Электронная библиотека аучной литературы по гуманитарным дисциплинам www. *****\biblio (стр. 7 )

Конъюнкция, например, есть следующая функция

А	В	А&В
И	И	И
И		Л
А		Л
А	л	Л

В столбцах А и В указаны возможные распределения ис­тинностных значений А и В (А и В есть составляющие слож­ного высказывания А&В). Каждое распределение истинно­стных значений употребляемых переменных составляет от­дельную строчку входной части таблицы. В соответствую­щих строчках столбца для А & В указано значение нашего сложного высказывания в зависимости от значений состав­ляющих А и В. В соответствии с данной выше интерпрета­цией конъюнкции мы получаем здесь, что образованное по­средством этой связки сложное высказывание истинно лишь

101

в случае, когда истинны оба составляющие его высказыва­ния. По такому же принципу и в соответствии с интерпрета­цией определяются и другие связки:

А	в	AvB	А	в	Ar> £	А	-пА	В	-,В
И 1	и	И	И	и	И	И	А	И	А
И		И	И	А	Л	Л	И	А	И
л	и	И	Л	И
л	л	Л	Л	л	и

Для решения сформулированной выше задачи необходи­мо записать данные нам высказывания на языке логики вы­сказываний. При этом для обозначения простых (не содер­жащих логических связок) высказываний употребляют про­позициональные переменные. Например, обозначим через р высказывание «на данное тело действуют какие-то силы». к-,р» тогда означает «на данное тело не действуют никакие силы»; «q» •- «равнодействующая всех сил, действующих на тело, равно нулю»; «г» — «данное тело движется равномер­но». Тогда первая посылка будет выглядеть так «(-.pv q) r> г», вторая — «-.г», а заключение — «-пф>. Все рассуждение представится в виде: (-, р v q) z>r,-,r N ->q. Отвлечемся теперь от конкретных содержаний этих высказываний и соответ­ствующих им инстинностных значений q, p, г; превратим по­следние в пропозициональные переменные и все высказыва­ния в логические формы, которые нам собственно только и надо учитывать при решении вопроса о правильности рас­суждения. Согласно понятию следования мы должны устано­вить, во всех ли строчках таблицы, где истинны обе посыл­ки, истинным является также и заключение.

Построение таблицы начинается с перебора всех распре­
делений истинностных значений И, А пропозициональных
переменных, имеющихся в посылка и заключении вывода. В
данном случае р, q, т. Это — входная часть таблицы. Далее
для каждого распределения, то есть для каждой строчки
входной части таблицы, вычисляются значения всех слож­
ных (содержащих логические связки) подформул данных
формул (в нашем примере - это подформулы первой по­
сылки----- ,р, (-,pvg). Далее, в зависимости от значений по­
следних, а в конечном счете от значений пропозициональ­
ных переменных в каждой строчке, определяются значения
самих посылок и заключения вывода.

102

Ради сокращения процедуры вместо того, чтобы выписы­вать отдельно сложные подформулы посылок и заключения, можно, и мы сделаем это, подписывать ее значения под зна­ком последней операции в ее построении (главный знак под­формулы). Приводим соответствующую таблицу. Указанные принципы ее построения легче уяснить, имея ее налицо:

р	я	г	Ьр	vq)	z>r	1 г	1 <7
и	и	и	А	И	И	А	А
		А	А	И	Л	И	А
и	л	иА	Л Л	Л Л	И И	Л И	И И
		И	И	И	И	Л	Л
		Л	И	И	Л		А
л	л	И	И	И	И	л	И
л	л	л	и	и	л	и	И

Как видим, интересующее нас следование имеет место. Обе посылки истинны только в четвертой строчке, но в ней истинно и заключение.

ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ ПОСТРОЕНИЯ ИСТИННОСТНЫХ ТАБЛИЦ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ИСТИННОСТНЫХ ЗНАЧЕНИЙ ФОРМУЛ

Прежде всего при построении истинностных таблиц надо определить число возможных распределений значений для данного перечня переменных, то есть число строк в таблице. Естественно, оно зависит от числа переменных. При п пере­менных имеем 2П строк. Для нашего случая п равно 3, значит количество строк в таблице = 2x2x2 = 8. Полезно также принять и определенный принцип перебора возмож­ных распределений истинностных значений переменных. Например, как это сделано в приведенной таблице, для по­следней переменной во взятом перечне (в нашем случае - г) чередование значений И и Л в соответствующем ей столбце идет через одну строку, для предпоследней — через 2 стро­ки, далее — через 4, 8 и т. д. строк.

Это словарно-лексический способ построения входной части таблицы. Суть его в том, что при понимании последо-

103

вательностей истинностных значений в строках как слов (в нашем случае И И И, И И Л и т. д.) в двухбуквенном алфа­вите И и Л, они (эти слова) оказываются расположенными по алфавиту (так как они должны бы быть расположенными в словаре).

Для решения интересующего нас вопроса, следует ли за­ключение из посылок, надо в соответствии с определением логического следования установить, имеются ли такие строки (распределения значений), в которых все посылки истинны, а заключение ложно. При отсутствии таковых ответ положите­лен. При наличии указанных строк отношения логического следования нет (а значит, и рассуждение неправильно).

ство формул А,, А,

Учитывая упомянутую ранее связь между отношением логического следования Г t= В, когда Г есть конечное множе-

Am(m£l, и законом логики

(A, d(A2d...d(A эВ}}...) можно решить очевидно тот же вопрос о наличии следования, составив указанную имплика­цию. В нашем примере — ({-ipv q) зг)э(-1гз -nq) и устано­вить, является ли она тождественно истинной формулой, то есть истинной во всех строках таблицы. Вместо указан­ной импликации всегда можно взять равносильную ей ((Aj&A2& ... & Ат) з В) (в последнем случае мы опускаем скобки в записи (Aj&A2& ...&Am), которые могут быть рас­ставлены любым образом с учетом того, что & является би­нарной связкой). В нашем случае это (((-.р v g) & -,/) з -,g).

Таким образом, другой тип задач, который решается по­средством таблиц, — это выяснение того, является ли неко­торая формула законом логики, то есть тожественная истин­ной; выяснение того, какие она принимает значения в зави­симости от своих составляющих, что означает выяснение ус­ловий истинности и ложности некоторого данного высказы­вания в зависимости от распределения истинностных значе­ний пропозициональных переменных в его логической фор­ме. Возможно также решение задач о совместимости или не­совместимости каких-то высказываний, их равносильности или неравносильности, которые будут рассмотрены в связи с классификацией видов отношений между высказываниями (см. гл. VIII, § 34). Здесь приведем решение вопроса о том, является ли та или иная формула законом логики высказы­ваний. Возьмем, например, (р & q) з -. Ь p v - q). Является ли формула истинной при всех распределениях значений имею­щихся в ней переменных? Следующая таблица (которую мы

104

строим без указанных в предыдущем примере упрощений) показывает, что указанная формула действительно является законом логики, поскольку истинна при любом распределе­нии истинных значений ее пропозициональных перменных.

р	Я	(p&q)	-,p		—iр V —i q	-i (-.РV -, q)	(р&д)з ГЭ-i (-,pVnq)
и	И	И	Л	А	А	И	И
иА	Л	Л	Л	И	И	Л	И
И	Л	И	Л	И	Л	И
А	Л	Л	И	И	И	л	И

• Упражнения