АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ-СТОКСА В ТРЕХМЕРНОЙ ГЕОМЕТРИИ
(ЧАСТЬ I)
Российский научный центр “Курчатовский институт”, Институт ядерного синтеза, Отдел термоядерных реакторов.
Россия, г. Москва, пл. академика Курчатова,.
e-mail: *****@***ru
АННОТАЦИЯ
В первой части работы подробно представлено решение уравнения движения, а также обосновано построения нелинейного уравнения неразрывности. Получено решение однородного (без источников жидкости) и неоднородного (со сторонними источниками жидкости) уравнения неразрывности. Получено решение с учетом силы гравитации. Рассмотрено представление решений в основных ортогональных криволинейных системах координат.
ОГЛАВЛЕНИЕ
1.Введение……………………………………………………………………………………………....2
2. Преобразование нестационарных уравнений Навье-Стокса методом последовательных приближений…………………………………………………………………………..…….…………2
3. Общий подход к решению уравнений Навье-Стокса в первом приближении………….…...….5
4. Решение линейного уравнения движения для плоских волн……………………………..……....6
5. Решение линейного стационарного уравнения движения в сферической геометрии…………..8
6. Решение линейного стационарного уравнения движения в цилиндрической геометрии и в других криволинейных геометриях……………………………………………………………….....10
7. Решение линейного нестационарного уравнения движения в трехмерной геометрии…...…..13
8. Нелинейное уравнение неразрывности. Решение задачи с источником в первом приближениии………………………………………………………………….. …………………....15
9. Множество решений уравнений Навье-Стокса…………………………………………………..23
10. Общий подход к решению задачи Коши для линейного приближения уравнений Навье-Стокса. Решение с учетом силы гравитации………………………………………………………..26
11. Решение уравнений Навье-Стокса во втором и более высоких приближениях……………...29
12. Решение задачи с источником для уравнения неразрывности во втором и более высоких приближениях…………………………………………………………………………………………41
13. Заключение…………….……………………………...…………..………………………………41
Литература…………………………………………………………………………………………….42
1. Введение
В данной работе получено решение стационарного и нестационарного уравнения Навье-Стокса в трехмерной геометрии для сжимаемой и несжимаемой жидкости. Показано, что решения уравнений Навье-Стокса становятся полноценными для описания движения вязкой несжимаемой жидкости только при учете в дифференциальном уравнении неразрывности вязкости за счет процессов неупругих столкновений. В результате уравнение неразрывности становится нелинейным. Только при этих условиях можно получить решения, описывающие движение турбулентного потока несжимаемой жидкости.
В первой части работы подробно рассмотрено решение уравнения движения, а также обоснование построения нелинейного уравнения неразрывности. Также рассмотрено решение однородного (без источников жидкости) и неоднородного (со сторонними источниками жидкости) уравнения неразрывности. Раскрыты особенности применения дифференциального и интегрального уравнения неразрывности для несжимаемой и сжимаемой жидкости при построении решений системы. Получено решение с учетом силы гравитации.
Вторая часть работы специально посвящена решению нелинейного уравнения неразрывности. Рассмотрена связь нелинейного уравнения неразрывности и обычного классического уравнения неразрывности, а также их решений. Применение полученных решений проиллюстрировано на конкретном примере.
Решение нелинейных уравнений ищется методом последовательных приближений. Подробно рассмотрено решение в первом и втором приближении. Метод последовательных приближений позволяет свести задачу к решению последовательности систем линейных дифференциальных уравнений для неизвестной функции с учетом нелинейной части, в которую входят известные функции. Затем используется преобразование Лапласа для временной переменной и преобразование Фурье – для пространственных переменных. Таким образом, решение представляется в виде наложения плоских волн с различными частотами и значениями волнового вектора. Движение этих волн рассматривается в трехмерном пространстве. В основу решений задачи положены их представления для плоской волны. Уравнения, полученные в результате использования решений в виде плоских волн, сводятся к уравнениям для амплитуд этих волн.
Решение уравнений Навье-Стокса в трехмерных криволинейных системах координат выполняется на основе решения для плоской волны, полученного в трехмерной геометрии. Это осуществляется путем преобразования решения для плоской волны к решению в виде наложения волн другой геометрической формы. В работе подробно рассмотрено получение решения уравнений Навье-Стокса в сферической геометрии, путем перехода от представления решения в виде наложения плоских волн к представлению этого решения в виде наложения сферических волн.
