Аналитические решения уравнений Навье-Стокса в трехмерной геометрии (Часть I) (стр. 3 )

. (8.39)

Рассмотрим интеграл

. (8.40)

Мы осуществляем интегрирование в локальной системе координат с центром в точке . Направим ось этой системы по направлению вектора :

. (8.41)

Тогда

. (8.42)

Воспользуемся формулами

, (8.43)

где – сферические функции Бесселя первого рода;.

. (8.44)

В результате интегрирования получим

, (8.45)

где. (8.46)

Найдем предел интеграла при .

. (8.47)

Таким образом, как и предполагалось, для любой точки выполнено соотношение

. (8.48)

В нестационарном случае

. (8.49)

Теперь вычислим дивергенцию , используя определение дивергенции:

. (8.50)

Как и в предыдущем случае окружим произвольную точку пространства небольшой сферой радиуса . Объем сферы равен

. (8.51)

Вычисления аналогичные предыдущим приведут к значению предела интеграла

(8.52)

Итак,

, (8.53)

если решение построено в виде разложения плоской волны в ряд по сферическим функциям, определяемым формулами (8.43), (8.44). Такое разложение означает переход от представления решения в виде наложения плоских волн к представлению этого решения в виде наложения сферических волн.

Если мы используем определение дивергенции (8.50) для плоской волны , не прибегая к разложениям (8.43), (8.44), то мы также получим соотношение (8.53).

Отметим, что уникальность сферических волн, представляемых функциями Бесселя первого рода , заключается в том, что их источник точке является условным, “внутренним” источником, подобным источнику в выражении (8.6). Если сторонний источник жидкости в правой части уравнения неразрывности отсутствует, то решение необходимо строить на таких функциях.

Получим также решение стационарного уравнения неразрывности для несжимаемой жидкости при наличии стороннего источника жидкости в трехмерной сферической геометрии. Предположим, что в точке, которая является началом координат: , существует стационарный, сторонний, точечный источник жидкости с плотностью распределения

. (8.54)

Тогда должно быть выполнено

. (8.55)

Выполним все действия (8.37)-(8.47), но с одним условием: вместо сферических функций Бесселя первого рода будем использовать сферические функции Бесселя второго рода (функции Неймана) . Заметим, что соотношение (8.43) для этих функций выполнено формально. Учтем, что

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

. (8.56)

Тогда выражение (8.47) примет вид

, (8.57)

где , (8.58)

Возьмем реальную часть выражения (8.57). Введем обозначение

, (8.59)

где .

Тогда уравнение (8.55) примет вид

. (8.60)

В нестационарном случае условие для стороннего источника жидкости имеет вид

. (8.61)

Очевидно, что все приведенные выше рассуждения справедливы и в этом случае.

Замечание. Очевидно, что в решение уравнений (8.55), (8.61) входят также и разложения в ряд, включающие функции Бесселя первого рода.

Подведем итоги.

Если в дифференциальном уравнении неразрывности для несжимаемой жидкости учесть неупругие процессы в результате взаимодействий частиц вещества, то данное уравнение становится нелинейным. Его решение можно получить в виде плоской волны с экспоненциальной зависимостью . Если учитывать только процессы упругого рассеяния, то решение для плоской волны представляется как постоянный вектор. Во второй части работы показано, что нелинейное уравнение неразрывности позволяет получить скорость движения жидкости, как в ламинарном, так и в турбулентном слое. В общем случае вклад в давление от скорости второго вида является не нулевым.

При отсутствии сторонних источников жидкости, решения уравнения движения и неразрывности в трехмерной сферической геометрии строятся в виде разложения плоской волны в ряд на основе сферических функций Бесселя первого рода, которые и выражают факт отсутствия сторонних источников.

Если учесть сторонние источники вещества, то к указанному представлению решения добавится аналогичный ряд на основе функций Неймана.

