Электротехника и электроника (стр. 2 )

,

где – напряжение на зажимах k-й ветви;

n – число ветвей, образующих контур.

Чтобы записать уравнение по 2-му закону Кирхгофа, необходимо задаться направлением обхода контура. Если направление обхода контура и направление данного напряжения совпадают, то напряжение записывают со знаком «плюс». Если не совпадают – со знаком «минус».

Для цепей постоянного тока 2-й закон Кирхгофа записывается в следующем виде

,

где – постоянное напряжение на i-й ветви, входящей в данный контур;

n – число ветвей, входящих в данный контур.

Для цепей гармонического тока 2-й закон Кирхгофа можно записать для комплексов напряжений

,

где – комплекс гармонического напряжения на i-й ветви, входящей в данный контур;

n – число ветвей, входящих в данный контур.

В качестве примера приведены 2 уравнения, записанные по законам Кирхгофа для цепи постоянного тока, схема которой приведена на рис. 20. Одно уравнение по 1-му закону, и одно по 2-му.

Приняв за положительное направление тока в ветви направление от узла, для узла 1 имеем:

.

Для контура, заключенного между узлами 1, 2, 3 при обходе его по часовой стрелке, согласно 2-му закону Кирхгофа, можно записать:

.

ЭДС E4 имеет в уравнении знак минус потому, что ее направление в контуре не совпадает (противоположно) принятому направлению обхода контура. Напряжение на резисторе R1 имеет знак «минус» потому, что направление тока в нем, а следовательно, и напряжение, не совпадают с направлением обхода контура.

РАСЧЕТ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ, СОДЕРЖАЩЕЙ ТОЛЬКО ОДИН ИСТОЧНИК ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ

Цель работы: научиться рассчитывать токи и напряжения методом свертывания схемы в цепях постоянного тока, содержащих только один источник электрической энергии, а также делать проверку правильности решения методом баланса мощности.

Краткие теоретические сведения

Метод свертывания схем (метод эквивалентных преобразований) может быть применен, если в цепи имеется только один источник электрической энергии. Метод заключается в последовательном упрощении схемы путем замены параллельных, последовательных и других («звезда», «треугольник», «многоугольник») соединений сопротивлений эквивалентными сопротивлениями. В конечном виде схема представляет собой контур, состоящий только из источника и эквивалентного сопротивления. По этой схеме находится входной ток. Для нахождения остальных токов и напряжений преобразования ведут в обратном порядке, разворачивая схему. При анализе электрических цепей используются законы Ома и Кирхгофа.

! Пример расчета подобной схемы приведен после контрольных вопросов.

Контрольные вопросы и задания

1. Сформулируйте законы Кирхгофа:

1) для цепей постоянного тока;

2) для цепей переменного тока (для цепей гармонического тока дополнительно в комплексной форме).

2. Сколько всего уравнений по законам Кирхгофа необходимо записать при расчете электрической цепи? Из них по 1-му закону? По 2-му закону?

3. Запишите систему уравнений по законам Кирхгофа для предложенной преподавателем схемы.

4. Что понимают под свертыванием схемы? Опишите последовательность свертывания схемы.

5. Как находят токи в ветвях после того, как схема свернута?

6. Пусть в схеме, приведенной на рис.1, даны все сопротивления и известны все токи. Запишите уравнения, по которым можно определить напряжения между указанными преподавателем точками.

7. Как можно проверить правильность расчета цепи?

! Пример использования метода свертывания схемы (метода эквивалентных преобразований)

Для схемы, приведенной на рис. 6, необходимо:

1. Рассчитать все токи в ветвях.

2. Проверить выполнимость 1-го закона Кирхгофа для рассчитанной схемы.

3. Рассчитать напряжение на каждом сопротивлении схемы.

4. Проверить выполнимость 2-го закона Кирхгофа для внешнего контура рассчитанной схемы.

5. Рассчитать напряжения между точками 2–4 (U2-4) и 4–5 (U4-5).

6. Проверить правильность расчета, используя уравнение баланса мощностей.

Рис. 6

Пусть в схеме известны все сопротивления резисторов и входное напряжение U:

R1=5 Ом, R5=25 Ом,

R2=12 Ом, R6=8 Ом,

R3=10 Ом, R7=14 Ом,

R4=20 Ом, U =80 В.