Помимо представления решений в виде плоской волны существуют также и другие представления решений задачи: в виде разложений в ряд по известным аналитическим функциям. Эти функции являются решениями уравнения Гельмгольца и Лапласа в различных ортогональных трехмерных криволинейных системах координат. Путем замены переменных осуществляется переход от представления решений в одних криволинейных координатах к представлениям в других криволинейных координатах. Таким образом, можно получить решения во всех известных криволинейных системах координат. В большинстве случаев переменные легко разделяются. За основу рассмотрения взято представление решений в сферической системе координат.
2. Преобразование нестационарных уравнений Навье-Стокса методом последовательных приближений.
Система нестационарных уравнений Навье-Стокса для сжимаемой жидкости в трехмерной геометрии выглядит следующим образом:
, (2.1)
,
, (2.2)
где 
– плотность жидкости в момент времени 
в точке с координатами 
, 
– векторное поле скоростей жидкости, 
– давление жидкости, 
– коэффициент динамической вязкости, 
– коэффициент второй вязкости, 
– векторное поле массовых сил, 
– оператор Гамильтона, 
– оператор Лапласа, 
.
В дальнейшем примем, что
, (2.3)
где 
– ускорение свободного падения.
Уравнение (2.1) является уравнением движения, а уравнение (2.2) – уравнением неразрывности.
Краевые и начальные условия выглядят следующим образом:
, (2.4)
, (2.5)
где 
– некоторая замкнутая поверхность, 
– некоторая известная векторная функция.
Уравнения (2.1) и (2.2) будем решать методом последовательных приближений:
, (2.6)
, (2.7)
, (2.8)
где 
, 
, 
, 
– слагаемые одного порядка малости.
При этом будем полагать, что
, (2.9)
, (2.10)
, (2.11)
где 
– постоянные величины, независящие от времени и координат. Будем полагать, что эти постоянные величины заданы. Однако в дальнейшем мы допустим также зависимость
. (2.12)
Для упрощения записей уравнений введем обозначения
, (2.13)
, (2.14)
. (2.15)
Сначала будем полагать, что жидкость сжимаема. Подставим выражения (2.6)-(2.8) в уравнения (2.1)-(2.2) и (2.4)-(2.5). Учтем обозначения (2.9)-(2.15). Уравнения (2.1) и (2.2) запишем в виде систем уравнений, в которые входят слагаемые одного порядка малости. На первом этапе построения решения не будем использовать функцию . В результате получим первую систему уравнений
, (2.16)
. (2.17)
Краевые и начальные условия для этой системы выглядят следующим образом:
, (2.18)
. (2.19)
Вторая система уравнений имеет вид
(2.20)
. (2.21)
Краевые и начальные условия для второй системы выглядят следующим образом:
, (2.22)
. (2.23)
Необходимо отметить, что все системы уравнений следует рассматривать как единую систему уравнений. Поэтому, если мы решаем задачу для скорости в виде приближения
, (2.24)
то, нам следует использовать только условия (2.22)-(2.23), не учитывая условия (2.18)-(2.19).
Третья система уравнений записывается как
(2.25)
. (2.26)
Краевые и начальные условия для третьей системы выглядят аналогично предыдущим.
Таким же образом получаются и все остальные системы уравнений. При заданном порядке приближения скорости их число будет конечным.
Для получения уравнений для несжимаемой жидкости во всех системах следует положить
(2.27)
В результате получим первую систему уравнений в виде
, (2.28)
. (2.29)
Отметим, что в уравнении (2.28) мы не опустили слагаемое 
.
Вторая система уравнений имеет вид
(2.30)
. (2.31)
Третья система уравнений записывается как
(2.32)
. (2.33)
Краевые и начальные условия для всех систем не изменились.
Отметим, что вместо уравнений (2.29), (2.31), (2.33) и т. д., мы можем записать одно уравнение
. (2.34)
Получение уравнений для стационарной задачи тривиально. Особенности этой задачи мы рассмотрим ниже.
Для нестационарной задачи справедлива зависимость (2.12). Для несжимаемой жидкости мы можем записать
, (2.35)
где 
, 
– потенциальная энергия поля массовых сил.
Данное выражение является уравнением движения Ньютона для материальной точки, обладающей массой 
, в поле массовых сил. Таким образом, скорость 
не является в общем случае постоянной величиной. Она меняется со временем при движении материальной точки по траектории, определяемой законами Ньютона. Для упрощения выражений мы будем полагать, что скорость является постоянной величиной, если в уравнении движения
массовые силы отсутствуют. Зависимость скорости от времени будет использована при решении задачи о движении сжимаемой и несжимаемой жидкости в поле сил гравитации.
3. Общий подход к решению уравнений Навье-Стокса в первом приближении.
Рассмотрим систему (2.16)-(2.17) с условиями (2.18)-(2.19). Запишем эту систему еще раз.
, (3.1)
. (3.2)
, (3.3)
, (3.4)
. (3.5)
Эта система справедлива как для сжимаемой, так и для несжимаемой жидкости. Уравнение (3.2) удовлетворяется тождественно. Если жидкость несжимаема, то мы можем использовать вместо него уравнение (2.31)
.
Но решение уравнения (2.31) требует особого подхода, который будет представлен ниже.
Будем искать решения системы линейных уравнений (3.1)-(3.5) в виде наложений плоских волн с различными частотами и значениями волнового вектора. Отметим специфику. Данные плоские волны задаются в трехмерном пространстве. Временная зависимость включает не только простые периодические функции времени, но и экспоненту с вещественным показателем. Поэтому искомая временная зависимость может быть построена с помощью обратного преобразования Лапласа. Итак,
, (3.6)
, (3.7)
где 
– мнимая единица, 
– комплексная переменная, 
– некоторое вещественное число, 
– волновой вектор, 
, 
, 
, 
. Отметим, что вместо функций 
и 
можно использовать функции 
и 
, где 
. При этом метод решения уравнений Навье-Стокса не измениться. Но целесообразность использования таких выражений в данной работе рассматриваться не будет.
Замечание. Напомним, что прямое преобразование Лапласа имеет вид
, (3.8)
. (3.9)
Положим, что функции 
, , представляются в виде
, (3.10)
, (3.11)
, (3.12)
где 
,
– вещественные числа, 
, 
являются скалярными вещественными функциями векторного аргумента, а 
, 
– векторными вещественными функциями векторного аргумента.
Векторный аргумент 
этих функций выражается набором вещественных переменных 
. Но решение уравнений Навье-Стокса может быть получено и для комплексной переменной . Более подробно этот вопрос будет рассмотрен ниже. Для упрощения получаемых выражений сначала рассмотрим случай вещественной переменной .
4. Решение линейного уравнения движения для плоских волн.
Рассмотрим уравнение движения (3.1). Подставим в него выражения (3.5)-(3.7). В силу того, что переменная интегрирования не зависит от координат, дифференциальные операторы можно внести под знак интеграла. Выполняя элементарные операции дифференцирования экспоненциальной функции, получим векторное линейное алгебраическое уравнение, которое является уравнением для амплитуд плоских волн:
(4.1)
В этом уравнении мы должны сделать подстановки, используя формулы (3.10)-(3.12). В этом случае мы получим систему двух уравнений для функций , 
, , . Эти функции дополнят друг друга при построении конечного решения, зависящего от времени и координат. Для упрощения изложения решим уравнение (4.1) для комплексных функций 
и , имея в виду, что все сказанное о них относится к функциям и , а также и .
Определим векторную функцию в виде
, (4.2)
где
– любой вектор, перпендикулярный вектору , абсолютное значение которого равно 
:
, (4.3)
, (4.4)
, (4.5)
. (4.6)
Умножим векторное уравнение (4.1) сначала на вектор , а затем на вектор . Получим два скалярных уравнения
. (4.7)
. (4.8)
Уравнение (4.7) выражает зависимость давления от скорости:
. (4.9)
Уравнение (4.8) имеет два решения:
, (4.10)
, при 
. (4.11)
Решение (4.10) означает, что
, (4.12)
и величина не является функцией вектора . Тогда
(4.13)
, (4.14)
где 
представляется формулой (4.9).
Решение (4.11) означает, что величина является функцией вектора : 
. Тогда выражения (3.6) и (3.7) примут вид
, (4.15)
, (4.16)
где 
. (4.17)
В этих выражениях мы учли, что и являются функциями только вектора .
