|
Шаг:9
Вычтем из строки 1 строку 2 умноженную на a1,2= | -1 |
Вычитаемая строка :
|
Модифицированная матрица :
|
Выпишем систему уравнений по последней расширенной матрице:
x1 | = | - | 2. | |||||||||
x2 | = | 0. | ||||||||||
x3 | = | 2. |
Заданная система уравнений имеет единственное решение:
x1 | = | - | 2. |
x2 | = | 0. |
x3 | = | 2. |
Ток I1 получил в решении знак «минус». Это значит, что на самом деле он направлен так, как показано на рис. 14. Одновременно отметим, что ток I2 направлен против своей ЭДС Е2.
Рис. 14. Реальные направления токов в схеме
Проверяем, выполняется ли 1-й закон Кирхгофа для узла А. Согласно реальным направлениям токов (рис. 14):
.
Подставим полученные значения:
.
Как видим, 1-й закон Кирхгофа для узла А выполняется.
7. Определим напряжения на резисторах
, направлено к узлу А,
, направлено к узлу А,
, направлено от узла А.
Напряжение на резисторе R1 является одновременно и напряжением между узлами А и В.
Проверим, соблюдается ли 2-й закон Кирхгофа для внешнего контура.
При обходе контура, например, по часовой стрелке имеем:
,
.
Видим, что 2-й закон Кирхгофа для внешнего контура соблюдается.
8. Составляем баланс мощностей. Согласно уравнению баланса мощностей мощность источников равна мощности потребителей в каждый момент времени.
.
Баланс мощностей соблюдается. Отметим, что мощность источника ЭДС Е2 записана со знаком «минус». Это потому, что ток в нем направлен против ЭДС, как например у аккумулятора на подзарядке.
Методические указания к решению задачи № 3.
Последовательное соединение элементов в цепи гармонического тока
Краткие теоретические сведения
Для расчета последовательной цепи при гармоническом воздействии необходимо четкое представление о таких понятиях как:
1. Гармоническое воздействие (как правило, синусоидальное напряжение).
2. Мгновенное, амплитудное, среднее, действующее (оно же среднеквадратическое) значения гармонической функции.
3. Мгновенная фаза, начальная фаза, сдвиг фаз.
4. Частота (циклическая), круговая (угловая) частота, период.
5. Резистивное, индуктивное, емкостное сопротивления при гармоническом воздействии.
6. Комплексное сопротивление 
.
7. Векторная диаграмма.
Кроме того, необходимо уметь применять метод комплексных чисел для расчета последовательных цепей гармонического тока.
Рассмотрим поочередно указанные выше пункты.
1. Гармоническое воздействие (гармоническая функция). Рассмотрим это воздействие на примере синусоидального напряжения.
1.1. Синусоидальное напряжение можно записать аналитически:
,
где u – мгновенное значение напряжения в момент времени t;
– амплитудное значение напряжения;
– круговая (угловая) частота;
– начальная фаза напряжения;
– фаза напряжения в момент времени t.
1.2. Можно представить в виде графика (рис. 1):
Рис. 1. графическое представление гармонической функции
1.3. Можно записать в комплексном виде:
или иначе 
,
где U – действующее значение напряжения,
– действительная составляющая комплекса напряжения,
– мнимая составляющая комплекса напряжения.
1.4. Можно представить в виде вращающегося с частотой w радиус-вектора на комплексной плоскости (рис. 2). В этом случае мгновенное значение напряжения будет равно проекции радиус-вектора на мнимую ось.
Рис. 2. Изображение синусоидальной величины вращающимся
радиус-вектором на комплексной плоскости
2. Мгновенное значение напряжения (см. п.1).
Соотношение между амплитудным, действующим (среднеквадратическим) и средним значениями синусоидального напряжения.
, 
3. О понятиях «начальная фаза», «мгновенная фаза» (см. п.1).
Сдвиг фаз j =YU-YI между синусоидальным напряжением и током показан на рис. 3.
Рис. 3. График 2-х синусоид, сдвинутых друг относительно друга на угол j
4. Соотношения между частотой (циклической) f, круговой (угловой) w и периодом T:
, 
5. Для вывода формул сопротивлений и фазовых соотношений в резистивном, индуктивном и емкостном элементах при гармоническом воздействии воспользуемся формулами, связывающими мгновенный ток и мгновенное напряжение при любых воздействиях:
, 
, 
.
Рассмотрим элементы по очереди.
5.1. Резистивный элемент.
Пусть дано напряжение
.
Тогда ток
,
где 
– амплитуда тока.
Напряжение и ток в резистивном элементе совпадают по фазе (YU=YI). Следовательно, угол сдвига фаз равен нулю (φ = ψU-ψI =0). Это показано на векторной диаграмме на рис. 4.
Рис. 4. Векторная диаграмма тока и напряжения резистивного элемента
5.2. Индуктивный элемент.