Решения классического, обычного дифференциального уравнения неразрывности несжимаемой жидкости

(8.62)

являются решениями уравнения Эйлера [1], в котором заложена модель идеальной жидкости. Решения уравнения (8.62) принято строить на основе решений уравнения Лапласа. Решения уравнения движения Навье-Стокса для несжимаемой, реальной жидкости следует строить на основе решений уравнения Гельмгольца. Так как в таком решении в полной мере учтено присутствие вязкости. Для описания движения реальной вязкой жидкости в уравнении неразрывности также следует учесть присутствие вязкости. В результате данное уравнение становится нелинейным. Решения этого уравнения строятся на основе решений Гельмгольца. Во второй части работы показано, что уравнение (8.62) является частным случаем нелинейного уравнения. Для этого случая вклад скорости второго вида в давление является нулевым.

9. Множество решений уравнений Навье-Стокса.

Введем распределение сторонних источников вещества в правую часть уравнения неразрывности для несжимаемой жидкости, и вновь запишем систему уравнений Навье-Стокса в первом (линейном) приближении

, (9.1)

. (9.2)

Нам известно, что при условии

(9.3)

решения системы (9.1)-(9.2) в трехмерной сферической геометрии строятся в виде разложений в ряд на основе сферических функций и сферических функций Бесселя первого рода, которые являются осциллирующими. Однако такое представление решения не является единственным. Решение данных уравнений для пространственной переменной также можно построить на основе не осциллирующих функций. Для этого нужно воспользоваться представлением

, (9.4)

. (9.5)

Данные решения построены на пространственном представлении плоской волны на основе не осциллирующих функций.

Для построения решений в трехмерной геометрии следует воспользоваться формулами

(9.6)

где – модифицированные сферические функции Бесселя первого рода (сферические функции Бесселя первого рода мнимого аргумента);.

Заметим, что

. (9.7)

Поэтому при использовании в разложении решения в ряд модифицированных функций Бесселя первого рода вместо обычных функций Бесселя первого рода также выполнено

. (9.8)

Как уже говорилось, этому уравнению соответствует его дифференциальная форма

, (9.9)

которую нужно рассматривать как выражение для интегрирования.

Таким образом, решением системы уравнений Навье-Стокса при нулевых источниках является также разложение на основе модифицированных сферических функций Бесселя первого рода. В свою очередь это означает, что решение системы может быть получено при комплексных значениях переменной .

Если

, (9.10)

то решения уравнения неразрывности могут быть получены в виде формальных разложений в ряд на основе сферических функций Неймана (функций Бесселя второго рода) и модифицированных сферических функций Неймана. Конечно, соответствующие разложения в виде сферических функций Бесселя первого рода также являются решениями уравнения с ненулевым источником.

Модифицированные сферические функции Бесселя связаны с аналогичными, обычными сферическими функциями Бесселя следующими соотношениями:

(9.11)

а также

(9.12)

где , , , – модифицированные сферические функции Бесселя первого, второго, третьего и четвертого рода соответственно; , , , – сферические функции Бесселя первого, второго, третьего и четвертого рода соответственно; – мнимая единица; Как известно, функции Бесселя третьего и четвертого рода называются также функциями Ганкеля первого и второго рода соответственно.

Модифицированные функции Бесселя в явном виде представляются как

; ; ; . (9.13)

; ; ; . (9.14)

; ; ; .(9.15)

; ; ; . (9.16)

Отметим, что только некоторые из приведенных функций являются линейно независимыми. Модифицированные функции Бесселя первого и второго рода превращаются в функции Ганкеля линейными преобразованиями. Справедливы соотношения:

(9.17)

(9.18)

Все модифицированные сферические функции Бесселя подчиняются одинаковым рекуррентным формулам:

; (9.19)

; (9.20)

; (9.21)

; (9.22)

, (9.23)

где – модифицированная сферическая функция Бесселя любого рода; .

Аналогичные формулы справедливы и для обычных сферических функций Бесселя.

С помощью рекуррентных формул можно формально доказать, что разложения в ряд на основе сферических Функций Бесселя первого рода (как обычных, так и модифицированных) являются решениями уравнения движения. Для этого достаточно подставить эти разложения в уравнение движения и перейти от производных сферических функций Бесселя первого рода и сферических функций , зависящих от угловых переменных, к отношениям, включающим только сами эти функции. Рекуррентные формулы, связывающие производные сферических функций с самими функциями, представлены в работах [5, 6]. Выполнив перестановку слагаемых в функциональных рядах, мы перейдем к алгебраическим уравнениям для амплитуд сферических волн, которые были получены из разложения плоской волны по сферическим функциям.

Мы определили, что разложения в ряд на основе сферических Функций Бесселя первого рода (как обычных, так и модифицированных) являются решениями уравнения движения. Из этого следует, что и соответствующие формальные разложения в ряд на основе сферических Функций Бесселя второго, третьего и четвертого рода также являются решениями этого уравнения. Для доказательства следует обратить внимание на рекуррентные отношения (9.19)-(9.23). Подставим разложение на основе модифицированных сферических Функций Бесселя первого рода в уравнение движения и прибегнем к преобразованиям с помощью указанных рекуррентных формул. В результате мы должны прийти к соотношению, которое является тождеством. При этом нам не требуется использовать представления модифицированных сферических функций Бесселя в явном виде. Поэтому, если это тождество справедливо для функций первого рода, то оно справедливо и для функций второго, третьего и четвертого рода. Для обычных сферических функций Бесселя рассуждения аналогичны.

Итак, решениями уравнений (9.1)-(9.2) являются функции, представляемые в виде разложений в ряд на основе сферических Функций Бесселя первого, второго, третьего и четвертого рода, как обычных, так и модифицированных. В случае нулевых, сторонних источников решениями являются только разложения на основе сферических функций Бесселя первого рода. Представление плоской волны на основе экспоненциальной функции является решением уравнения движения, но не является решением дифференциального уравнения неразрывности. Для того чтобы это представление стало таким решением необходимо учесть в уравнении неразрывности процессы поглощения энергии вещества. Но, как выяснится в дальнейшем, указанное представление плоской волны является решением обычного дифференциального уравнения неразрывности для сжимаемой жидкости.

Также, забегая вперед, скажем, что все сделанные заключения справедливы не только для уравнений (9.1)-(9.2), но и для исходных уравнений (2.1)-(2.2).

Другими решениями уравнений Навье-Стокса являются разложения в ряд, включающие в себя специальные функции, которые характерны для данной криволинейной геометрии. Эти функции являются решениями уравнений гипергеометрического типа, к которым сводятся уравнения Лапласа и Гельмгольца в данной системе криволинейных координат.

Отметим, что решениями уравнения Навье-Стокса являются функции, содержащие экспоненциальные зависимости от временной и пространственной переменной, как с отрицательным, так и положительным вещественным показателем экспоненты (то есть функции , , где и – вещественные положительные числа). Это дает возможность представлять решения на основе функций гиперболический синус и гиперболический косинус. В связи с этим мы должны сказать о возможности построения моделей турбулентности с помощью полученных решений. Под турбулентностью мы понимаем нерегулярное поведение систем во времени и пространстве [7]. Как известно, турбулентность возникает благодаря свойству нелинейных систем экспоненциально быстро разводить первоначально близкие траектории в ограниченной области фазового пространства. Характерной особенностью хаотического движения является высокая чувствительность к начальным данным. Построение временных и пространственных зависимостей решений уравнений Навье-Стокса (и не только этих уравнений) с помощью функций гиперболический синус и косинус является наилучшим и наиболее простым способом придать этим решениям указанные свойства хаотического движения.