Итак, мы получили два вида решения нестационарного уравнения движения: (4.9), (4.13), (4.14) и (4.15)-(4.17). Эти два вида решения могут использоваться как отдельно, так и совместно.
Рассмотрим также стационарное уравнение движения:
, (4.18)
Данное уравнение сведется к системе уравнений
. (4.19)
. (4.20)
Очевидно, что уравнение (4.20) имеет только одно решение:
. (4.21)
Тогда решение стационарного уравнения движения имеет вид
, (4.22)
. (4.23)
При этом зависимость давления от скорости имеет вид
. (4.24)
Решение стационарного уравнения соответствует решению нестационарного уравнения вида (4.9), (4.13), (4.14). Решение (4.15)-(4.17) не имеет соответствующего вида решения стационарного уравнения. Однако для случая мнимых значений 
соответствующее решение стационарного уравнения существует.
Все полученные решения линейного уравнения движения, а именно (4.9), (4.13), (4.14), (4.15)-(4.17), (4.22)-(4.24), строятся в виде наложения плоских волн с различными частотами и значениями волнового вектора. Как известно, такое наложение плоских волн, распространяющихся в пространстве трех измерений, определяет решение волновых уравнений в произвольной трехмерной геометрии. В результате определенных преобразований можно перейти к представлению решения в виде наложения волн другой геометрической формы. Решение уравнения движения в трехмерных системах координат выполняется на основе решения для плоской волны, полученного в трехмерной геометрии. Более подробно вопрос о методе получения решений в различных криволинейных координатах, исходя из решения уравнения для плоской волны, рассмотрен в работах [8,9]. Используем этот метод и в данной работе. Применим основные идеи этого метода к решению уравнений Навье-Стокса.
Сначала получим решения уравнений Навье-Стокса в сферической геометрии, исходя из решений для плоской волны в трехмерной геометрии. Получение решений в сферической геометрии на основе решения для плоской волны очень хорошо разработано в теории специальных функций [5] и используется в различных разделах теоретической физики, в частности, в квантовой механике и теории поля. Решение в других системах координат трехмерного пространства можно получить на основе решений в сферической геометрии путем соответствующей замены координат.
5. Решение линейного стационарного уравнения движения в сферической геометрии.
С начала построим решение в трехмерной геометрии для стационарного уравнения движения. Оно выглядит следующим образом
, (5.1)
, (5.2)
. (5.3)
Для определенности мы выбрали знак плюс перед произведением 
.
Рассмотрим выражение (5.1). Используем известное из теории специальных функций разложение [5]:
, (5.4)
где 
– сферические функции Бесселя первого рода;
.
Воспользуемся теоремой сложения для полиномов Лежандра:
. (5.5)
При этом сферические функции имеют вид
, 
, (5.6)
, , (5.7)
где 
– произвольный вектор.
Нормировка сферических функций имеет вид
, (5.8)
Вектор 
представим в виде
, (5.9)
где 
, 
, 
– орты прямоугольной декартовой системы координат. Эта систему будем считать главной при решении задачи.
Учтем, что для любого вектора выполнено
, (5.10)
(5.11) 
. (5.12)
Тогда вектор представляется в виде
(5.13)
В результате получим выражение
(5.14)
Воспользуемся формулами
. (5.15)
. (5.16)
Полученное выражение приобретает вид
(5.17)
Введем обозначение
. (5.18)
Получим выражение
Введем обозначение
. (5.19)
Получим выражение
. (5.20)
Получим выражение для давления. Направим ось 
по направлению вектора 
:
. (5.21)
Согласно формуле (4.24) давление равно
. (5.22)
Очевидно, что
(5.23)
Коэффициенты 
связаны рекуррентными отношениями. Например, имеет место формула
, (5.24)
Поэтому
. (5.25)
Выражения, полученные для скорости и давления, являются функциями трех пространственных сферических координат. Путем перехода к новым трем пространственным переменным они могут быть представлены в координатах любых известных криволинейных систем, для которых существуют соответствующие формулы перехода. Причем в большинстве случаев все переменные разделяются. Более подробно этот вопрос рассмотрен в работе [9]. В качестве примера получим выражение для вектора скорости в цилиндрических координатах.
6. Решение линейного стационарного уравнения движения в цилиндрической геометрии и в других криволинейных геометриях.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 |