Пусть дан гармонический ток
.
Тогда напряжение на индуктивном элементе
Проанализируем полученную формулу.
Амплитуда индуктивного напряжения
,
где, как видно из формулы, произведение 
имеет размерность сопротивления (Ом) и носит название «индуктивное сопротивление».
Мгновенная фаза напряжения
больше мгновенной фазы тока (
) на угол 
, следовательно, напряжение опережает ток на угол (или иначе на 90о). Сдвиг фаз, составляющий 90о, показан на векторной диаграмме на рис. 5.
Рис. 5. Векторная диаграмма тока и напряжения индуктивного элемента
5.3. Емкостный элемент.
Пусть дано гармоническое напряжение
.
Тогда ток в емкостном элементе
где 
– амплитудное значение емкостного тока.
Проанализируем полученную формулу.
Амплитуда емкостного напряжения
,
где, как видно из формулы, величина 
имеет размерность сопротивления (Ом) и носит название «емкостное сопротивление».
Мгновенная фаза тока 
больше мгновенной фазы напряжения ( 
) на угол 
, следовательно, ток опережает напряжение на угол (или иначе на 90о). Сдвиг фаз, составляющий 90о, показан на векторной диаграмме на рис. 6.
Рис. 6. Векторная диаграмма тока и напряжения емкостного элемента
6. Чтобы найти формулу комплексного сопротивления Z, воспользуемся свойствами последовательного соединения элементов и 2-м законом Кирхгофа.
В цепи с последовательным соединением элементов, находящейся под гармоническим воздействием, например, в цепи, схема которой приведена на рис. 7, выполняется 2-й закон Кирхгофа, согласно которому при обходе контура, например по часовой стрелке, для мгновенных значений имеем
или иначе
,
где u – мгновенное значение входного напряжения на зажимах цепи RLC;
uR – мгновенное значение напряжения на сопротивлении R;
uL – мгновенное значение напряжения на индуктивности L;
uC – мгновенное значение напряжения на емкости С.
Рис. 7. Последовательная цепь RLC
Тот же самый закон для цепи RLC, но в комплексной форме записи приведен ниже (согласно схеме на рис. 8). Обратите внимание на обозначения напряжений и тока, как на схеме рис. 8, так и в формулах. Здесь вместо мгновенных значений указаны комплексные значения.
где U – комплексное входное напряжение цепи;
– комплексное напряжение на резисторе R;
– комплексное напряжение на индуктивности L;
– комплексное напряжение на емкости С;
Z – полное комплексное сопротивление цепи RLC;
R – резистивное сопротивление;
XL – реактивное индуктивное сопротивление;
XС – реактивное емкостное сопротивление;
w=2pf – круговая (угловая) частота.
Рис. 8. Схема последовательной цепи RLC с обозначением напряжений и тока в комплексной форме записи
Комплексное сопротивление Z можно записать в алгебраической или в показательной (в полярных координатах) форме.
В алгебраической:
,
Или 
.
В показательной (в полярных координатах):
или
Как видно из формулы, полное комплексное сопротивление цепи Z зависит от частоты.
7. Изменение частоты влечет за собой изменение соотношения напряжений UR, UL и UC. Это хорошо видно из векторных диаграмм на комплексной плоскости, приведенных на рис. 9, 10 и 11.
Диаграмма на рис. 9 соответствует частоте, меньшей частоты резонанса. Обратите внимание на то, что вектор напряжения на емкости UC больше, чем вектор напряжения на индуктивности UL, а вектор тока I опережает вектор входного напряжения U на угол j.
Рис. 9. Векторная диаграмма цепи RLC для частоты, меньшей резонансной
Диаграмма на рис. 10 соответствует частоте резонанса. Обратите внимание на равенство векторов напряжений UL и UC, а также на то, что вектор входного напряжения U и вектор тока I совпадают по фазе.
Рис. 10. Векторная диаграмма цепи RLC при резонансе
Диаграмма на рис. 11 соответствует частоте, большей частоты резонанса. Обратите внимание на то, что вектор напряжения на индуктивности UL больше вектора напряжения на емкости UC, а вектор тока I отстает от вектора входного напряжения U на угол j.
Рис. 11. Векторная диаграмма цепи RLC при частоте, большей резонансной
Контрольные вопросы и задания
1. Запишите формулу для емкостного сопротивления. Поясните, как она получена.
2. Запишите формулу для индуктивного сопротивления. Поясните, как она получена.
3. Запишите выражение для комплексного сопротивления цепи RLC.
4. Запишите выражение для комплексного сопротивления цепи RC.
5. Запишите выражение для комплексного сопротивления цепи RL.
6. Поясните построение векторной диаграммы цепи RLC.
7. Как изменяется вид векторной диаграммы цепи RLC с увеличением частоты?
8. Как изменяется вид векторной диаграммы цепи RC с увеличением частоты?