Гиперболический синус и косинус при возрастании аргумента стремятся к бесконечно большой величине. Это вносит неустойчивость в искомое решение для пространственной и временной переменной на бесконечности. Турбулентность охватывает ограниченную область пространства и длится сколь угодно большой, но конечный промежуток времени. Если область определения гиперболических функций синус и косинус включает только конечные значения аргумента, то сами эти функции являются ограниченными в этой области определения. Решение, представляемое этими функциями можно сделать устойчивым на бесконечности. Соотношение между используемыми гиперболическими функциями определяется коэффициентами разложения в ряд Фурье. В задачах с бесконечной геометрией, соответствующим подбором этих коэффициентов, гиперболический синус и косинус превращаются в экспоненту с отрицательным показателем. В результате, решение приобретает необходимую устойчивость.

Таким образом, быть учтены как устойчивые, так и неустойчивые процессы в пространстве и во времени, а также их динамика (переход от одних процессов к другим). В результате можно пытаться развить метод Фурье для модели детерминированного хаоса в явлениях переноса. Тем самым открыть путь в современную синергетику.

10. Общий подход к решению задачи Коши для линейного приближения уравнений Навье-Стокса. Решение с учетом силы гравитации.

Краевые и начальные условия задачи Коши для системы уравнений (3.1)-(3.2) выглядят следующим образом:

, (10.1)

. (10.2)

Решения этой системы для скорости имеют вид (7.1) и (7.9):

. (10.3)

(10.4)

Мы получили решения уравнений Навье-Стокса в виде разложений в ряд по аналитическим функциям, которые являются решениями уравнений Гельмгольца и Лапласа. К уравнениям Гельмгольца и Лапласа сводятся многие уравнения математической физики. Как известно [4], для аналитических функций существует общий класс корректно сформулированных задач Коши. Такие задачи поставлены и решены для уравнений Лапласа, теплопроводности, волнового уравнения и т. д. Очевидно, аналогичные задачи Коши просто сформулировать и решить для уравнений Навье-Стокса. Также очевидно, что при этом нет необходимости доказывать теорему существования и единственности. Уравнения (10.1), (10.2) являются примером такой корректно поставленной задачи, если функция является аналитической во всей области ее определения.

Итак, решения (10.3), (10.4) позволяют описать векторное поле скоростей во всем трехмерном пространстве и во времени . Решения уравнений (10.1) и (10.2) осуществляются очевидным образом. И мы не будем останавливаться на этом подробно. Скажем только, что полезно перейти в систему криволинейных координат, в которой поверхность является координатной. Также от интегрирования по переменной полезно перейти к представлению решения в виде суммы ряда по дискретной переменной . При этом дискретные значения можно выбрать из условия ортогонализации функций и .

Рассмотрим уравнение

, (10.5)

где – ускорение свободного падения.

Рассмотрим решение первого вида. Мы преобразуем только формулу для давления. Формула для скорости остается неизменной и задается выражением (4.13). Представим формулу для давления в виде

. (10.6)

Замечание. Мы выбрали знак плюс перед произведением .

Подставим формулы (4.14) и (10.6) в уравнение (10.5). Получим выражение для функции в виде формулы (4.9):

. (10.7)

Выражение можно представить в более удобном для дальнейшего использования виде. Разложим вектор в интеграл Фурье

(10.8)

где – первая обобщенная производная дельта-функции [4, 6], , ,

Первая обобщенная производная дельта-функции определяется из выражений:

, (10.9)

, (10.10)

где , , .

Проверим эти выражения. Для этого нам потребуется формула

. (10.11)

Используем правую часть формулы (10.9). Подставим в нее (10.10). Получим

Напомним, что прямое преобразование Лапласа для постоянной функции имеет вид

. (10.12)

Поэтому

. (10.13)

Это выражение понадобиться нам в дальнейшем.

Интегрирование формулы (10.6) по переменным и приведет к выражению для давления в трехмерной геометрии (см. формулу (7.2)):

(10.14)

где . (10.15)

Если , получим

(10.16)

Рассмотрим решение второго вида. В этом случае достаточно определить начальную скорость в виде

. (10.17)

Тогда выражение в правой части уравнения движения сокращается. Используем формулу (10.17) в решении уравнения движения. Мы придем к соотношениям (7.9) и (7.17), в которых вместо скорости использовано выражение .