Учебная дисциплина «Математические основы теории цифровых устройств» (стр. 2 )

Ответ. Код Хэмминга должен иметь три контрольных разряда на четыре бита информации, т. е. содержать семь разрядов [2. С.61].

1.5.4. Приведите примеры кодов, позволяющих обнаружить одиночные ошибки. Могут ли для этого использоваться равновесные коды?

Ответ. В табл. 1.4 приведены два кода, которые позволяют обнаружить одиночные ошибки. Один из них (два из пяти) равновесный, т. е. содержит на каждой комбинации одинаковое количество единиц.

1.6. Контрольные вопросы

1.6.1. Определите взаимосвязь основания системы счисления и длины числа (количества разрядов) для записи одного и того же числа.

1.6.2. Назовите достоинства дельта и импульсно-кодовой модуляции при числовой передаче информации.

1.6.3. Какая система счисления и почему считается более экономичной.

1.6.4. Каков порядок перевода из одной системы счисления в другую неправильных дробей. Поясните перевод двоичного числа 1011 в десятичное.

1.6.5. Поясните представление отрицательных чисел обратным, дополнительным и модифицированным кодами.

1.6.6. Перечислите разновидности D–кодов (коды формата BCD). Какие из них находят наибольшее применение?

1.6.7. Для чего применяют систематические коды? Поясните их характеристики.

1.6.8. Поясните порядок кодирования и проверки по методу четности-нечетности.

1.6.9. Каковы отличительные особенности кода Грея? Напишите соотношения для четырехразрядного кода Грея и двоичного кода.

1.6.10. В каких случаях происходит переполнение разрядной сетки в цифровом устройстве? Поясните порядок выполнения операции сложения в модифицированном коде.

1.7. Темы для рефератов

·  Векторное кодирование и фрактальное квантование.

·  Вейвлет преобразование сигналов.

·  Цифровые системы передачи телесигналов.

·  Системы кодирования в микрокомпьютерах.

2. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЦИФРОВОЙ ТЕХНИКИ

2.1. Программа

Логические функции. Основные законы алгебры логики (комбина-торные, отрицания, двойственности). Определение дополнения функции. Закон де Моpгана и обобщенный закон двойственности. Теоpема разложения и её применение. Основные понятия о К-значной логике.

Фоpмы пpеставления функций алгебры логики (ФАЛ). Понятие о первичном терме, минтерме, макстерме. Ноpмальная фоpма логических выpажений. Каpты Каpно и диагpаммы Вейча. Составление каpт Каpно по таблицам истинности. Пpедставление систем булевых функций с помощью матриц.

Классы функций алгебpы логики и понятия о базисах. Теоpема

Поста-Яблонского. Минимизация булевых функций. Метод Квайна и Мак-Класки. Метод Блека-Порецкого. Синтез не полностью заданных логических функций. Минимизация систем логических функций.

Пpименение теоpии логических функции для синтеза комбинационных устройств: шифpатоpов, дешифраторов и преобразователей кодов. Реализация математических операций с помощью логических схем. Мультиплексор как генератор логической функции. Минимизация логических цепей с мультиплексорами.

2.2. Самостоятельная работа

Основы теории логических функций изложены в [1. C. 174-234]; [2. С. 63-90]; [3. С. 47-138]; [6. С. 534-571]; [8]; [14. С. 134-149]. Ре-

комендуется рассмотреть решение задач и примеров из [2. С. 71-73]; [4. С. 17-34] и [8. С. 5-41].

Методы минимизации достаточно полно освещен в литературе - теория [1], [6. С. ], задачи и примеры [2, 4, 14].

Для ознакомления с теорией и практикой проектирования цифровых устройств можно рекомендовать[2-6] и [14]. Описание и расчет схем на мультиплексорах даны в [2, 7]; [8. С. 113].

Программируемые логические интегральные схемы (ПЛИСы) представлены в [2. С. 89]; [6. C. 724-733], [15-18] и [218,1103].

Описание многозначной логики подробно рассмотрено в [19, 20].

Приведем наиболее характерные функции одной независимой переменной x в К-значной логике [19].

Циклический инвертор

при (2.1)

Зеркальный инвертор

(2.2)

Пороговая функция

при (2.3)

Алфавитный детектор (характеристическая функция)

для (2.4)

Для четырехзначной логики сведем функции (2в табл. 2.1.