9. Как изменяется вид векторной диаграммы цепи RL с увеличением частоты?
10. Как изменяется входное сопротивление цепи RLC при изменении частоты от нуля до бесконечности? Почему?
11. Чему равно сопротивление цепи RC при бесконечно большой частоте? Почему?
12. Чему равно сопротивление цепи RC при нулевой частоте? Почему?
13. Чему равно сопротивление цепи RL при бесконечно большой частоте? Почему?
14. Чему равно сопротивление цепи RL при нулевой частоте? Почему?
! Пример решения задачи
Пусть дано:
Таблица 3
Вар. № | U | R, Ом | L, мГн | С, мкФ |
41 | 220 Đ 10º | 80 | 50 | 0,9 |
1. Резонансная частота
.
2. Рассчитаем сопротивления XL, XC, Z, ток I, напряжения UR, UL, UC для частоты f1.
,
,
.
Сопротивление Z в алгебраической форме записи:
.
Поскольку предстоит операция деления (комплекс напряжения U будем делить на комплекс сопротивления Z), то переведем алгебраическую форму записи сопротивления 
в показательную форму (в полярной системе координат) 
.
.
Ток в цепи:
.
Напряжение на резистивном элементе совпадает по фазе с током:
.
Напряжение на индуктивном элементе опережает ток на 90о:
.
Напряжение на емкостном элементе отстает от тока на 90о:
.
Аналогично рассчитываются сопротивления, токи и напряжения для других частот.
Данные расчетов заносим в табл. 4.
Таблица 4
Расчетные данные
f, Гц | Z | I | UR | UL | UC | |
f1=0,8f0 | 601 | 132Đ-53º | 1,67 Đ 63º | 134 Đ 63º | 316 Đ 153º | 491 Đ -27º |
f2=f0 | 751 | 80 | 2,75 Đ 10º | 220 Đ 10º | 649 Đ 100º | 649 Đ -80º |
f3=1,2f0 | 901 | 118Đ47º | 1,86 Đ -37º | 149 Đ -37º | 526 Đ 53º | 365 Đ -127º |
Построение векторных диаграмм
Принятые масштабы: по напряжению – 100 В, в 1 см;
по току – 0,5 А, в 1 см.
Рис. 12. Векторная диаграмма тока и напряжений последовательной цепи RLC для частоты f1 = 601 Гц
Векторные диаграммы для частот f2 и f3 строятся аналогично.
Методические указания к решению задачи № 4.
ИССЛЕДОВАНИЕ трехфазных ЦЕПей
Краткие теоретические сведения
Трехфазная электрическая система является основной энергетической сетью, снабжающей электрической энергией потребители как бытовые, так и промышленные. Трехфазная система состоит из трех отдельных электрических цепей, которые называются фазами и маркируются буквами А, В, С. Эти цепи так и называются фаза А, фаза В, фаза С. Потребители могут подключаться к такой системе разными способами.
1. Подключение к одной фазе.
2. Подключение одновременно к двум фазам.
3. Подключение одновременно ко всем трем фазам.
К одной фазе обычно подключаются бытовые потребители (электрические печи, холодильники, телевизоры и т. п.). Например к фазе А подключается подъезд № 1 жилого дома, к фазе В подъезд № 2, к фазе С подъезд № 3. В сумме получается трехфазная система.
Подключение сразу к двум фазам используется редко и его не будем рассматривать.
Подключение одновременно к трем фазам делается обычно у мощных потребителей (мощные трехфазные электродвигатели, мощные выпрямители и т. п.).
Фазы нагрузки можно включать между собой различными способами:
1. Соединение «звезда».
1.1. Соединение «звезда» с нейтральным проводом.
1.2. Соединение «звезда» без нейтрального провода.
2. Соединение «треугольник».
Система напряжений трехфазной сети может быть симметричной (нормальный рабочий режим) или несимметричной (аварийный режим). У симметричной системы напряжения фаз одинаковы по величине и сдвинуты друг относительно друга на 120 градусов. Понятно, что у несимметричной системы это не соблюдается.
Нагрузка трехфазной системы тоже может быть симметричной и не симметричной. При симметричной нагрузке сопротивления всех трех фаз одинаковые по модулю и по аргументу (по величине и по характеру). В этом случае
для соединения «звезда»: ZA= ZB= ZC=ZФU,
а для соединения «треугольник»: ZAB= ZBC= ZCA=ZФD.
При несимметричной нагрузке сопротивление хотя бы одной фазы отличается от сопротивления других. К несимметричной нагрузке относится и нагрузка, у которой сопротивления по величине одинаковые (Ом), а по характеру разные (разные углы jФ).
При симметричной системе напряжений и симметричной нагрузке токи во всех фазах будут одинаковы по величине (по модулю) и сдвинуты друг относительно друга на 120 градусов. Кроме того, токи фаз будут сдвинуты относительно напряжений своих фаз на одинаковый угол jФ.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 |