Проанализируем схему. Схема имеет 3 ветви и 2 узла. На ней можно выделить 3 контура.

Ветви: 1-я состоит из источника эдс E и резисторов R1, R2, R7.

2-я состоит из резисторов R3 и R5.

3-я состоит из резисторов R4 и R6.

Узлы: точки 3 и 6.

Контуры (рис. 7):

1-й образован источником эдс E и резисторами R1, R2, R3, R5, R7.

2-й образован резисторами R3, R4, R6, R5.

3-й (внешний контур) образован источником эдс Е и резисторами R1, R2, R4, R6 и R7.

Направление токов I1, I2, I3 в схеме определяется направлением эдс источника. Эти направления показаны стрелками на схеме рис. 6.

1. Рассчитаем токи в ветвях.

1.1. Для этого сначала преобразуем схему к виду, показанному на рис. 7.

На этой схеме последовательно соединенные сопротивления каждой отдельной ветви заменены эквивалентными сопротивлениями. Обратите внимание на то, какие номера присвоены эквивалентным сопротивлениям!

R8 = R1 + R2 = 5+12 = 17 Ом;

R9 = R3 + R5 = 10+25 = 35 Ом;

R10 = R4 + R6 = 20+8 = 28 Ом.

Обратите внимание на оставшиеся в схеме контрольные точки. Их номера менять не будем.

Рис. 7. Схема, полученная упрощением схемы рис. 6

1.2. Приведем схему к еще более простому виду, заменив параллельно соединенные сопротивления R9 и R10 эквивалентным (обратите внимание на номер эквивалентного сопротивления). Как известно, при параллельном соединении ветвей складываются проводимости ветвей.

или иначе .

Получилась схема, показанная на рис. 8. Отметим, что через все три оставшиеся сопротивления (R7, R8, R11) идет один и тот же ток I1.

Рис. 8. Схема, полученная упрощением схемы рис. 7

1.3. Последнее упрощение схемы. Заменим последовательно соединенные сопротивления R7, R8, R11, эквивалентным сопротивлением R12 и получим полностью свернутую схему, показанную на рис. 9. Сопротивление R12 в данном случае является входным сопротивлением электрической цепи.

.

Рис. 9. Схема, полученная упрощением схемы рис. 8

1.4. Находим ток I1 (входной ток)

.

1.5. Определяем токи I1 и I2. Для этого сначала необходимо узнать напряжение на параллельном участке схемы (напряжение между точками 3 и 6 (U3-6)). Оно необходимо для нахождения токов I2 и I3. Для этого возвращаемся к схеме рис. 8.

.

Находим токи I2 и I3. Для этого возвращаемся к схеме рис. 7.

,

2. Проверим, выполняется ли 1-й закон Кирхгофа в данной цепи. Согласно этому закону

.

Поскольку ток I1 равен сумме токов I2 и I3 (1,718 А » 1,719 А), то можно считать, что 1-й закон Кирхгофа в данной цепи выполняется.

3. Определяем напряжения на резисторах. Согласно закону Ома напряжение на резисторе равно произведению его сопротивления на ток в этом сопротивлении.

;

;

;

;

4. Проверим, выполняется ли 2-й закон Кирхгофа для внешнего контура. Согласно этому закону для внешнего контура

.

Поскольку сумма напряжений на резисторах, входящих в контур, равна ЭДС источника, можно считать, что 2-й закон Кирхгофа в данной цепи выполняется.

5. Найдем напряжения между заданными точками (U2-4 и U4-5).

Чтобы найти напряжение между точками 2 и 4 (U2-4) вернемся к схеме рис. 6 и воспользуемся 2-м законом Кирхгофа для контура, образованного напряжениями на резисторах R2 и R3 (UR2, UR3 соответственно) и U2-4. Обход контура выберем по часовой стрелке. Напряжения UR2 и UR3 направлены также как и токи в резисторах R2 и R3 соответственно. Направление напряжения U2-4 показано на рис. 6.

или иначе ,

где , .

Напряжение U4-5. Согласно 2-му закону Кирхгофа для контура, состоящего из напряжений UR3, UR4 и U4-5 (направление обхода контура по часовой стрелке), имеем:

или иначе ,

где .