Таблица 2.1

Функции одной переменной четырёхзначной логики

0	1	2	3	3	3	3	3	3	0	0	0
1	2	3	0	2	0	3	3	0	3	0	0
2	3	0	1	1	0	0	3	0	0	3	0
3	0	1	2	0	0	0	0	0	0	0	3

Наиболее важные функции двух независимых переменных представлены в табл. 2.2.

2.3. Компьютерный практикум

·  В каталоге K-LOGIC программа k--logic. exe позволяет моделировать схемы многозначной логики, используя файлы *. k.

·  Каталог MINFAL содержит программы минимизации логических функций различными методами ( Карно, Квайна, Блека и др. ).

·  Программа multi. exe и файлы описания схем * . soe из каталога MULTIPL позволяют отлаживать схемы индикации на мультиплексорах.

·  Моделирование логических схем, включая минимизацию булевых функций, удобно проводить с использованием программы EWB [21].

Таблица 2.2

Функции двух переменных четырёхзначной логики

Название	Обозначение	Вычисление
Минимум
Максимум
Произведение
Сумма

2.4. Типовые примеры

2.4.1. Используя теорему разложения, упростить функцию

(2.5)

Решение.

(2.6)

2.4.2. Минимизировать функцию

(2.7)

Решение. Используя минимизацию по картам Карно на четыре переменные (рис. 2.1, а) , и с учетом теоремы разложения

(2.8)

получим первый вариант решения

(2.9)

Второй вариант можно получить по картам Карно на пять переменных (рис. 2.1, в)

(2.10)

Переход от уравнения (2.9) к уравнению (2.10) требует пояснения в части замены термов и на . Заменяются два контура (рис. 2.1, а) одним для 24 и 25 клеток (рис. 2.1, в). Получение тер-ма в (2.10) из и в (2.9) очевидно.

Применение логического анализатора из программы EWB дает другой вариант решения (рис. 2.2), который вместе с тем является эквивалентным по числу переменных. Данное обстоятельство подтверждается как числом и размером контуров на рис. 2.1.г, так и сравнением уравнений (2.10) и (2.11). (2.11)

2.4.3. Методом Блека-Порецкого минимизировать функцию

(2.12)

Решение. Введём термы согласования, используя выражение

(2.13)

Сравнивая первый и второй термы в уравнении (2.12) получим терм согласования . Первый и третий термы дают терм и т. д.

После сравнения всех термов в (2.12) получим

(2.14)

Рис. 2.1. Минимизирующие карты для представления функции пяти переменных: a - карты Карно в шестнадцать клеток;

б - карты Карно для представления функции пяти переменных;

в, г - варианты минимизации на картах Карно в 32 клетки

Рис. 2.2. Минимизация функций в программе EWB

Дальнейшее сравнение полученных шести термов не ведет к появлению новых, что дает право перейти к упрощению и получить:

(2.15)

2.4.4. Минимизировать систему не полностью заданных ФАЛ (2.16) методом Квайна и Мак-Класки.

(2.16)

Решение. Нахождение простых импликант проводим, считая все «тер-мы не доставляющие беспокойств» единицами. Попарное сравнение всех 0-кубов соседних групп проводится с учётом принадлежности их определённой функции (нельзя сравнивать кубы, принадлежащие разным функциям). Отметки кружочками проводим при сравнении кубов принадлежащих одной функции, а отметка звёздочкой делается при возможном одновременном сравнении кубов для всех функций (табл.2.3):

Таблица 2.3

Группы термов по Мак-Класки

0 группа	1 группа	2 группа	3 группа	Куб
(0)000*y0f 0	(1)001y0	(3)011y0	(7)111f 0	0-куб
	(2)010y0	(5)101*y0f 0
	(4)100*y0 f 0	(6)110*y0f 0
(0-1)00-y0	(1-3)0-1y0	(5-7)1-1f 0		1-куб
	(1-5)-01y0	(6-7)11f 0
(0-2)0-0y0	(2-6)-10y0
	(4-6)1-0y0 f 0
(0-4)-00y 0 f	(2-3)01-y0
	(4-5)10-y0 f 0
(0-1-2-3)0--y	(4-5-6-7)1- - f			2-куб
(0-2-4-6)--0y
(0-1-4-5)-0-y

Построение таблицы покрытий матрицы Квайна (табл. 2.4) проводим, учитывая следующие особенности: