логически невозможным. Такие высказывания иначе называют логиче­ски противоречивыми.

Логически возможные высказывания те, что не противоречат закону логики, то есть не являются отрица­нием какого-либо логически необходимого или эквивалент­ным таковому.

Логически случайные - такие, которые не яв­ляются логически необходимыми и не являются отрицания­ми логически необходимых высказываний. Для всех видов логических модальностей также имеют место все приведен­ные эквивалентности и другие соотношения алетических мо­дальностей. Если обозначить логическую необходимость вы­сказываний А как Н^, логическую возможность — М^, а логическую случайность как С^А, тогда имеем:

АidMjjA и т. д.

При рассмотрении отношений между высказываниями различных модальностей мы прибегали к операции отрица­ния высказываний. Она имеет важное значение в процессе познания. С этой операцией связан особый (наряду с уже известными нам отношениями логического следования и эк­вивалентности) вид отношений между суждениями - отно­шение противоречия. Таким образом, мы подходим к тому,

317

чтобы, рассматривая указанную операцию с суждениями, обратиться к вопросу о том, какие существуют вообще виды отношений между суждениями.

• Упражнения

1. Определите тип и вид модальности в следующих вы­
сказываниях:

а) всякий владелец вещи может продать ее;

б) хищение собственности противоправно;

в) всякое преступление наказуемо;

г) невозможно построить вечный двигатель;

д) доказана необратимость времени;

е) на Марсе возможна жизнь;

ж) возможно, что человек может прыгнуть выше своего
роста.

2. Используя приведенные выше эквивалентности, выра­
жающие связи между модальностями различных видов неко­
торого типа, выразите данные в следующих суждениях мо­
дальности через какие-нибудь другие, однотипные с ними:

а) обыск может быть произведен только в присутствии
понятых;

б) разрешен проезд при зеленом свете светофора;

в) физическое тело, лишенное опоры, необходимо падает
на землю;

г) нельзя курить в общественных местах.

§ 34. Отрицание суждений. Виды отношений между суждениями

Попросту говоря, операция отрицания некоторого сужде­ния А состоит в том, чтобы сказать: «Неверно, что А» (-, А). Однако обычно нас такой результат не удовлетворяет, и за­дача состоит не просто во внешнем отрицании, а в том, что­бы найти некоторые эквиваленты этого отрицания, в кото­рых отрицание каким-то образом «пронесено» до некоторых частей этого суждения. Предположим, что в ходе расследо­вания некто утверждает: «Неверно, что все члены преступ­ной группы являются рецидивистами». Что же является вер-

318

ным и при этом эквивалентным исходному утверждению? Что ни один член преступной группы не является рециди­вистом, или некоторые не являются рецидивистами, или не­которые являются? Подскажем, что исходное отрицательное высказывание эквивалентно — «Некоторые члены преступ­ной группы не являются рецидивистами». Впрочем, читатель, наверно, и сам это определил. Предлагаем ему тогда решить аналогичный вопрос для суждения: «Неверно, что каждый любит кого-нибудь и ни один не любит всех». Если и это ему кажется весьма простым, тогда предлагаем еще одно. Поло­жим, кто-то утверждает: «Поскольку в группе имеются не­удовлетворительные результаты сдачи экзамена по логике, то либо по этому предмету плохо были прочитаны лекции, либо не была должным образом организована самостоятель­ная работа студентов». Другой заявляет, что это неверно. Что же с точки зрения последнего должно быть верным?

Решению подобных вопросов может существенно помо­гать знание так называемых правил образования противоположностей, точнее, контрадикторных противоположностей, или, что то же, противоречащих суж­дений.

Высказывания А и В находятся в отношении противоре­чия, если одно из них эквивалентно отрицанию другого (-1А = В или, что то же, А= -,В).

Таким образом, -, А является противоречащим высказы­ванию А. В этом же отношении к нему находится любое вы­сказывание В, эквивалентное -i А. Ясно, что противоречащие (контрадикторно противоположные) суждения не могут быть одновременно оба истинными и не могут быть также оба ложными. Отсюда очевидно, что если исходное высказыва­ние истинно, то противоречащее ему будет ложно и наобо­рот.

Для каждого высказывания А имеется неограниченное множество противоречащих ему высказываний, то есть эк­вивалентных ->А По упомянутым правилам «пронесения от­рицания» мы получаем такие высказывания, эквивалент­ные -I А, которые образуются посредством пронесения внешнего отрицания пА в структуру самого высказывания А в сочетании с определенными преобразованиями структуры этого высказывания. Для применения указанных правил к некоторому высказыванию -, А необходимо выявление логи-

319

ческой формы высказывания А. Наиболее эффективный способ выполнения этой операции состоит в переводе дан­ного высказывания на ЯЛВ или ЯЛП. Для всех высказыва­ний, кроме категорических, такие переводы не представляют собой существенной перестройки их структур. Что касается категорических суждений, то мы уже говорили, что их зна­ковые формы являются специфическими для естественного языка, поэтому, формулируя правила пронесения отрицания, мы особо выделяем эти суждения, имея в виду при этом, что они представляются в стандартных формах. Для остальных высказываний эти правила уже сформулированы в §§ 10, 11 (см. «Законы образования контрадикторной противополож­ности»). Для удобства пользования напомним их еще раз:

1.  -,(А&В) = (-,Av-,B).

2.  -,(AvB)= (-.А&-.Я).

3.  - л (А => В) = (А & -1 В).

4.  -, -, А = А.

6. - iV-rA(jc) = 3x-iA(x), где « = » — знак эквивалентности, то есть А = В «(Аз В) & {ВоА).