6. Проверка балансом мощностей. Баланс мощностей означает, что мощность источников электрической цепи равна мощности потребителей цепи в каждый момент времени. В данном случае мощность источника ЭДС PE должна быть равна суммарной мощности резисторов PR

PE = PR.

Мощность источника PE:

Вт.

Суммарная мощность резисторов PR:

Как видим, баланс мощностей выполняется:

PE = PR.

137,4 Вт » 137,5 Вт,

.

Следовательно, решение можно считать верным.

Методические указания к решению задачи № 2.

МЕТОДЫ АНАЛИЗА ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

Краткие теоретические сведения

При анализе электрических цепей используются различные методы (метод контурных токов, метод узловых потенциалов, метод наложения, метод эквивалентного источника и др.), но все эти методы основаны на законах Ома и Кирхгофа. Эти законы являются основными.

Последовательность анализа цепи методом законов Кирхгофа следующая.

1. Проанализировать топологию рассчитываемой цепи, то есть определить количество ветвей, количество узлов и количество независимых контуров в ней. Это необходимо для того, чтобы определить, как и сколько уравнений по 1-му и 2-му законам Кирхгофа необходимо записать для определения токов в ветвях электрической схемы.

Количество ветвей будет равно количеству неизвестных токов и, следовательно, количеству уравнений, которое следует записать для анализа цепи.

Количество узлов определит количество уравнений, которые надо будет записать по 1-му закону Кирхгофа.

Количество независимых контуров определит количество уравнений, которые будет необходимо записать по 2-му закону Кирхгофа.

2. Задать произвольные направления токов в ветвях схемы, чтобы можно было записать уравнения по законам Кирхгофа. Если выбранное направление тока не совпадет с истинным, то в решении этот ток получит знак «минус».

3. Задаться (иначе будет нельзя записать уравнения по законам Кирхгофа) условным положительным направлением тока, то есть принять, какое направление тока считать положительным – к узлу или от узла. Для решения это безразлично, но принятое условие необходимо соблюдать до конца решения задачи.

4. Записать по 1-му закону Кирхгофа количество уравнений, равное количеству узлов в схеме минус один. Для этого выбрать узлы, для которых будут записаны уравнения.

5. Недостающие до необходимого количества уравнения (см. п. 1) записать по 2-му закону Кирхгофа для независимых контуров. Для этого необходимо задаться направлением обхода каждого контура (по часовой стрелке или против часовой стрелки).

6. Решить полученную систему уравнений. Проверить выполняется ли 1-й закон Кирхгофа в узлах схемы.

7. Определить напряжения на резисторах. Проверить выполняется ли 2-й закон Кирхгофа в контурах схемы.

8. Составить баланс мощностей и проверить правильность решения.

Контрольные вопросы и задания

1. Сформулируйте законы Кирхгофа:

1.1) для цепей постоянного тока;

1.2) для цепей переменного тока (для цепей гармонического тока дополнительно в комплексной форме).

2. Сколько всего уравнений по законам Кирхгофа необходимо записать при расчете электрической цепи, если известны параметры всех источников и сопротивлений? Из них по 1-му закону? По 2-му закону?

3. Запишите систему уравнений по законам Кирхгофа для предложенной преподавателем схемы.

4. В чем сущность метода контурных токов?

5. Сколько уравнений необходимо записать при анализе цепи методом контурных токов? По какому закону их следует записывать?

6. В чем преимущество метода контурных токов перед методом законов Кирхгофа?

7. Запишите уравнения по методу контурных токов для схемы, указанной преподавателем.

8. Как, рассчитав значения контурных токов, определить по ним токи в ветвях?

9. В чем сущность метода узловых потенциалов (межузловых напряжений)?

10. Сколько уравнений необходимо записать при анализе цепи методом узловых напряжений? По какому закону их следует записывать?

11. Как, рассчитав значения узловых потенциалов, определить по ним токи в ветвях?

12. В чем сущность метода эквивалентного генератора (источника)?

13. Какими параметрами характеризуется эквивалентный генератор?

14. Как определяется ЭДС эквивалентного генератора?

15. Как определяется внутреннее сопротивление эквивалентного генератора?

