Электротехника и электроника (стр. 4 )

1. Соединение «звезда»

1.1. Соединение «звезда» с нейтральным проводом показано на рис. 1. Такое соединение используется как при симметричной нагрузке, так и при несимметричной, например, при питании жилых домов. Основные соотношения для такой цепи:

– только при симметрии напряжений,

– согласно 1-му закону Кирхгофа,

– согласно 2-му закону Кирхгофа,

– согласно 2-му закону Кирхгофа,

– согласно 2-му закону Кирхгофа,

где IA, IB, IC – фазные токи,

IN – ток в нейтральном проводе,

UAB, UBC, UCA – линейные напряжения,

UA, UB, UC – фазные напряжения.

Рис. 1. Схема соединения «звезда» с нейтральным проводом

Следует обратить внимание на то, что, если электрическая сеть имеет соединение «звезда» с нейтральным проводом, потребитель может включать свое оборудование либо на фазное, либо на линейное напряжение, которое в раз больше фазного.

1.2. Соединение «звезда» без нейтрального провода используется только при симметрии нагрузки. У этого соединения (рис. 2) отсутствует нейтральный провод и при несимметрии нагрузки соотношение  не соблюдается даже при симметрии линейных напряжений. Именно поэтому такое соединение используется только при симметрии нагрузки. Остальные соотношения, приведенные для соединения «звезда» с нейтральным проводом, соблюдаются, если учесть отсутствие нейтрального провода и, следовательно, тока в нем.

Рис. 2. Схема соединения «звезда» без нейтрального провода

Отметим, что в соединении «звезда» с нейтральным проводом можно выделить 6 напряжений (3 фазных и 3 линейных) и 4 тока
(3 фазных и ток в нейтральном проводе). При соединении «звезда» без нейтрального провода получим 6 напряжений и 3 тока. Это показано на схемах (рис. 1 и 2).

2. Соединение «треугольник»

Это соединение используется как при симметричной нагрузке, так и при несимметричной. При соединении «треугольник» можно выделить 6 токов (3 фазных и 3 линейных) и 3 линейных напряжения (они же в данном случае являются фазными). Это показано на схеме (рис. 3).

Рис. 3. Схема соединения «треугольник»

Основные соотношения при соединении «треугольник»:

,

– согласно 1-му закону Кирхгофа,

– согласно 1-му закону Кирхгофа,

– согласно 1-му закону Кирхгофа,

– только при симметрии.

! Примеры расчетов приведены после контрольных вопросов.

Контрольные вопросы и задания

1. Укажите на схемах 1…3 фазы.

2. Покажите, что нагрузка на схеме, показанной на рис. 1 и 2, соединена «звездой».

3. Покажите, что нагрузка на схеме, показанной на рис. 3, соединена «треугольником».

4. Начертите векторную диаграмму токов и напряжений симметричной цепи при соединении «звезда».

5. Докажите, что при симметричной системе напряжений и симметричной нагрузке ток в нейтральном проводе в соединении «звезда с нейтральным проводом» будет отсутствовать.

6. Имеется симметричная система линейных напряжений. К ней подключена несимметричная трехфазная нагрузка по схеме «звезда с нейтральным проводом». Начертите векторную диаграмму токов и напряжений для такой цепи.

7. Начертите векторную диаграмму токов и напряжений симметричной цепи при соединении «треугольник».

8. Начертите векторную диаграмму токов и напряжений несимметричной цепи при соединении «треугольник». Система напряжений симметричная.

9. Как доказать, что в симметричной цепи при соединении «звезда» линейное напряжение больше фазного напряжения в  раз.

10. Как доказать, что в симметричной цепи линейный ток при соединении «треугольник» больше фазного тока в  раз.

11. Имеется цепь с симметричной системой линейных напряжений. К этой системе сначала подключили сопротивления нагрузки по схеме «звезда». Потом те же самые сопротивления подключили к той же системе напряжений по схеме «треугольник». Каковы будут соотношения модулей фазных и линейных токов при таких соединениях?

! Примеры расчета трехфазной цепи при соединении «звезда с нейтральным проводом»

Пример 1. Симметричная система напряжений и симметричная нагрузка. Пусть, например, заданы следующие условия, показанные в табл. 9. Система напряжений симметричная. Частота сети f=50 Гц. Сопротивления всех фаз одинаковые (нагрузка симметричная). Схема показана на рис. 1.