16. Как определить ток в искомой ветви при известных параметрах эквивалентного генератора (источника)?

17. В чем сущность метода наложения?

18. Как можно проверить правильность расчета цепи?

19. Как можно преобразовать источник ЭДС в эквивалентный источник тока?

20. Как можно преобразовать источник тока в эквивалентный источник ЭДС?

! Пример анализа электрической цепи методом законов Кирхгофа

Пусть надо рассчитать токи в ветвях цепи, схема которой приведена на рис. 13.

Рис. 13. Схема, содержащая 3 ветви, 2 узла и 2 независимых контура

Решение

Решение выполним согласно описанной выше методике (п. 1–7).

1. Проанализируем схему. Схема имеет 3 ветви и 2 узла. На ней можно выделить 3 контура, но только 2 из них могут быть независимыми.

Ветви: 1-я состоит из резистора R1,

2-я состоит из резистора R2 и источника ЭДС Е2,

3-я состоит из резистора R3 и источника ЭДС Е3.

Узлы: точки А и В на схеме, то есть схема имеет всего 2 узла.

Контуры: 1-й образован резисторами R1, R2 и источником ЭДС Е2,

2-й образован резисторами R2. R3 и источниками ЭДС Е2 и Е3,

3-й образован резисторами R1, R3 и источником ЭДС Е3.

Подведем итоги. В схеме всего 3 ветви. Значит всего надо записать 3 уравнения по законам Кирхгофа. Из них по 1-му закону только одно (на одно меньше, чем количество узлов). Недостающие 2 уравнения запишем по 2-му закону Кирхгофа для любых двух независимых контуров.

2. Зададимся направлениями токов в ветвях, как показано на схеме рис. 13.

3. Положительными будем считать токи, направленные к узлу.

4. Запишем по 1-му закону Кирхгофа уравнение для узла А:

.

5. Запишем два уравнения по 2-му закону Кирхгофа для двух независимых контуров (обход контуров осуществим по часовой стрелке):

,

.

6. Получили систему 3-х уравнений:

,

,

.

Подставляем значения ЭДС и сопротивлений и решаем систему:

,

,

.

Решение дает значения токов:

; ; .

(Например: Систему можно решить и таким способом, в режиме OnLine на сайте http://www. /index. html)

Задача: Найти решение системы уравнений :

-		x1	+		x2	-		x3	=		0
-	5	x1	-	8	x2				=		10
				8	x2	+	10	x3	=		30

Шаг:1 Сформируем расширенную матрицу :

-1 1 -1 0 -5 -8 0 10 0 8 10 30

Применяя к расширенной матрице, последовательность элементарных операций стремимся, чтобы каждая строка, кроме, быть может, первой, начиналась с нулей, и число нулей до первого ненулевого элемента в каждой следующей строке было больше, чем в предыдущей.

Шаг:2

Разделим строку 1 на a1,1 =

-1

Получим матрицу :

1 -1 1 0 -5 -8 0 10 0 8 10 30

Шаг:3

Вычтем из строки 2 строку 1 умноженную на a2,1=

-5

Вычитаемая строка :

-5 5 -5 0

Модифицированная матрица :

1 -1 1 0 0 -13 5 10 0 8 10 30

Шаг:4

Разделим строку 2 на a2,2 =

-13

Получим матрицу :

1 -1 1 0 0 1 -0. -0. 0 8 10 30

Шаг:5

Вычтем из строки 3 строку 2 умноженную на a3,2=

8

Вычитаемая строка :

0 8 -3. -6.

Модифицированная матрица :

1 -1 1 0 0 1 -0. -0. 0 0 13. 36.

Шаг:6

Разделим строку 3 на a3,3 =

13.

Получим матрицу :

1 -1 1 0 0 1 -0. -0. 0 0 1 2.

Шаг:7

Вычтем из строки 2 строку 3 умноженную на a2,3=

-0.

Вычитаемая строка :

-0 -0 -0. -1.

Модифицированная матрица :

1 -1 1 0 0 1 0 0. 0 0 1 2.

Шаг:8

Вычтем из строки 1 строку 3 умноженную на a1,3=

1

Вычитаемая строка :

0 0 1 2.

Модифицированная матрица :