Таблица 9

Вар. №	Напряжение фазы А	ZФ
R, Ом	L, мГн	C, мкФ
41	uA=311sin(wt+10º)	50	80	-

Требуется рассчитать токи в фазах, построить векторную диаграмму и определить активную, реактивную и полную мощности.

Решение

1. Запишем систему действующих значений напряжений фаз в комплексной форме. Учтем, что действующее значение синусоидального напряжения связано с амплитудным значением формулой . Тогда модуль комплексного напряжения фазы А (а также модули напряжений фаз В и С) будет равен

.

Кроме того, учтем, что напряжения фаз сдвинуты друг относительно друга на угол 120º. Причем напряжение фазы В отстает от напряжения фазы А на 120º, а напряжение фазы С отстает от напряжения фазы В также на 120º.

,

,

.

Векторная диаграмма напряжений показана на рис. 4.

Рис. 4. Векторная диаграмма фазных (UA, UB, UC) и линейных (UAB, UBC, UCA) напряжений соединения «звезда» с нейтральным проводом, соответствующая заданным выше условиям

2. Определим комплексное сопротивление фазы. Для этого сначала найдем реактивное индуктивное сопротивление фазы

.

Комплексное сопротивление фазы в алгебраической форме

.

Комплексное сопротивление фазы в показательной (в полярных координатах) форме

.

3. Найдем токи в фазах

,
,
.

4. Проверим, действительно ли при симметричной системе напряжений и симметричной нагрузке фаз, ток в нейтральном проводе будет равен нулю. Для этого переведем фазные токи из показательной формы записи в алгебраическую. Это делаем потому, что предстоит операция сложения, а ее удобнее выполнять, если слагаемые представлены в алгебраической форме.

,

,
.

Ток в нейтральном проводе равен сумме токов фаз:

.

Как видим, при симметричной системе напряжений и симметричной нагрузке ток в нейтральном проводе равен нулю (и надобность в нейтральном проводе отпадает). Небольшая погрешность связана с неточностью расчетов. На рис. 5 показана векторная диаграмма фазных напряжений и токов, соответствующая данному случаю. Векторы линейных напряжений не показаны.

Рис. 5. Векторная диаграмма токов и напряжений симметричной трехфазной цепи при соединении фаз «звездой», соответствующая вышеприведенным расчетам

Мощности. Поскольку система симметричная, то мощности всех фаз одинаковы, и достаточно рассчитать активную и реактивную мощности одной фазы. Мощность трехфазной системы будет в три раза (по числу фаз) больше.

Найдем, например, комплексную мощность фазы А (можно было бы найти мощность фазы В или фазы С – мощности фаз одинаковы).

Реактивная мощность Q=U∙ I ∙sinφ

Активная мощность

P=U∙I∙cosφ

С полной мощностью S активная связана соотношением P=S∙cosφ

где SФ=864,6 ВА – модуль (величина) полной мощности фазы;

j = 26,7º – аргумент (угол) полной мощности фазы;

сопряженный комплекс тока фазы А;

Вт – активная мощность фазы А;

– реактивная мощность фазы А.

Мощность всей трехфазной системы:

где А – модуль полной мощности системы;

– аргумент полной мощности системы;

Вт – активная мощность трехфазной системы;

ВАр – реактивная мощность трехфазной системы.

Пример 2. Симметричная система напряжений и несимметричная нагрузка при соединении «звезда». Пусть, например, заданы следующие условия, показанные в табл. 10. Система напряжений симметричная. Частота сети f=50 Гц. Сопротивления фаз разное (нагрузка несимметричная). Схема показана на рис. 1.

Таблица 10

Вар. №	Линейное напряжение, В	Сопротивления фаз
ZА	ZВ	ZС
41	UЛ=380 В	15 Đ 20°	10 Đ 10°	20Đ-30°

При симметричной системе напряжений при соединении «звезда» линейное напряжение больше фазного в  раз, следовательно, фазное напряжение

.

Симметричная система напряжений (начальная фаза напряжения UA принята равной нулю):

,
,
.

Фазные токи:

,
,
.

Ток в нейтральном проводе:

Мощности фаз:

,
,
,

где – сопряженные комплексы токов фаз.

Суммарная мощность системы:

где – модуль полной мощности системы;

– аргумент полной мощности системы;

– суммарная активная мощность системы;

– суммарная реактивная мощность системы.

Векторная диаграмма напряжений и рассчитанных токов приведена на рис. 6. Ток в нейтральном проводе показан как сумма фазных токов (). Линейные напряжения на диаграмме не показаны.

Рис. 6. Векторная диаграмма напряжений и токов соединения «звезда» при симметрии напряжений и несимметричной нагрузке, соответствующая вышеприведенным расчетам

! Пример расчета трехфазной цепи при соединении «треугольник»

Симметричная система напряжений и несимметричная нагрузка. Пусть, например, заданы следующие условия, показанные в табл. 11. Частота сети f=50 Гц. Схема показана на рис. 3.

Таблица 11

Вар. №	Напряжение фазы АВ	Сопротивления фаз
ZАВ	ZВС	ZСА
41	UAВ=220 В	15Đ25°	20Đ-10°	25Đ20°

Симметричная система напряжений (начальная фаза напряжения UAВ принята равной нулю):

,
,
.

Фазные токи:

,
,
.

Линейные токи:

, ,
.

Мощности фаз:

,
,
,

где – сопряженные комплексы токов фаз.

Суммарная мощность системы:

где – суммарная активная мощность системы;

– суммарная реактивная мощность системы;

– модуль полной мощности системы;

– аргумент полной мощности системы.

Векторная диаграмма напряжений и рассчитанных токов приведена на рис. 7.

Рис. 7. Векторная диаграмма напряжений и токов при симметричной системе напряжений и несимметричной нагрузке, соответствующая вышеприведенным расчетам

Замечание. Обратите внимание на единицы, в которых измеряются мощности (ВА, ВАр, Вт)!

Контрольная работа № 1

Задание № 1

1. Для одной из нижеприведенных схем (согласно Вашему варианту) рассчитайте все токи в ветвях.

2. Рассчитайте напряжение на каждом сопротивлении.

3. Рассчитайте напряжения между указанными ниже точками.

3.1. Для вариантов со схемой рис. 1 найдите U1-5 и U5-6.

3.2. Для вариантов со схемой рис. 2 найдите U2-6 и U4-5.

3.3. Для вариантов со схемой рис. 3 найдите U1-6 и U2-3.

3.4. Для вариантов со схемой рис. 4 найдите U3-4 и U4-6.

3.5. Для вариантов со схемой рис. 5 найдите U2-4 и U4-6.

4. Проверьте выполнимость законов Кирхгофа для рассчитанной схемы.

5. Проверьте правильность расчета, используя уравнение баланса мощностей.

Параметры элементов цепи заданы в табл. 1.

Рис. 1

Рис. 2

Рис. 3

Рис. 4

Рис. 5

	Сопротивления R1…R7 даны в Омах
Вариант	Схема	U, В	R1	R2	R3	R4	R5	R6	R7
1	Рис. 1	50	2	3	4	1	3	2	5
2	Рис. 2	55	3	4	1	2	5	6	4
3	Рис. 3	60	1	4	6	7	3	5	2
4	Рис. 4	65	5	7	6	8	3	5	4
5	Рис. 5	70	4	5	3	7	8	6	5
6	Рис. 1	75	6	4	3	7	8	9	5
7	Рис. 2	80	4	2	9	6	7	4	5
8	Рис. 3	85	8	7	6	9	4	5	8
9	Рис. 4	90	4	3	6	5	7	8	5
10	Рис. 5	95	4	3	6	7	3	8	9
11	Рис. 1	100	5	2	3	1	4	3	2
12	Рис. 2	105	4	6	5	2	1	4	3
13	Рис. 3	110	2	5	3	7	6	4	1
14	Рис. 4	115	4	5	3	8	6	7	5
15	Рис. 5	120	5	6	8	7	3	5	4
16	Рис. 1	125	5	9	8	7	3	4	6
17	Рис. 2	130	5	4	7	6	9	2	4
18	Рис. 3	135	8	5	4	9	6	7	8
19	Рис. 4	140	5	8	7	5	6	3	4
20	Рис. 5	145	9	8	3	7	6	3	4
21	Рис. 1	50	1	3	2	5	4	3	2
22	Рис. 2	55	2	5	6	4	1	4	3
23	Рис. 3	60	7	3	5	2	6	4	1
24	Рис. 4	65	8	3	5	4	6	7	5
25	Рис. 5	70	7	8	6	5	3	5	4

Таблица 1